2013年考研数学二试题及答案

1、WORD格式2021年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题答案一、选择题:18小题，每题4分，共32分.以下每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上.1、设cosx1xsin(x)，(x)，当x0时，(x)2A比x高阶的无穷小B比x低阶的无穷小C与x同阶但不等价的无穷小D与x是等价无穷小【答案】C【考点】同阶无穷小【难易度】【详解】cosx1xsin(x)，12cosx1x212xsin(x)x，即21sin(x)x2当x0时，(x)0，sin(x)(x)1(x)x，即(x)与x同阶但不等价的无穷小，应选C.22、yf(x)由方程cos(xy)l

2、nyx1确定，那么A2B1C-1D-2【答案】A2limnf()1nn【考点】导数的概念；隐函数的导数【难易度】【详解】当x0时，y1.2f(n)1fxfxf2(2)1(2)(0)limnf()1limlim2lim2f(0)12nnnx0xx0xn方程cos(xy)lnyx1两边同时对x求导，得1sin(xy)(yxy)y10y将x0，y1代入计算，得y(0)f(0)11专业资料整理WORD格式所以，2limnf()12nn，选A.3、设sinx0,)f (x)，2,2xF(x)f (t)dt，那么0Ax为F(x)的跳跃连续点Bx为F(x)的可去连续点CF(x)在x处连续不可导DF(x)在x

3、处可导【答案】C【考点】初等函数的连续性；导数的概念【难易度】【详解】F(0)sintdt2sintdtsintdt2，F(0)2，002F(0)F(0)，F(x)在x处连续.Fxf(t)dtf(t)dt00()lim0xx，Fxf(t)dtf(t)dt00()lim2xx，F()F()，故F(x)在x处不可导.选C.4、设函数f(x)11(x1)11xln x1xexe，假设反常积分1f (x)dx收敛，那么A2B2C20D02【答案】D【考点】无穷限的反常积分【难易度】【详解】ef (x)dxf (x)dxf (x)dx11e由1f (x)dx收敛可知，e1f(x)dx与f (x)dx均收

4、敛.e1eef(x)dxdx111(x1)，x1是瑕点，因为e11(x1)1收敛，所以112dx2专业资料整理WORD格式11f (x)dxdx(ln x)1eexxlne，要使其收敛，那么0所以，02，选D.y5、设()zfxyx，其中函数f可微，那么xzzyxyA2yf(xy)B2yf(xy)C【答案】A2xf(xy)D2xf(xy)【考点】多元函数的偏导数【难易度】【详解】2zyy2f(xy)f(xy)xxx，z1yxf(xy)yf(xy)2xzzxyy1f(xy)f(xy)f (xy)yf(xy)2yxyyxxx11f(xy)yf(xy)f(xy)yf(xy)2yf(xy)xx，应选A

5、.6、设D是圆域k22D(x,y)xy1位于第k象限的局部，记I(yx)dxdy(k1,2,3,4)，那么kDkAI10BI20CI30DI40【答案】B【考点】二重积分的性质；二重积分的计算【难易度】【详解】根据对称性可知，I1I30.Iyxdxdyyx0，2()0Iyxdxdyyx04()0D2D4因此，选B.7、设A、B、C均为n阶矩阵，假设AB=C，且B可逆，那么A矩阵C的行向量组与矩阵A的行向量组等价B矩阵C的列向量组与矩阵A的列向量组等价3专业资料整理WORD格式C矩阵C的行向量组与矩阵B的行向量组等价D矩阵C的列向量组与矩阵B的列向量组等价【答案】B【考点】等价向量组【难易度】【

6、详解】将矩阵A、C按列分块，A(,n)，C(1,n)1bb111n由于ABC ，故(,)(,)1n1nbbn1nn即1b111bn1n,nb1n1bnnn即C的列向量组可由A的列向量组线性表示.由于B可逆，故1ACB，A的列向量组可由C的列向量组线性表示，应选B.1a12008、矩阵aba0b0相似的充分必要条件是与1a1000Aa0,b2Ba0,b为任意常数Ca2,b0Da2,b为任意常数【答案】B【考点】矩阵可相似对角化的充分必要条件【难易度】【详解】题中所给矩阵都是实对称矩阵，它们相似的充要条件是有一样的特征值.2001a1由00b的特征值为2，b，0可知，矩阵Aaba的特征值也是2，b

7、，0.0001a11a11a1因此，222EAa2ba02ba2a4a0a01a102a04专业资料整理WORD格式101将a0代入可知，矩阵Ab的特征值为2，b，0.00101此时，两矩阵相似，与b的取值无关，应选B.二、填空题：914小题,每题4分,共24分.请将答案写在答题纸指定位置上.9、1ln(1x)lim(2) xx0x.1【答案】2e【考点】两个重要极限【难易度】【详解】11ln(1x)1ln(1x)1ln(1x)1ln(1x)ln(1x)ln(1x)1(1)(1)lim(1)xxxxxxxxlim(2)lim1(1)limeex0x0x0x0xx其中，111ln(1x)xln(

8、1x)1xx1lim(1)limlimlim2xxx2x2(1)20000xxxxxx1故原式=e210、设函数xtf(x)1edt，那么yf(x)的反函数1xfy在y0处的导数1()1()dxdyy0.1【答案】11e【考点】反函数的求导法那么；积分上限的函数及其导数【难易度】【详解】由题意可知，f(1)05专业资料整理WORD格式dydx1dxdx1xf(x)1edxdyexdydye11y0x11.11、设封闭曲线L的极坐标方程方程为rcos3()，那么L所围平面图形的面积66是.【答案】12【考点】定积分的几何应用平面图形的面积【难易度】【详解】面积11cos61sin6622666S

9、r()dcos3dd()200226126012、曲线xarctant,yln1t2上对应于t1点处的法线方程为.【答案】ln20yx4【考点】由参数方程所确定的函数的导数【难易度】1122dydy/dt1tdxdx/dt1122(1t)2t12tt，故dydxt1【详解】由题意可知，1曲线对应于t1点处的法线斜率为1k1.1当t1时，x，yln2.4法线方程为ln2()yx，即yxln20.4413、3x2xyexe，1x2xyexe，22xyxe是某二阶常系数非齐次线性微分方程的33个解，那么该方程满足条件y，00xy01的解为y.x【答案】3xx2xyeexe6专业资料整理WORD格式【

10、考点】简单的二阶常系数非齐次线性微分方程【难易度】【详解】3xxxyyee，y2y3e是对应齐次微分方程的解.12由分析知，*2xyxe是非齐次微分方程的特解.故原方程的通解为3xxx2xyC1(ee)C2exe，C1,C2为任意常数.由y00，xy可得C11，C20 .01x通解为3xx2xyeexe.14、设A(a)是3阶非零矩阵，A为A的行列式，Aij为aij的代数余子式，假设ijaA0(i,j1,2,3)，那么A.ijij【答案】-1【考点】伴随矩阵【难易度】【详解】*T*TaA0AaAAAAAAA Eijijijij等式两边取行列式得23AAA0或A1T当A0时，00AAA与矛盾所以

11、A1.三、解答题：1523小题,共94分.请将解答写在答题纸指定位置上.解容许写出文字说明、证明过程或演算步骤.15、此题总分值10分当x0时，1cosxcos2xcos3x与axn为等价无穷小，求n和a的值.【考点】等价无穷小；洛必达法那么【难易度】【详解】cos6xcos4xcos2x111cosxcos2xcos3x4limlimnnaxaxx0x03cos6xcos4xcos2x6sin6x4sin4x2sin2xlimlimnn1x04axx04anx7专业资料整理WORD格式limx036cos6x16cos4x4cos2xn4an (n 1)x2故n20，即n2时，上式极限存在.

12、当n2时，由题意得1cosxcos2xcos3x36cos6x16cos4x4cos2x36164limlim1nx0axx0aa88a7n2,a716、此题总分值10分1设D是由曲线yx3，直线xa (a0)及x轴所围成的平面图形，Vx，Vy分别是D绕x轴，y轴旋转一周所得旋转体的体积，假设V10V，求a的值.yx【考点】旋转体的体积【难易度】【详解】根据题意，a155a332333V(x)dxxax0550a17766 aV2xxdxxa.333y0077因V10V，故yx756333a10aa77.7517、此题总分值10分设平面区域D由直线x3y，y3x，xy8围成，求2xdxdyD【

13、考点】利用直角坐标计算二重积分【难易度】【详解】根据题意y3xx2xy8y6，16yxx3y2xy8故D23x68x222xdxdydxxdydxxdyxx02332628132416434x(xx)12833333028专业资料整理WORD格式18、此题总分值10分设奇函数f(x)在1,1上具有二阶导数，且f(1)1，证明：存在(0,1)，使得f()1；存在(1,1)，使得f()f()1.【考点】罗尔定理【难易度】【详解】由于f(x)在1,1上为奇函数，故f(0)0令F(x)f(x)x，那么F(x)在0,1上连续，在(0,1)上可导，且F(1)f(1)1，0F(0)f(0)00.由罗尔定理，

14、存在(0,1)，使得F()0，即f()1.xxxx 考虑f(x)f(x)1e( f(x)f(x)e(ef(x)exxef(x)e0xx令g(x)ef(x)e，由于f(x)是奇函数，所以f(x)是偶函数，由的结论可知，f()f()1，g()g()0.由罗尔定理可知，存在(1,1)，使得g()0，即f()f()1.19、此题总分值10分求曲线331(0,0)xxyyxy上的点到坐标原点的最长距离和最短距离.【考点】拉格朗日乘数法【难易度】【详解】设M(x,y)为曲线上一点，该点到坐标原点的距离为22dxy构造拉格朗日函数22(331)Fxyxxyy由2F2x(3xy)0x2F2y(3yx)0y3

15、3F x xy y1 0得xy119专业资料整理WORD格式点(1,1)到原点的距离为22d112 ，然后考虑边界点，即(1,0)，(0,1)，它们到原点的距离都是1.因此，曲线上点到坐标原点的最长距离为2，最短距离为1.20、此题总分值11分设函数f(x)lnx1x求f(x)的最小值；设数列x满足n1lnxn1，证明limxn存在，并求此极限.xnn1【考点】函数的极值；单调有界准那么【难易度】【详解】由题意，f(x)lnx1x，x0f(x)11x122xxx令f(x)0，得唯一驻点x1当0x1时，f(x)0；当x1时，f(x)0.所以x1是f(x)的极小值点，即最小值点，最小值为f(1)1

16、.由知1lnxn1xn，又由1lnxn1，可知xn111xxnn1，即xn1xn故数列x单调递增.n又由1lnxn1，故lnxn10xne，所以数列xn有上界.xn1所以limnx存在，设为A.n在1lnxn1两边取极限得xn11lnA1A在1lnxn1两边取极限得xn1lnA1A10专业资料整理WORD格式所以1lnA1A1即limxn1 .An21、此题总分值11分设曲线L的方程为121ln(1)yxxxe满足42求L的弧长；设D是由曲线L，直线x1，xe及x轴所围平面图形，求D的形心的横坐标.【考点】定积分的几何应用平面曲线的弧长；定积分的物理应用形心【难易度】【详解】设弧长为S，由弧长

17、的计算公式，得111111 eeee2222S1(y )dx1(x)dx1(x)dx(x)dx111122x22x22xe2e11111e2(x)dx(xlnx)122x4241由形心的计算公式，得xDD1111exdxdy1dxxlnxxdyxx2xdx2(ln)421420011112edxdy1dxxlnxdyx2xdx(ln)424210011111422e(ee)1616422423(e2e3)1114(37)e3e12122.22、此题总分值11分设1aA，10B011b，当a,b为何值时，存在矩阵C使得ACCAB，并求所有矩阵C.【考点】非齐次线性方程组有解的充分必要条件【难易度

18、】【详解】由题意可知矩阵C为2阶矩阵，故可设Cxx12xx34.由ACCAB可得11专业资料整理WORD格式xax2301axxxx0101121210xxxx1b1b3434整理后可得方程组axaax124x x x1 3 411xaxb23由于矩阵C存在，故方程组有解.对的增广矩阵进展初等行变换：01a001011110111a10a101a0001a001011101a0a10000a101a0b0000b0000b方程组有解，故a10，b0，即a1，b0 .10111当a1，b0时，增广矩阵变为011000000000000x3,x4为自由变量，令x31,x40，代入相应齐次方程组，得x21,x11令x30,x41，代入相应齐次方程组，得x20,x11故1(1,