单一水准路线条件平差

1、单一水准路线条件平差案例导入： 见子情境学习情景，现在要求按条件平差方法求解知识准备：在测量工作中，由于受到观测条件的限制，观测值中不可避免地带有误差。为了能及时发现错误并提高测量成果的精度，常需要做多余观测。图2-4三角形例如，为了确定图2-4中平面三角形的形状，只要知道其中任意两个内角就可以了，即必要观测数，但为了发现角度观测过程中的粗差，并提高观测成果的质量，通常对三个内角都进行观测，此时观测值个数，观测值个数大于必要观测数，产生了个多余观测。由于测量误差的存在，观测值之间会出现不符值，即 （2-21）在一个几何模型中，有个多余观测，就会产生个条件方程，以条件方程为函数模型的平差方法，就

2、是条件平差。条件平差的函数模型为：，或 （2-22）式中， 条件平差的随机模型为： （2-23）测量平差的准则是： （2-24）条件平差就是要求在满足个条件方程（2-22）的条件下，求使函数的值。在高等数学中是属于求函数的条件极值问题。一、条件平差原理设有个平差值条件方程： （2-25）式中，（1，2，）为条件方程系数，为条件方程常数项。系数与常数项与平差问题的性质相关，与本身的观测值大小无关。将代入上式，可得： （2-26）式中，为条件方程的闭合差，或称不符值，即 （2-27）令，则（2-25）式可写作： （2-28）同理（2-26）式可写作： （2-29）式中， （2-27）式的矩阵形式为

3、： （2-30）由（2-28）式知，的理论值为零。由（2-28）或（2-29）式可知，条件方程的未知数个数为，方程的个数为，由于，方程的个数小于未知量的个数，原方程组为相容方程组，有无穷多组解。为了求得条件方程组的唯一解，要求附加约束条件，即满足最小二乘准则。求解时按求条件极值时用到的拉格朗日乘数法，设其乘系数向量为，在条件平差中称为联系数向量。构造函数：将对求一阶导数，并令其为零，得两边转置，得于是，观测值改正数向量的计算公式： （2-31）上式称为改正数方程。联立个改正数方程（2-31）与个条件方程（2-29），得： （2-32）（2-32）式称为条件平差的基础方程。可以发现，基础方程方程

4、中未知数的个数为，即个改正数，个联系数，方程的个数为，即个改正数方程，个条件方程，方程的个数等于未知数的个数，可以得到满足最小二乘准则下的条件方程的唯一解。基础方程解算可以按以下过程进行：将（2-31）式代入（2-29）式，得：令 （2-33）则有 （2-34）（2-34）式称为条件平差的联系数法方程，简称法方程。法方程系数矩阵的秩： （2-35）且 （2-36）即是对称满秩矩阵，其逆阵存在，由法方程式（2-33）可得联系数的唯一解： （2-37）将代入（2-31）式，可求出改正数向量： （2-38）进而可求出观测值平差值： （2-39）至此，完成了条件平差法中求平差值的工作。当权阵为对角阵时

5、，改正数方程（2-31）和法方程（2-34）若用纯量形式表示，分别为： （1，2，） （2-40）及： （2-41）二、条件平差计算步骤按条件平差法进行平差的主要计算步骤可以归纳如下：1） 确定条件方程的个数，条件方程的个数等于多余观测数；2） 定权。根据定权原理确定各观测值的权；3） 根据平差的具体情况，列出条件方程式；4） 根据条件方程的系数、闭合差及观测值的权阵组成法方程；5） 根据法方程，解算联系数向量；6） 根据（2-38）式计算观测值改正数向量；7） 根据（2-39）式计算观测值平差值；8） 将计算出的平差结果代入条件方程（2-25）校核计算的正确性；9） 计算观测值平差值函数的平差值，并评定平差结果的精度。案例解答：解：由题意可知，总观测数，必要观测数，则多余观测个数。（1）列平差值条件方程：列条件方程（2）计算权倒数，令