第三节平面向量的数量积

1、第三节平面向量的数量积抓住3个基础知识点抓基砒固根源煤基蝕分、平面向量的数量积1. 数量积的定义：已知两个非零向量 a和b,它们的夹角为0,贝U向量a与b的数量积是数量|a|b|cos 0记作a b, 即卩a b = |a|b|cos 0规定：零向量与任一向量的数量积为0.2. 向量的投影：设0为a与b的夹角，则向量a在b方向上的投影是|a|cos 0;向量b 在a方向上的投影是|b|cos 0.3. 数量积的几何意义：数量积 a b等于a的长度|a|与b在a的方向上的投影|b|cos 0的 乘积.二、平面向量数量积的运算律1 .交换律：a b= ba;2 .数乘结合律：（入ab = Xa b

2、） = a （入b3 .分配律：a （b + c） = a b + a c.三、平面向量数量积的性质及其坐标表示已知非零向量a= （xi, yi）, b = （x2, y2）, 0为向量a, b的夹角.结论几何表示坐标表小模|ai=paa|a|=p xf + y2数量积a b= |a|b|cos 0a b= X1X2+ y1y2夹角 a b cos 0=|a|b|X1X2 + y1y2cos 0 t 22 J 22寸 x1+ y? 7x2+ ya丄b的充 要条件a b= 0X1X2 + yiy2 0|a b与 |a|b|的关系|a b|< |a|b|（当且仅当a / b时等号成 立）|X

3、1X2+ y1y2|w x1+ y? Vx2+ y2|【基础自测】|1.已知 a= (1, - 3), b = (4,6), c= (2,3)，则(b c)a 等于()A. (26,- 78)B . ( 28,- 42) C . - 52 D . - 782. 已知向量a、b满足|a|= 1, |b|= 4，且a b = 2，则a与b的夹角为（）7tB.nD.nB掌握3个核心考向攻考点破难点拿能力分考向一 077平面向量数量积的运算_洌1(1)(2012浙江高考)在厶ABC中，M是BC的中点，AM = 3, BC = 10,则AB AC(2)(2012北京高考)已知正方形 ABCD的边长为1,

4、点E是AB边上的动点，则DE CB的值为; DE DC的最大值为 .规律方法11平面向量的数量积的运算有两种形式，一是依据长度与夹角，二是利用坐标来计算2要有“基底”意识，关键用基向量表示题目中所求相关向量，如本例1中用AM、MB表示Ab、Ac等注意向量夹角的大小，以及夹角e= 0° 90 ° 180。三种特殊情形.n对点训练 (1)(2013江西高考)设e1，e2为单位向量，且e1，e2的夹角为3，若a= e1 +33e2，b= 2e1，则向量a在b方向上的投影为.(2)(2014济南模拟)在边长为1的正三角形ABC中，设BC= 2BD，CA = 3CE，则AD BE考向

5、二078平面向量的夹角与垂直型2 (1)(2013安徽高考)若非零向量a，b满足|a|= 3|b|=|a + 2b|，贝U a与b夹角的余 弦值为.(2)(2013山东高考)已知向量AB与Ac的夹角为120°且|AB|= 3，|AC|= 2若AP=瓜B + AC，且AP丄BC，则实数入的值为.规律方法2 1当a，b以非坐标形式给出时，求a，b的关键是借助已知条件求出|a|、|b 与 a b的关系.2. 1非零向量垂直的充要条件：a丄b? a b= 0? |a + b|= |a b|? X1X2 + y1y2= 0. 2本例2中常见的错误是不会借助向量减法法则把BC表示成AC AB，导

6、致求解受阻对点训练(1)已知a，b都是非零向量，且|a|=|b|=|a b|，贝U a与a + b的夹角为(2)已知a与b为两个不共线的单位向量，k为实数，若向量 a+ b与向量ka b垂直，则 k=.考向三079平面向量的模及其应用洌:、(1)(2014 威海模拟)设 x, y R，向量 a= (x,1), b= (1, y), c= (2, - 4)，且 a 丄c, b / c,则 |a+ b|=()A. , 5 B. 10 C. 2 5 D. 10(2)(2014 郑州模拟)已知 OP = (cos 0, sin 0), O)Q= (1 + sin 0, 1+ cos 0)，其中 0&l

7、t; 9< n, 求|PQ|的取值范围及ipQi取得最大值时0的值.规律方法 31.x1y2-X2y1= 0 与 X1X2+ y1y2=0 不同，前者是 a=X1,y1,Z1, b=X2,y2,Z2共线的充要条件，而后者是它们垂直的充要条件2求解向量的长度问题一般可以从两个方面考虑：1利用向量的几何意义，即利用向量加减法的平行四边形法则或三角形法则作出向量，再利用余弦定理等方法求解；(2利用公式|a| = £及(a ±d j= |a|2±2a b + |b|2把长度问题转化为数量积的运算问题解 决.对点训练 (1)(2012 安徽高考)设向量 a= (1,2

8、m), b = (m + 1,1), c= (2, m).若(a+ c)丄 b,则 |a|=.nn(2)已知向量 a= (sin 0, 1), b = (1, cos 0),- 2< 0< 夕 若a丄b,贝U 0=. 若|a + b|的最大值为 羽+ 1,贝U 0=.挖掘大技法寻规律得方法巧得离分易错易误之九忽略向量共线条件致误進 (2014广州模拟)已知a= (1,2), b = (1,1)，且a与a +入b勺夹角为锐角，则实数 入的取值范围为.【防范措施】1.a, b的夹角为锐角并不等价于ab>0, a b>0等价于a与b夹角为锐角或0°2. 依据两向量的

9、夹角0求向量坐标中的参数时，要注意 0= 0。或180 的情形.其中cos 0=1 > 0, cos 180 =- 1 v 0.)已知a = (2,- 1), b =(人3)，若a与b的夹角为钝角，贝U入的取值范围是 .第三节平面向量的数量积1. A2.C 3. B4.B 5.A 6.2例1(1) 16 (2)1 1对点训练1114例217(1)- 3 (2)石对点训练2(1)30 °(2)1例3(1) B vpQ= OQ OP=(1 + sin 0 cos 0,1 + cos 0 sin 0),2 2 2'|PQ | = (1 + sin 0 cos 0 + (1 +

10、 cos 0- sin 0) = 4 4sin 0cos 0= 4 2sin 2 0.0 w 0< n 1< sin 2 0< 1, |PQ|2 2,6 ,pQ| 2,6.当sin 2 0= 1，即0=乎时，|pQ取得最大值.对点训练3(1) 2 (2) n例题入心3且仔o练习.3且"一6第三节平面向量的数量积抓住3个基础知识点抓基砒固根源煤基蝕分、平面向量的数量积1. 数量积的定义：已知两个非零向量 a和b,它们的夹角为0,贝U向量a与b的数量积是数量|a|b|cos 0记作a b, 即卩a b = |a|b|cos 0规定：零向量与任一向量的数量积为0.2. 向

11、量的投影：设0为a与b的夹角，则向量a在b方向上的投影是|a|cos 0;向量b 在a方向上的投影是|b|cos 0.3. 数量积的几何意义：数量积 a b等于a的长度|a|与b在a的方向上的投影|b|cos 0的 乘积.二、平面向量数量积的运算律1 .交换律：a b= ba;2 .数乘结合律：（入ab = Xa b） = a （入b3 .分配律：a （b + c） = a b + a c.三、平面向量数量积的性质及其坐标表示已知非零向量a= （xi, yi）, b = （x2, y2）, 0为向量a, b的夹角.结论几何表示坐标表小模|a=paa|a|=p xf + y2数量积a b= |a

12、|b|cos 0a b= X1X2+ y1y2夹角 a b cos 0=|a|b|X1X2 + y1y2cos 0 ( 22 j 22寸 x1+ y? 7x2+ ya丄b的充 要条件a b= 0X1X2 + yiy2 0|a b与 |a|b|的关系|a b|< |a|b|（当且仅当a / b时等号成 立）|X1X2+ y1y2|w x1+ y? Vx2+ y21. 已知 a= (1, - 3), b = (4,6), c= (2,3)，则(b c)a 等于()A . (26,- 78)B . ( 28,- 42) C . - 52 D . - 78【解析】vb c= 4 X 2 + 6X

13、 3= 26,.(b c)a = (26, - 78).【答案】A2. 已知向量a、b满足|a|= 1, |b|= 4，且a b = 2，则a与b的夹角为（）7tnB.4nDn【解析】向量a、b满足|a|=1,|b|=4,且ab= 2,设a与b的夹角为0,贝Ucos 0a b 1n 宀.=|a| |b= 2,= 3.【答案】 C3. 已知向量a, b和实数 人下列选项中错误的是()A . |a|=/aaB . |a b= |a| |b| C. Xa b)=Xab D. |a b|< |a| | b|【解析】|a b|= |a|b|cos 0|,故B错误.【答案】B4. 已知向量 a, b

14、 满足 a b = 0, |a|= 1, |b|= 2,则 |2a- b|=()A.0 B. 2 2 C. 4D. 8【解析】 T|a|= 1, |b|= 2, ab=0.|2a b = yj 4a2 4ab+b =p 4+ 4 = 2 寸2.【答案】B5. (2013 湖北高考)已知点 A( 1,1), B(1,2), C( 2, 1), D(3,4)，则向量 AB在Cd方 向上的投影为()C.【解析】【答案】由已知得AB=（2,1）, Cd =（5,5）,因此Ab在cd方向上的投影为AB CD=_15 =鉅|CD| 5226. （2013课标全国卷I ）已知两个单位向量 a, b的夹角为6

15、0° c=ta+ （1 t）b,若b c =0，贝U t=.【解析】 |a|= |b|= 1 , a, b> = 60°.c= ta+ (1 t)b,.b c= ta b + (1 t)b2= tx 1 x 1 x*+ (1 t)x 1 = 2 + 1 1= 1 2.'b c= 0 ,1 一 2 = 0 ,t= 2.【答案】2掌握3个核心考向攻考点破难点拿能力分考向一 077平面向量数量积的运算洌1（1）（2012浙江高考）在厶ABC中，M是BC的中点，AM = 3, BC = 10,则AB AC(2)(2012北京高考)已知正方形 ABCD的边长为1,点E是

16、AB边上的动点，则DE CB的 值为； DE DC的最大值为 .【尝试解答】 (1)如图所示，AB = AM + MB , AC = AM + MC = AM MB ,'AB AC = (AM + MB) (AM MB) = AM MB = |AM| |MB| = 9 25= 16.(2)法一 如图所示，以 AB, AD所在的直线分别为x轴和y轴建立平面直角坐标系,由于正方形边长为1,故B(1,0), C(1,1), D(0,1).又 E 在 AB 边上，故设 E(t,0)(0 w t< 1).则 De = (t, 1), CB = (0, 1).故DE CB= 1.又DC =

17、(1,0), ADE DC = (t, 1) (1,0) = t.又0w t< 1,ADE DC的最大值为1.法二 TABCD 是正方形， DA = CB.DE CB = DE DA = |DE|DA|cos/EDA = |DA|DE|cos/EDA = |DA| | DA|= |DA|2= 1.又E点在线段 AB上运动，故为点E与点B重合时，DE在DC上的投影最大，此时DC DE > > - 2> - >=|DC|DE|cos 45 =° 2X- = 1所以 DE DC 的最大值为 1.【答案】 16 (2)11规律方法11.平面向量的数量积的运算有两

18、种形式，一是依据长度与夹角，二是利用坐标来计算.2要有“基底”意识，关键用基向量表示题目中所求相关向量，如本例1中用AM、MB表示AB、AC等.注意向量夹角的大小，以及夹角0= 0° 90° 180。三种特殊情形.n对点训练 (1)(2013江西高考)设e1, e2为单位向量，且ej, e2的夹角为3,若a= & +3e2, b= 2e1,则向量a在b方向上的投影为.(2)(2014济南模拟)在边长为1的正三角形ABC中，设BC= 2BD, Ca = 3疋，则AD bE【解析】(1)由于 a = e1 + 3e2, b= 2e1，所以 |b|= 2, a b= (e

19、1+ 3e2)2e1 = 2e1+ 6e1 e2=2 + 6x2= 5,所以a在b方向上的投影为|ag a, b =晋=|.(2) '/BC = 2BD, CA= 3CE,点D是线段BC的中点，点E是线段CA的三等分点, 以向量AB, AC作为基向量，t 1 t t t 2 f fAD = 2(AB+ AC), BE= 3AC AB,T T 1 T T 2 T T 1 T 21 T 21 t tAD BE = 2(AB+ AC) (3AC AB) = 3AC "AB $AB AC,>>>>冗>>111>>冗1又|AB|= |AC

20、|= 1,且AB, AC > = 3.AD BE = 3 ? gAB|AC|cos 3= 4.【答案】(1)5 (2) 1考向二078平面向量的夹角与垂直_洌=(1)(2013安徽高考)若非零向量a, b满足|a|= 3|b|=|a + 2b|,则a与b夹角的余 弦值为.(2)(2013山东高考)已知向量AB与Ac的夹角为120°且|AB|= 3, |AC|= 2.若Ap=瓜B +ac，且AP丄BC,则实数入的值为.a bTbf1= 2 |a|b|3|b| =3.【尝试解答】(1)由|a|=|a+2b|，两边平方，得 |a|2= (a+ 2b)2= |a|2+ 4|b|2+ 4

21、a b,所以2a b = |b| .又 |a|= 3|b|，所以 cos <a, b>>>>>>>>>>> TAP 丄 BC,.APBC = 0.又 AP =AB + AC, BC = AC AB,(於B + AC)(AC AB)= 0,即即 ( 1)AC AB 加+ AC '.'a 与 b 是不共线的单位向量，|a|= |b|= 1.又 ka b 与 a+ b 垂直,二(a+ b) (ka b) = 0,22即 ka + ka b a b b = 0.k 1 + ka b a b= 0.即 k 1+ kc

22、os 0- cos 0= 0.( 0 为 a 与 b 的夹角)'(k 1)(1 + cos 0)= 0.又 a 与 b 不共线， cos 0工1，-k= 1.【答案】(1)30 ； (2)1考向三079平面向量的模及其应用洌：,(1)(2014 威海模拟)设 x, y R，向量 a= (x,1), b= (1, y), c= (2, 4)，且 a 丄c, b / c,则 |a+ b|=()A. . 5 B. 10 C. 2 .5 D . 10(2)(2014 郑州模拟)已知 OP = (cos 0, sin 0), O)Q= (1 + sin 0, 1+ cos 0)，其中 0<

23、 0 n, 求|PQ|的取值范围及|pQ|取得最大值时0的值.【尝试解答】(1) "= (x,1), b= (1, y), c= (2, 4),由 a 丄 c 得 a c= 0,即 卩 2x 4 = 0,.x= 2.由 b/c 得 1X ( 4) 2y= 0 ,.y= 2.'a = (2,1), b = (1 , 2). Aa + b = (3, 1),.|a + b|= 32 + 1 2= 10.【答案】B挖掘1大技法寻规律得方法巧得离分易错易误之九忽略向量共线条件致误理 (2014广州模拟)已知a= (1,2), b = (1,1)，且a与a +入b勺夹角为锐角，则实数

24、入的取值范围为.【解析】"与a +入b匀为非零向量，且夹角为锐角， a (a +入b> 0,= 0,r 117( Z 1)|AC|AB|cos 120 9)& 4= 0.二(入1) X 3X 2X -q 厂 9 H 4= 0.解得 匸石.17【答案】(1) 3右规律方法2 1当a, b以非坐标形式给出时，求a, b>的关键是借助已知条件求出|a|、 |b 与 a b的关系.2. 1非零向量垂直的充要条件：a丄b? a b= 0? |a + b|= |a b|? X1X2 + y1y2= 0. 2本例2中常见的错误是不会借助向量减法法则把BC表示成AC AB，导致求

25、解受阻.对点训练已知a, b都是非零向量，且|a|=|b|=|a b|,贝U a与a + b的夹角为(2)已知a与b为两个不共线的单位向量，k为实数，若向量a+ b与向量ka b垂直，则 k=.1 【解析】(1)由|a|=|b|=|a b|得，|af=|bf, |b|2= a2 2a b+ b2,所以 a b=a2.而|a +bf=|a|2+ 2a b+ |bf= 2|a|2 + 2 X 2|a|2= 3|af，所以 |a+ b|= . 3|a|.设a与a + b的夹角为0,则 cos 0=2 1 2 a a + b a + 2a _ 3 |a|a + b|= .3|a|2 = 2,由于 0

26、°W0< 180 ；所以 0= 30 .1 + cos 0 sin 0),(2) /PQ= OQ OP = (1 + sin 0 cos 0,7 222|PQ|= (1 + sin 0 cos 0 + (1 + cos 0- sin 0) = 4 4sin 0cos 0= 4 2sin 2 0.0 w 0w n 1< sin 2 0< 1,.|PQ|2 2,6 ,.|PQ| 區罰. 当sin 2 0= 1，即0= 訓，|PQ取得最大值.规律方法 31.x1y2 X2y1 = 0 与X1X2+ y2= 0 不同，前者是a=X1,y1,Z1, b=X2,y2,Z2共线的

27、充要条件，而后者是它们垂直的充要条件2.求解向量的长度问题一般可以从两个方面考虑：1利用向量的几何意义，即利用向量加减法的平行四边形法则或三角形法则作出向量，再利用余弦定理等方法求解；2利用公式|a| = aa及a如2= |af±2a b + |b|2把长度问题转化为数量积的运算问题解决.对点训练(1)(2012 安徽高考)设向量 a= (1,2m), b = (m + 1,1), c= (2, m).若(a+ c)丄b,则 |a|=.nn(2)已知向量 a= (sin 0, 1), b = (1, cos 0), q< * 若a丄b,贝U 0=. 若|a + b|的最大值为 羽+ 1,贝U 0=.【解析】(1)a + c= (1,2m) + (2, m)= (3,3m).1(a+ c)丄 b,.(a + c) b = (3,3m) (m+ 1,1) = 6m+ 3 = 0,= ?.-a= (1, 1), |a|=、J2.(2)由 a丄 b 得 sin 0+ cos 0= 0 ,tan 0= 1. 2v 0* 2,0=才 |a + b|= a2 + 2a + b2= sin2 0+ 1 + 2sin(0+ ；+ cos2 0+ 1= 3+ 2sin(0+n n n n