高等数学(难)

1、高等数学 ( 难)高等数学 I一、单项选择题（在每个小题四个备选答案中选出一个正确答案，填在题末的括号中）( 本大题有 4 小题,每小题4分, 共 16分)1. 当 xx0 时，x , x都是无穷小，则当 xx0 时（）不一定是无穷小 .xx2(A)(B)2x2 x(x)(C)ln 1( x)(x)(D)( x)1sin xxalim2.极限 xa sin a的值是（）.（A） 1（B） e（ C） ecot a（ D） etan af ( x)sin xe2ax1x0x3.ax0 在 x0 处连续，则 a=（）.（A） 1（B） 0（C） e（D）1设 f (x) 在点 xlim f (ah

2、)f ( a2h)）.4.a处可导，那么 h0h（A ） 3 f (a)（B） 2 f (a)f (a)1f (a)(C)（D） 3二、填空题（本大题有4 小题，每小题 4 分，共 16 分）lim ln( xa)ln a( a 0).5.极限 x0x的值是6.由 ex yy ln xcos2x确定函数y( x)，则 导函数y.7.直线 l 过点 M (1,2,3) 且与两平面 x2yz0,2 x 3y5z6 都平行，则直线 l 的方程为.8.求函数 y2xln( 4 x) 2的单调递增区间为.三、解答题（ 本大题有 4 小题，每小题 8 分，共 32 分）1lim (1x)xe9.计算极限

3、x0x.vv|26vvvv10. 已知： | a |3 ， | b， ab30 ，求 | ab | 。xF (x)( x t ) f (t )dtx a,b11. 设 f (x) 在 a，b上连续，且a，试求出 F ( x) 。x cos x dx.12. 求sin 3 x四、解答题（本大题有4 小题，每小题8 分，共 32 分）2dx13.求2 x x 213.y2x1 x2的极值与拐点 .14.求函数求由曲线 yx3x 215.4 与 y 3x所围成的平面图形的面积 .16.设抛物线 y4 x 2上有两点 A(1,3) ， B(3,5) . 在弧 AB 上，求一点P(x, y) 使三角形

4、ABP 的面积最大 .六、证明题（本大题4 分）17.设 x0 ，试证 e2 x (1x)1x .高等数学 I 解答一、单项选择题（在每个小题四个备选答案中选出一个正确答案，填在题末的括号中）( 本大题有 4 小题,每小题 4 分,共 16分)18.当 xx0 时，x ,x都是无穷小，则当 xx0 时（D）不一定是无穷小 .(A)xx(B)2 x2x2 (x)(C)ln 1( x)(x)(D)( x)1sin xx alim19.极限 xa sin a的值是（ C） .（A） 1（B） e（ C） ecot a（ D） etan asin xe2ax10f ( x)xx20.ax0 在 x 0

5、 处连续，则 a=（D）.（A） 1（B） 0（C） e（D）1设 f ( x) 在点 xlim f (ah)f (a2h)A） .21.a 处可导，那么 h 0h（A ） 3 f (a)（B） 2 f (a)(C)f(a)1 f(a)（D） 3二、填空题（本大题有 4 小题，每小题 4 分，共 16 分）ln( xa)ln a( a0)1limxa .22. 极限 x0的值是23.由ex yy ln xcos 2x 确 定 函 数y( x)，则导函数y2sin 2xyyexyxe xyx.ln x24.直线 l 过点 M (1,2,3) 且与两平面 x2y z0,2 x3y5z6 都平行，则

6、直x 1y2z3线 l 的方程为111.25. 求函数 y2xln( 4 x) 2的单调递增区间为（ ，0）和（1，+ ） .三、解答题（ 本大题有 4 小题，每小题 8 分，共 32 分）1lim(1x)xex.26. 计算极限 x 0(11e1 ln(1 x)1ln(1 x)xelimx) xelimex1elimx2解： x 0xx 0xx 02vv|26vvvv27. 已知： | a | 3 ，| b， ab30 ，求 | ab | 。cosa b5,sin1cos212解 ：a b1313，a b72xF (x)( xt ) f (t )dt xa,b28. 设 f (x) 在 a，

7、b上连续，且a，试求出 F ( x) 。xx解：F (x)xf (t )dttf (t )dtaaxxF (x)f (t) dtxf ( x)xf ( x)f (t )dtaaF ( x)f ( x)x cos x dx.29. 求sin 3 x解：x cos3x dx1xd sin 2 xsinx21x sin 2 x1sin 2 xdx1x sin 2 x1cot xC2222四、解答题（ 本大题有 4 小题，每小题8 分，共 32 分）2dx2x x 2130. 求3.令1tx1原式23211(12 )dt11ttt 23dt322arcsin t1121 t2262 x31. 求函数

8、y 1 x2 的极值与拐点 .解：函数的定义域（，+ ）y2(1x)(1x)y4x(3 x 2 )(1x 2 ) 2(1x 2 ) 3令 y0 得 x 1 = 1, x 2 = -1y (1) 0x1 = 1 是极大值点， y ( 1)0 x 2= -1是极小值点极大值 y(1)1，极小值 y(1)1令 y0 得 x 3 = 0, x 4 =3 ,x 5 = -3x(-,-3 )(-3 ,0)(0,3 )( 3,+)y+故拐点（ -3 ，-3），（0，0）（ 3 ，322 ）求由曲线 yx33x x 232.4 与 y所围成的平面图形的面积 .解 : x33xx 2 ,x 312x4 x20,

9、4x(x 6)( x2)0,x16,x20,x3 2.S0x 33x x2)dx2(3x x2x 3)dx6(404( x43 x2x36( 3 x2x3x4) 0)0216232316452 147 13333.设抛物线 y4x2上有两点 A(1,3) ， B(3,5) ，在弧 A B 上，求一点P(x, y) 使 ABP 的面积最大 .解：连线方程：y2x1 0AB45AB点 到AB的距离 2xy1x 22x3(1x3)P55的面积ABPS(x)1 4 5x 22x 32( x 22 x 3)25S (x)4x 4 当 x 1S ( x) 0S (x)40当时取得极大值也是最大值x 1 S( x)此时 y3所求点为 (1， 3)另解：由于ABC的底一定故只要高最大而过C点的抛物线AB,的切线与 AB平行时 , 高可达到最大值, 问题转为求 C( x0 ， 4 x02 ), 使 f ( x0 )2 x05 3312,解得 x0 1,所求 C点为 (1,3)六、证明题（ 本大题 4 分）34.设 x 0 ，试证 e2 x (1 x) 1x .证明：设 f ( x)e2 x (1x)(1 x), x 0f( x)e2x (1 2x) 1， f(