数形结合,巧解“与圆有关的最值问题”

1、数形结合,巧解“与圆有关的最值问题”(山东省乳山市第五中学 264511 张志涛与圆有关的最值问题是考试的一个热点,其题型丰富多采.而圆又是一种同学们最熟悉的几何图形,我们在初中就学过大量圆的知识,所以若能联系其几何性质,数形结合,机动灵活地去分析问题,则往往会收到事半功倍的效果,现举例说明.例1 平面上有两点A (1-,0,B (1,0,P 为圆x y x y 2268210+-+=上的一点,试求S AP BP =+|22最小值.解析:把已知圆的一般方程化为标准方程得(x y -+-=34422,设点P 的坐标为(,x y 00,则2222220000|(1(1S AP BP x y x y

2、 =+=+-+222002(12(1x y OP =+=+ 要使2 2|BP AP S +=最小,需|OP 最小,即使圆上的点到原点的距离最小.结合图形,容易知道325|min =-=-=r OC OP ,所以2013(22min =+=S .点评:设 P (x ,y ,使要求的式子转化为求圆上的点到原点的距离问题,利用数形结合法求最值,实质上是利用初中学过的“连结两点的线段中,直线段最短”这一性质.例2 点A 在圆(x y -+-=53922上,则点A 到直线3420x y +-=的最短距离为( A. 9B. 8C. 5D. 2解析:过C 作CD 直线3420x y +-=于D ,交圆C 于

3、A , 则AD CD r =-为所求 .AD 点评:涉及到圆上的点到某条直线的距离的最值,要发挥好圆心的“核心”作用.本题实质上是利用“从直线外一点向直线引的所用线段中,垂线段最短”这一原理例3 0,3(P 在圆0122822=+-+y x y x 内一点.求(1过P 的圆的最短弦所在直线方程(2过P 的圆的最长弦所在直线方程解析:圆方程可以化成51(4(22=-+-y x ,圆心1,4(O 1=OP k 短l :3(-=x y 即 03=-+y x ; 长l :3(-=x y 即03=-y x . 点评:最长弦当然是直径了,而最短弦是与直径垂直的弦.例4 已知实数x ,y 满足方程22(23

4、x y -+=.(1 求y x的最大值与最小值; (2 求y x -的最大值与最小值; (3 求22x y +的最大值和最小值.分析:22(23x y -+=为圆的方程,(,P x y 是圆心为(2,0 点.y x的几何意义是圆上一点与原点连线的斜率,y x -的几何意义是直线y x b =+在轴上的截距,22x y +的几何意义是圆上一点到原点距离的平方.解:(1设y k x=,即y kx =.当直线y kx =与圆相切时,斜率k 取最大值与最小值,=k =.所以y x k = (2设y x b -=,当直线y x b -=与圆相切时,纵截距b 取得最大值与最小值,=解得2b =-所以y x -的最大值为2-,最小值2-. (3表示圆上一点到原点距离,由平面几何知识知,其最大值为圆心到原 点的距离加上圆的半径,其最小值为圆心到原点的距离减去圆的半径,分别是2 与222x y +的最大值和最小值分别为7+7-. 例5 过直线1y =上一点P (x ,y 作圆22(1(11x y +=的切线,求切线长的最小值. 解析:如图所示,切线长PM=PM的最小值,只需求PC的最小值.PC是直线上一点到圆心的距离,由于经直线外一点所引直线的垂线段的长度是该点到直线的距离的最小值,所以当PC垂直于直线时,min 2PC=,此时,切 小结与提升:圆的知识在初中与高中都要学习,是一典型的知