不可压缩理想流体无旋运动

1、Chapter 7 理想不可压缩流体无旋运动§引言一、不可压缩理想流体无旋运动模型1）理想：粘性力惯性力的区域例如绕流问题中边界层以外区域的流动。不脱体绕流流动在研究压力场和速度场时可不计边界层，近似看成理想流体绕流物体流动。2）不可压缩：液体，通常情况下。 气体，低速绕流运动（流速声速），例如飞机速度<100m/s时。 3）无旋运动：在以上近似下，有势体力场中流体涡旋运动性质具有保持性，即初始无旋则永远无旋。在流体从静止开始的运动中（如浸没在静止流体中的小球膨胀引起的运动）和无穷远均匀来流绕流物体的运动等，流动均无旋。此模型是对一类广泛存在的流动问题的理想近似。二、基本方程组

2、一般情况下要求解非线性方程组。或关于速度场的求解已求解满足一定边界条件的Laplace方程问题。是否线性问题取决于边界条件。在线性边界条件下此模型已将原本非线性的求速度场的问题化为线性问题。并且由于是线性的，故满足迭加原理，可由基本解迭加求得。例如若和均为无穷远均匀来流绕流某一固壁边界C的流动，即 ， 则均匀来流绕流该固壁边界的流动其速度势为。反之，流动可分解为和流动的合成。§2速度势函数和无旋运动的一般特性一、速度势无旋运动可设，。速度势的单值和多值问题单连通区域单值；复连通区域多值，相差的整数倍，其中是内边界上的速度环量。不可压缩无旋流动速度势满足：，因而是调和函数，具备调和函数

3、的一般性质，包括： 在D无极值，在D无最大值，在D不能达到最小值； 动能表达式单连通区域：双连通区域： 由可得出以下结论*单连通区域若边界上有则流体静止，流体内处处有； *单连通区域若边界上有则流体静止，流体内处处有； *单连通区域若部分边界上有，其余边界上有，则流体静止，全流场有。 开尔文最小能量原理：在单连通区域内的不可压缩流动，如果给定边界上流体的法向速度，则在所有可能的运动形式中，将以无旋流动的总动能为最小。i.e.有旋运动总动能大于无旋运动总动能。附Laplace方程解的唯一性 关于 Laplace方程的解，其一般形式，存在性和唯一性在数学上有一整套的理论，在以下条件下，该方程有唯一

4、解：单连通区域给定边界上或，或给定部分边界上的和其余边界上的。证明：设同一边界条件下有两个解和，则满足 由调和函数性质知，即与仅相差一个常数，二者代表相同的流动。有界双连通区域：单连通域条件+给定内边界速度环量（或给定分隔面上的流量）例如两柱壳间区域内的旋转流动。无界双连通区域：例如物体外流动、点源的场等。设无穷远为的大球面，可将直接推广过来。三、本章内容：讨论两类不可压缩理想流体的无旋流动。§6、理想不可压缩流体平面定常无旋流动一、平面运动模型流动参数沿三维空间的某一方向（取为轴）不变，并且速度矢量落在与该方向垂直的平面内：。最简单的模型：均匀来流绕流无限长柱体。可近似看成平面流动

5、的实例：河水绕流桥墩，空气绕流烟囱，机翼绕流等。在这些流动中，物体的某一方向的尺度>>其它两方向的尺度（细长物体），且物体垂直于该方向的截面大小、形状变化很小，故被绕流的物体可近似看成是均匀截面的细长柱体。均匀截面的细长柱体的横向绕流流动，除柱体两端外，在柱体周围的大部分区域有 任一垂直于的平面上的流动可表征除两端以外的区域内的流动。此模型使问题进一步简化，更易于求解，研究平面运动还具有重要的理论意义，通过它的研究可以对流动的性质有更多的了解，并积累处理问题的方法，所有这些都是处理复杂流动问题所必需的。二、不可压缩平面流动的流函数1.不可压缩流体平面流动的Lagrange流函数，设

6、流动在平面内： 证明：若则可以表示为某一函数的全微分，设此函数为，则 于是有。若存在函数，速度分量可以表示为，则代入即可证明。函数被称为流函数，此积分因是全微分的积分而与路径无关，只取决于、点的位置，若取为参考点可设。流函数的物理意义：二维流动流体体积通量的意义：通过平面上与连线的流体体积通量通过曲线沿平移单位距离时扫过的曲面上的流体体积通量。对不可压缩流体，在无源或汇的区域此通量与连线形状无关，只取决于与两点的位置。设通量向右为正，代表线元向右的法向，通过的向右的流体体积通量I=通过沿两坐标轴的投影线元上的向右的流体体积通量II+III，即。可见是与两点间任意连线上的“向右的”流体体积通量。

7、注： 证明：若沿某曲线，在该曲线上取线元，上有，即，即，可见该曲线是流线。若某曲线是流线，在该曲线上取线元，则有，于是该线元上流函数的增量，可见沿该曲线。画图从的物理意义上分析亦可证明上述定理（此时可表述为沿流线的曲线上的流体体积通量=0）。由还可知与流线处处正交。二维不可压缩无旋流动，即是调和函数。任意线元处的法向速度与的关系：，向右为正。极坐标下有 ， 若取为流线法向线元，方向如图，则，或。 矢量关系式：沿流线且垂直于等速度势线，故流线与等速度势线正交。例题：均匀流动的流函数和势函数，取原点为参考点，设。设有一均匀流动沿方向，此流动流函数另有一均匀流动沿方向，此流动流函数若空间均匀流动，则

8、此流动流函数（迭加原理，设此时无边界）定义在单连通区域上的平面无旋不可压缩流动，是单值函数（可含一任意常数）；定义在复连通区域上的平面无旋不可压缩流动，可能是多值函数，其中为内边界上的流体体积通量。§7 复位势及复速度一、预备知识复变函数的一些概念1、解析函数和调和函数 ，是实函数，若函数在一个区域内点点可微则在内解析。在内解析的充要条件：和满足柯西黎曼条件：，且和在内连续可微。由柯西黎曼条件知解析函数的实部和虚部均为调和函数：。解析函数的导数2、奇点，留数，留数定理内不解析的点叫奇点，若在某个奇点的有限小邻域内（不包括该奇点）解析则该奇点是孤立奇点，例如：的点。设点是复函数的孤立奇

9、点，代表圆周：，设足够小，只包围一个奇点。称积分的值为函数在孤立奇点处的留数，记为。与无关。函数在孤立奇点处的留数=在邻域内罗朗展开式中负一次幂的系数， 。留数计算法则：是的一阶奇点则是的阶奇点则留数定理：如果在闭曲线的内部内除了有限个孤立奇点外解析（并且在上除外连续），那么 证明(定性)：柯西积分公式 在内解析，上连续，则沿区域的边界有 积分 为以为心任意半径的圆周，则 时 时 在孤立奇点附近展开成罗朗级数， ，闭合曲线包围孤立奇点。二、复势和复速度在除孤立奇点（点涡，点源，点汇）以外的不可压缩平面无旋运动流场中，函数和满足柯西黎曼条件，并满足连续可微条件，故二者可构成一个解析函数，被称为复

10、势。重要关系式：1）复速度，引入复速度。因为，所以共轭复速度。2）。和分别代表闭曲线上的速度环量和流体体积通量。§8 定常理想不可压缩平面无旋流动问题的数学提法引入复势后，可以利用复变函数这一有力的数学工具解决这一类流动问题。以绕流流动为例，设固体静止，固壁边界c，固壁外无界空间，求解速度场的问题转化为：说明：1）复势与平面无旋运动一一对应（可含有一个任意常数，在复连通区域为多值函数），任一给定的解析函数都代表了一个不可压缩平面无旋流动，而该解析函数是否与某一特定流动对应则取决于它是否满足该流动的特定边界条件。因而通过求求解流动就是寻找满足一定边界条件的。满足一定边界条件的和具有唯一

11、性具有唯一性。2）复势满足迭加原理（须受边界条件限制）：解析函数之和仍为解析函数，即复势迭加所得到的复势仍对应一个平面无旋运动。布置Groupwork复习，三、基本流动的复势（反问题：简单复势对应的流动）1、线性函数 ，为复常数 ，说明该复势对应均匀直线流动。故均匀流动：或，其中和分别代表速度大小和方向。2、对数函数，为实数，是奇点将代入得，于是可知，可见流线是发自原点（奇点）的辐射线。则为点源激发的流动，则为点汇激发的流动。，闭合曲线代表包围原点的圆周。故强度为的点源（汇）的流场：。3、对数函数，为实数，为奇点。，于是知，可见流线为同心圆周。，该速度代表一个轴对称圆周运动，绕行方向取决于的正

12、负。上式也说明在处有点涡存在（轴为涡丝，强度为），也就是说该复势对应直线涡丝诱导的流动或点涡诱导的平面流动。故点涡的场复势为。4、幂函数 为实数且（不代表有实际意义的流动） ，； ，；零流线：对应和（一般有，为整数）。若此二流线处是固壁边界，则表示绕此角形固壁边界的“绕角流动”。设，处 ， 处 ，则流线图如右侧各图所示。特例：代表凹角内流动。时，处，角点为驻点。特别当，代表驻点附近的流动或绕直角形边界的流动。，流线是一族双曲线。代表均匀流动表示绕平板前缘的流动代表绕凸角的流动。由表达式知此时有当，这在实际不可能。实际上，由于粘性的存在，在凸角附近总发生流动分离。O5、反比例函数，为常数。偶极子

13、：无限靠近的一对等强度点源和点汇。说明：（1）两个解析函数的和仍为解析函数。在除去两个孤立奇点以外的无界二维空间内是解析函数，因而对应该空间内的某个不可压缩平面无旋流动；（2）满足流动的边界条件：无穷远静止；（3）两奇点分别为强度为的点源和点汇。化简：（上下同时对求导） （设偶极子强度） 可见反比例函数表示偶极子的场。流线图：设，则流线方程为，即 ，可见流线族为与轴相切圆心在轴上的圆族。远场：。点源的场，相比之下偶极子场随增加衰减更快。四、圆柱的绕流简单流动复势迭加给出较复杂的流动的复势1、无环量的圆柱绕流（均匀来流绕流静止圆柱）以流函数描述的控制方程组：。以复势描述：讨论均匀流动与偶极子流动

14、的迭加。均匀来流沿轴，速度，偶极子逆轴置于原点。 设。流线。零流线和如图所示。若取则此可表示绕流静止的圆柱体的流场，。当时 ie 无穷远处是均匀流动，速度为（满足无穷远边界条件）。参阅北大书p43上的定性分析。 分析：1）速度在柱面上的分布： ，可见，柱面上速率按正弦分布。2）柱面上压力分布Bernoulli eq.（略体力）：，由此得柱面上有。驻点处的动压=，因而常用表示的特征值。引入无量纲的压力系数反映压力的相对分布：。I 此处，上、下和前、后对称分布，因而柱体不受阻力和升力。压力分布图说明：真实流动，脱体现象、实验曲线，阻力。观看图片注：分支流线柱体在静止流体中匀速移动引起流体运动，流动

15、复势。（思考：由速度在不同参照系中的换算复势在不同参照系中的换算：柱体参照系下的复势+牵连速度对应的均匀流动的复势=静系（静止流体）下的流动复势）2、有环量的圆柱绕流实验：北大p49图7.1.11。圆柱体立于小车上，圆柱体可绕其轴线作定轴转动。此装置置于风洞中，当柱体不转，风以吹来，此时柱和小车系统静止不动。当柱体转动再吹风时，小车开始移动沿或逆向，取决于转动方向。解释：若不考虑粘性，流场同1，系统不可能运动，因而必须考虑粘性，粘性的存在使界面附近的气体随柱转动（）。粘性引起的气体的圆形流线运动等价于点涡诱导的理想流体无旋流动的流场，如同球面上均匀分布的电荷在球外激发的静电场等价于所有电荷集中

16、于球心时球外空间的电场）。此时内边界上存在速度环量，设为。这是有环量的圆柱绕流问题。我们期待绕旋转圆柱的流动能产生使圆柱发生横向运动的升力。复势：绕流静止圆柱的复势（满足无穷远边界条件和物面为流线的边界条件）+点涡的复势（满足无穷远边界条件、物面为流线条件以及界面上速度环量=的条件） （柱体顺时针旋转对应负的环量）分析：1、驻点： 即： 两驻点一个在圆内，一个在圆外，对应流动状况如图1所示，流场中只有一个驻点。在所形成的回线内部，流体绕圆柱环流，总是不进入主流。，：流动状况如图2.，：两驻点位置如图3，流动状况如图3。可见，一定时，随减小流线的变化情况。2、升力定性分析，在柱体上方，环流引起的

17、速度与来流速度方向基本一致，故速度增大，而在下方正相反，ie环流导致速度分布不对称（相对轴），从而破坏了压力的对称分布，于是产生了沿轴方向的升力。若反向则升力方向也变为逆轴方向。定量计算升力：在单位长柱面上积分给出单位长柱体受力。Bernoulli eq.：，其中代表柱面上流体复速度，。 ， 。关于轴对称故；。矢量关系：。注：仍与事实不符，实际流体粘性导致阻力存在。Magnus效应：旋转物体如乒乓球、排球等受升力，无粘性理论可解释这一效应。例一：点源和点涡迭置于平面上一点（水泵内的流动），求流动复势，流函数，速度。 ， ，六、平面运动中的像方法在由奇点（点源或点涡）产生的流动中，加入固壁边界条

18、件（物体），边界就会对流动产生干扰，改变流动状况。如右图，在点源的场中放入平板，对于平板或圆这类简单的边界，我们有如下的方法求复势，而于复杂的边界，可先用保角变换的方法将其变成简单边界，然后再使用镜象法。定义几种不同形式的共轭运算： e.g. ，奇点是。 e.g. ，奇点为。注意：和的奇点都是奇点的共轭，此结论普适。 普通的复共轭 。1、平面边界的镜像法e.g.：点涡和平板边界，点涡（）位于右半平面（），求右半平面内的流场。分析：假如在左半平面对称地放置一个点涡，这样一对涡产生的流动既满足了平板处的边界条件，又未改变右半平面内的奇点。点涡场：。点涡及其像的流场迭加即右半平面内的流动：。一般地有

19、如下定理：如果所有的奇点都位于右半平面内，无固壁边界时其复势为，当以作为固壁边界后，在区域内复势为证明：在边界上，故=实函数，即。的奇点在右半平面，的奇点在左半平面，故右半平面的奇点与的相同。综合以上，定理得证。设奇点都在上半平面，以实轴为固壁边界，则。（分别以点源和点涡为例说明）证明：此时边界上故 故边界上实函数，即。的奇点在上半平面，的奇点在下半平面。故上半平面的奇点与的相同，综合以上，定理得证。像点与原奇点位置关于边界对称，强度共轭（源强度不变，涡强度反号）例：求偶极子相对某一直线壁的像。单个偶极子的流场上半平面流场2、Milne一Thomson圆定理圆柱边界的像。内容：如果为没有任何固

20、体边界并且在圆内无任何奇点的平面流动的复势，在流场中引入圆（柱）边界后，圆柱外的流动复势将为 ， 实例：无环量圆柱绕流 ，均匀来流关于圆边界的像为位于圆心的偶极子证明：柱面上（圆边界上），故仍有实函数，。 若为奇点则为奇点ie 为奇点。的镜像点为 故奇点均在圆内。为所求流动复势。Eg4：圆柱外的源的流场： 像在点，像在原点。Eg5：圆柱外的涡的场。 一一反伫点处的反向涡 一一原点处的同向涡 七、保角变换及其应用1、保角变换及保角变换方法求复势的基本思想：将平面固壁边界或多角形区域研究外的流动变换成圆边界或平板边界问题， 解析变换的性质（单值函数）平面处某线元，对应平面处线元，线元放大率：，其值

21、逐点而异，线元方向变化：，其值与线元的取向无关，即处沿不同方向的线元（例如和）变换到平面时转过相同的角度变换是保角的（除点外）。例，角形区域如右图的变换：，处变换不保角，直线变换到平面仍是直线。直线1：，变换到平面转过角度；直线2：，变换到平面转过角度；奇点变换到平面成为奇点。 直线：，成为与轴夹角为的直线。说明：(i) 若是解析函数，解析保证解析，反之亦然。(ii)对应点处复势相等，即相等，线段与对应，上上(iii)奇点的变换：(iv)平面的无穷远均匀来流，变换后的共轭复速度 , 2、保角变换应用之一茹柯夫斯基变换 () ，为实常数。 例 平板绕流(i) 平面上的圆，即平面：（实数），对应平面上的直线段，长；(ii) 平面平板（长），攻角为的均匀来流（）绕流该平板，设绕流平板速度环量（即绕平面内对应圆周环量）。平面均匀来流变换到平面对应的无穷远边界条件为：可见对应平面来流攻角不变，速率减小一半。 （iii）库塔条件 ，当时即A点处。要使A点处速度有限必有（仅当时无环量）是绕流时由于粘性而导致的流动分离引起的环量，对于确定的来流及板长，值是唯一的。注意平板后缘是驻点。§3、定常二维绕流问题中物体所受的力问题的提出：小鸟扇动翅膀（eg蜂鸟吸花