新人教版必修五解三角之解三角形应用举例讲义学生版及教师版

1、新人教版高中数学解三角全章复习知识点及讲义解三角形 内容简介：1. 正弦定理和余弦定理掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题2.应用能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的实际问题解三角形应用举例【知识要点】 要点一、解三角形应用题的步骤解三角形在实际中应用非常广泛，如测量、航海、几何、物理等方面都要用到解三角形的知识，解题时应认真分析题意，并做到算法简练，算式工整，计算正确.其解题的一般步骤是：(1)准确理解题意，尤其要理解应用题中的有关名词和术语；明确已知和所求，理清量与量之间的关系；(2)根据题意画出示意图，并将已知条件在图形中标出，将实际问

2、题抽象成解三角形模型；(3) 分析与所研究的问题有关的一个或几个三角形，正确运用正弦定理和余弦定理，有顺序的求解；(4)将三角形的解还原为实际问题，注意实际问题中的单位及近似计算要求，回答实际问题.要点诠释：要点二、解三角形应用题的基本思路实际问题 画图 数学问题 解三角形 数学问题的解 检验 实际问题的解要点三、实际问题中的一些名词、术语仰角和俯角与目标视线在同一铅垂平面内的水平视线和目标视线的夹角，目标视线在水平视线上方时叫仰角，目标视线在水平视线下方时叫俯角，如图所示：坡角和坡度坡面与地平面所成的角度，叫做坡角；坡面的铅直高度和水平宽度的比叫做坡度或者坡比，常用字母i表示。坡比是坡角的正

3、切值。方位角与方向角： 方位角：一般指正北方向线顺时针到目标方向线的水平角。方位角的取值范围为0°360°。如图，点的方位角是。方向角：一般是指以观测者的位置为中心，将正北或正南方向作为起始方向旋转到目标的方向线所成的角(一般指锐角)，通常表达成北(南)偏东(西)多少度。如图为南偏西方向（指以正南方向为始边，向正西方向旋转）；如图为北偏东方向（指从正北开始向正东方向旋转）.东南方向：指经过目标的射线是正东与正南的夹角平分线.依此可类推西南方向、西北方向等；要点四、解三角形应用中的常见题型正弦定理和余弦定理解三角形的常见题型有：1.测量距离问题：这类问题的情景一般属于“测量有

4、障碍物相隔的两点间的距离”，在测量过程中，要根据实际需要选取合适的基线长度，测量工具要有较高的精确度.2.测量高度问题：这类问题的情景属于“测量底（顶）部不能到达的物体的高度”.测量过程中，要注意选取适量不同的测量点，使测量有较高的精确度.3.测量角度问题：这类问题的情景属于“根据需要，对某些物体定位”.测量数据越精确，定位精度越高【典型例题】类型一：距离问题例1. (上海高考)如图，某公司要在A、B两地连线上的定点C处建造广告牌CD，其中D为顶端，AC长35米，CB长80米，设点A、B在同一水平面上，从A和B看D的仰角分别为和(1)设计中CD是铅垂方向，若要求2，问CD的长至多为多少(结果精

5、确到0.01米)？(2)施工完成后，CD与铅垂方向有偏差，现在实测得38.12°，18.45°，求CD的长(结果精确到0.01米)举一反三：【变式】为了开凿隧道，要测量隧道上间的距离，为此在山的一侧选取适当点，如图，测得，又测得两点到隧道口的距离，在一条直线上)，计算隧道的长.类型二：高度问题例2.某人在塔的正东沿着南偏西的方向前进40米后，望见 塔在东北方向，若沿途测得塔的最大仰角为，求塔高.举一反三：【变式1】(湖北高考)如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到A处时测得公路北侧一山顶D在西偏北30°的方向上，行驶600m后到达B处，测得此山顶在西偏北7

6、5°的方向上，仰角为30°，则此山的高度CD=_m. 【变式2】在某点B处测得建筑物AE的顶端A的仰角为，沿BE方向前进30m，至点C处测得顶端A的仰角为2，再继续前进10m至D点，测得顶端A的仰角为4，求的大小和建筑物AE的高。类型三：角度问题AB例3.甲船在A处、乙船在甲船正南方向距甲船20海里的B处，乙船以每小时10海里的速度向正北方向行驶，而甲船同时以每小时8海里的速度由A处向南偏西60o方向行驶，问经过多少小时后，甲、乙两船相距最近？举一反三：【变式1】两灯塔A、B与海洋观察站C的距离都等于a km,灯塔A在观察站C的北偏西30，灯塔B在观察站C南偏西60，则A、

7、B之间的距离为 ；【变式2】如图示，已知两座灯塔A和B与海洋观察站C的距离都等于，灯塔A在观察站C的北偏东20°，灯塔B在观察站C的南偏东40°，则灯塔A与灯塔B的距离为(   )A.   B. C.  D. 【变式3】如图所示，在海岸A处，发现北偏东45°方向，距A为()km的B处有一艘走私船.在A处北偏西75°方向，距A为2 km的C处的缉私船奉命以km/h的速度追截走私船.此时走私船正以10km/h的速度从B处向北偏东30°方向逃窜，则缉私船沿什么方向能最快追上走私船?并求出所需要的时间.1、 选择题BCA1

8、.学校体育馆的人字屋架为等腰三角形,如图,测得AC的长度为4米,则其跨度AB的长为( )A.12米 B.8米 C.米 D. 米 2.某人向正东方向走了x 千米后，他向右转150°，然后朝新方向走了3千米，结果他离出发点恰好千米，那么x的值为( )A.    B.或 C. D.33.在200米高的山顶上，测得山下一塔顶和塔底的俯角分别是30°、60°，则塔高为(   )A.米  B. 米  C. 米  D.米4.若在测量中，某渠道斜坡的坡度，设为坡角，那么为()A. B. C. D.5如图，设A，

9、B两点在河的两岸，一测量者在A的同侧，在A所在的河岸边选定一点C，测出AC的距离为50 m，ACB45°，CAB105°后，就可以计算出A，B两点的距离为()A mB mC m D. m6( 四川高考)如图，从气球A上测得正前方的河流的两岸B、C的俯角分别为75°、30°，此时气球的高是60m，则河流的宽度BC等于()A240(1)m B.180(1)mC120(1)mD30(1)m填空题7. 一艘船以的速度向正北方向航行,船在处看见灯塔在船的东北方向上,后船在处看见灯塔在船的北偏东的方向上,这时,船与灯塔的距离 ；8. (四川高考)如图，从气球A上测得

10、正前方的河流的两岸B，C的俯角分别为67°，30°，此时气球的高是46m，则河流的宽度BC约等于 m(用四舍五入法将结果精确到个位参考数据：sin67°0.92，cos67°0.39，sin37°0.60，cos37°0.80，1.73)9. (河南高考)如图，为测量山高MN，选择A和另一座山的山顶C为测量观测点，从A点测得M点的仰角MAN60°，C点的仰角CAB45°以及MAC75°；从C点测得MCA60°已知山高BC100m，则山高MNm解答题10如图所示，已知A、B两点的距离为100海里，

11、B在A的北偏东30°处，甲船自A以50海里/小时的速度向B航行，同时乙船自B以30海里/小时的速度沿方位角150°方向航行问航行几小时，两船之间的距离最短？11我炮兵阵地位于地面A处，两观察所分别位于地面点C和D处，已知DC=6000米，ACD=45°，ADC=75°，目标出现于地面点B处时，测得BCD=30°，BDC=15°(如图所示)求炮兵阵地到目标的距离(结果保留根号)12一辑私艇发现在北偏东45°方向，距离12海里的海里上有一走私船正以10海里/小时的速度沿南偏东75°方向逃窜，若辑私艇的速度为14海里，辑

12、私艇沿北偏东 的方向追去，若要在最短的时间内追上该走私船，求追及所需的时间和角的正弦值13. 如图，A、B是水平面上的两个点，相距800m，在A点测得山顶C的仰角为25°，BAD=110°，又在B点测得ABD=40°，其中D是点C在水平面上的垂足，求山高CD.(精确到1m)14.如图，一艘海轮从A出发，沿北偏东的方向航行后到达海岛B,然后从B出发,沿北偏东的方向航行后达到海岛C.如果下次航行直接从A出发到达C,此船应该沿怎样的方向航行,需要航行多少距离?15.如图，当甲船位于A处时获悉，在其正东方向相距20海里的B处有一艘渔船遇险等待营救甲船立即前往救援，同时把消

13、息告知在甲船的南偏西30°，相距10海里的C处的乙船，试问乙船应朝北偏东多少度的方向沿直线前往B处救援？(角度精确到1°，sin 41°)新人教版高中数学解三角全章复习知识点及讲义解三角形 内容简介：1. 正弦定理和余弦定理掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题2.应用能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的实际问题解三角形应用举例【知识要点】 要点一、解三角形应用题的步骤解三角形在实际中应用非常广泛，如测量、航海、几何、物理等方面都要用到解三角形的知识，解题时应认真分析题意，并做到算法简练，算式工整，计算正确.其解题

14、的一般步骤是：(1)准确理解题意，尤其要理解应用题中的有关名词和术语；明确已知和所求，理清量与量之间的关系；(2)根据题意画出示意图，并将已知条件在图形中标出，将实际问题抽象成解三角形模型；(3) 分析与所研究的问题有关的一个或几个三角形，正确运用正弦定理和余弦定理，有顺序的求解；(4)将三角形的解还原为实际问题，注意实际问题中的单位及近似计算要求，回答实际问题.要点诠释：要点二、解三角形应用题的基本思路实际问题 画图 数学问题 解三角形 数学问题的解 检验 实际问题的解要点三、实际问题中的一些名词、术语仰角和俯角与目标视线在同一铅垂平面内的水平视线和目标视线的夹角，目标视线在水平视线上方时叫

15、仰角，目标视线在水平视线下方时叫俯角，如图所示：坡角和坡度坡面与地平面所成的角度，叫做坡角；坡面的铅直高度和水平宽度的比叫做坡度或者坡比，常用字母i表示。坡比是坡角的正切值。方位角与方向角： 方位角：一般指正北方向线顺时针到目标方向线的水平角。方位角的取值范围为0°360°。如图，点的方位角是。方向角：一般是指以观测者的位置为中心，将正北或正南方向作为起始方向旋转到目标的方向线所成的角(一般指锐角)，通常表达成北(南)偏东(西)多少度。如图为南偏西方向（指以正南方向为始边，向正西方向旋转）；如图为北偏东方向（指从正北开始向正东方向旋转）.东南方向：指经过目标的射线是正东与正

16、南的夹角平分线.依此可类推西南方向、西北方向等；要点四、解三角形应用中的常见题型正弦定理和余弦定理解三角形的常见题型有：1.测量距离问题：这类问题的情景一般属于“测量有障碍物相隔的两点间的距离”，在测量过程中，要根据实际需要选取合适的基线长度，测量工具要有较高的精确度.2.测量高度问题：这类问题的情景属于“测量底（顶）部不能到达的物体的高度”.测量过程中，要注意选取适量不同的测量点，使测量有较高的精确度.3.测量角度问题：这类问题的情景属于“根据需要，对某些物体定位”.测量数据越精确，定位精度越高【典型例题】类型一：距离问题例1. (上海高考)如图，某公司要在A、B两地连线上的定点C处建造广告

17、牌CD，其中D为顶端，AC长35米，CB长80米，设点A、B在同一水平面上，从A和B看D的仰角分别为和(1)设计中CD是铅垂方向，若要求2，问CD的长至多为多少(结果精确到0.01米)？(2)施工完成后，CD与铅垂方向有偏差，现在实测得38.12°，18.45°，求CD的长(结果精确到0.01米)【答案】(1) 28.28米.(2) 26.93米.【解析】(1)设CD的长为x米，则tan，tan，tantan2，即，解得 0，即CD的长至多为28.28米(2)设DBa，DAb，CDm，则ADB180°123.43°，由正弦定理得，即，答：CD的长为26.

18、93米举一反三：【变式】为了开凿隧道，要测量隧道上间的距离，为此在山的一侧选取适当点，如图，测得，又测得两点到隧道口的距离，在一条直线上)，计算隧道的长.【答案】在中，由余弦定理得.答：隧道长约为409.2 m.类型二：高度问题例2.某人在塔的正东沿着南偏西的方向前进40米后，望见 塔在东北方向，若沿途测得塔的最大仰角为，求塔高.【解析】如图所示，过B做于点E,由题意知在E点测得塔的最大仰角，在.由正弦定理，得在中，在中，（米）故所求塔高为米举一反三：【变式1】(湖北高考)如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到A处时测得公路北侧一山顶D在西偏北30°的方向上，行驶600m后到

19、达B处，测得此山顶在西偏北75°的方向上，仰角为30°，则此山的高度CD=_m. 【答案】.【解析】在ABC中，CAB=30°，ACB=75°30°=45°，根据正弦定理知，即，所以，故应填.【变式2】在某点B处测得建筑物AE的顶端A的仰角为，沿BE方向前进30m，至点C处测得顶端A的仰角为2，再继续前进10m至D点，测得顶端A的仰角为4，求的大小和建筑物AE的高。【答案】方法一：用正弦定理求解由已知可得在ACD中，AC=BC=30， AD=DC=10，ADC =， 因为sin4=2sin2cos2，,得在RtADE中，AE=ADsi

20、n60=15答：所求角，建筑物高度为15m。方法二：设方程来求解设DE= x，AE=h在RtACE中,(10+ x) + h=30在RtADE中,x+h=(10)两式相减，得x=5,h=15在RtACE中,tan2=答：所求角，建筑物高度为15m。方法三：用倍角公式求解设建筑物高为AE=8，由题意，得BAC=，CAD=2，AC=BC=30m ,AD=CD=10m在RtACE中，sin2= - 在RtADE中，sin4=- 得cos2=,2=30,=15，AE=ADsin60=15答：所求角，建筑物高度为15m。类型三：角度问题AB例3.甲船在A处、乙船在甲船正南方向距甲船20海里的B处，乙船以

21、每小时10海里的速度向正北方向行驶，而甲船同时以每小时8海里的速度由A处向南偏西60o方向行驶，问经过多少小时后，甲、乙两船相距最近？【解析】设经过x小时后，甲船和乙船分别到达C,D两点 ABDC此时,甲、乙两船相距最近举一反三：【变式1】两灯塔A、B与海洋观察站C的距离都等于a km,灯塔A在观察站C的北偏西30，灯塔B在观察站C南偏西60，则A、B之间的距离为 ；【答案】；如图，。【变式2】如图示，已知两座灯塔A和B与海洋观察站C的距离都等于，灯塔A在观察站C的北偏东20°，灯塔B在观察站C的南偏东40°，则灯塔A与灯塔B的距离为(   )A.  

22、B. C.  D.【答案】B 【变式3】如图所示，在海岸A处，发现北偏东45°方向，距A为()km的B处有一艘走私船.在A处北偏西75°方向，距A为2 km的C处的缉私船奉命以km/h的速度追截走私船.此时走私船正以10km/h的速度从B处向北偏东30°方向逃窜，则缉私船沿什么方向能最快追上走私船?并求出所需要的时间.【解析】设缉私船追上走私船需，则，.由余弦定理，得 ，由正弦定理，得，而，.，即， 答：缉私船向东偏北方向，只需便能追上走私船.2、 选择题BCA1.学校体育馆的人字屋架为等腰三角形,如图,测得AC的长度为4米,则其跨度AB的长为( )A.

23、12米 B.8米 C.米 D. 米 2.某人向正东方向走了x 千米后，他向右转150°，然后朝新方向走了3千米，结果他离出发点恰好千米，那么x的值为( )A.    B.或 C. D.33.在200米高的山顶上，测得山下一塔顶和塔底的俯角分别是30°、60°，则塔高为(   )A.米  B. 米  C. 米  D.米4.若在测量中，某渠道斜坡的坡度，设为坡角，那么为()A. B. C. D.5如图，设A，B两点在河的两岸，一测量者在A的同侧，在A所在的河岸边选定一点C，测出AC的距离为50 m，

24、ACB45°，CAB105°后，就可以计算出A，B两点的距离为()A mB mC m D. m6( 四川高考)如图，从气球A上测得正前方的河流的两岸B、C的俯角分别为75°、30°，此时气球的高是60m，则河流的宽度BC等于()A240(1)m B.180(1)mC120(1)mD30(1)m填空题7. 一艘船以的速度向正北方向航行,船在处看见灯塔在船的东北方向上,后船在处看见灯塔在船的北偏东的方向上,这时,船与灯塔的距离 ；8. (四川高考)如图，从气球A上测得正前方的河流的两岸B，C的俯角分别为67°，30°，此时气球的高是46m

25、，则河流的宽度BC约等于 m(用四舍五入法将结果精确到个位参考数据：sin67°0.92，cos67°0.39，sin37°0.60，cos37°0.80，1.73)9. (河南高考)如图，为测量山高MN，选择A和另一座山的山顶C为测量观测点，从A点测得M点的仰角MAN60°，C点的仰角CAB45°以及MAC75°；从C点测得MCA60°已知山高BC100m，则山高MNm解答题10如图所示，已知A、B两点的距离为100海里，B在A的北偏东30°处，甲船自A以50海里/小时的速度向B航行，同时乙船自B以30

26、海里/小时的速度沿方位角150°方向航行问航行几小时，两船之间的距离最短？11我炮兵阵地位于地面A处，两观察所分别位于地面点C和D处，已知DC=6000米，ACD=45°，ADC=75°，目标出现于地面点B处时，测得BCD=30°，BDC=15°(如图所示)求炮兵阵地到目标的距离(结果保留根号)12一辑私艇发现在北偏东45°方向，距离12海里的海里上有一走私船正以10海里/小时的速度沿南偏东75°方向逃窜，若辑私艇的速度为14海里，辑私艇沿北偏东 的方向追去，若要在最短的时间内追上该走私船，求追及所需的时间和角的正弦值13.

27、 如图，A、B是水平面上的两个点，相距800m，在A点测得山顶C的仰角为25°，BAD=110°，又在B点测得ABD=40°，其中D是点C在水平面上的垂足，求山高CD.(精确到1m)14.如图，一艘海轮从A出发，沿北偏东的方向航行后到达海岛B,然后从B出发,沿北偏东的方向航行后达到海岛C.如果下次航行直接从A出发到达C,此船应该沿怎样的方向航行,需要航行多少距离?15.如图，当甲船位于A处时获悉，在其正东方向相距20海里的B处有一艘渔船遇险等待营救甲船立即前往救援，同时把消息告知在甲船的南偏西30°，相距10海里的C处的乙船，试问乙船应朝北偏东多少度的方

28、向沿直线前往B处救援？(角度精确到1°，sin 41°)【答案与解析】1. 【答案】D 【解析】ABCx2. 【答案】B【解析】如图所示，设，由余弦定理可得，解之得，故选B3. 【答案】A【解析】设塔高AB为h,在RtCDB中, 所以可求在ABC中,由正弦定理,可求4.【答案】B【解析】由坡度为3：4知，由同角的三角函数关系可求.故选B5【答案】A【解析】在ABC中，AC50，ACB45°，CAB105°ABC30°，由正弦定理： ABm故选A.6. 【答案】C【解析】如图，由图可知，DAB15°，在RtADB中，又AD60，DBADtan15°60×(2)12060在RtADB中，DAC60°，AD60，DCADtan60°60BCDCDB60(12060)120()(m)河流的宽度BC等于120()m故选：C7.【答案】；【解析】如图所示： ，在中，根据正弦定理 。8.【答案】；【解析】过A点作AD垂直于CB的延长线，垂足为D，