二次根式化简方法与技巧

1、课题课型课时学情分析二次根式化简的方法与技巧提高练习2课时授课时间授课班级 授课人教学目标通过教学使学生熟练掌握二次根式化简的技巧与方法，进一步发展学生的拓展思 维和创新思维。教学重点 教学难点 教学方法 板书设计教学内容一、 巧用公式法例i计算一2 ba b ba - .b .a b分析：本例初看似乎很复杂，其实只要你掌握好了公式，问题就简单了，因为 a与.b成立,且分式也成立，故有a > 0, b > 0, a - b=0而同时公式：a - b 2 = a 2-2 ab+b 2 ,a 2 - b2 = a b a-b，可以帮助我们将 a -2ab b和a - b变形，所以我们应

2、掌握好公式可以使一些问题从复杂到简单。解：原式=上2+ a b s ba" + ab =2 a-2 b a -Qba 、b二、适当配方法。1+、2 -3其分子必有含例2 计算：36分析：本题主要应该从已知式子入手发现特点，分母含有1+2 -的因式，于是可以发现3+2 2 = V 2 彳，且 3 6 =3 V 2，通过因式分解，分子所含的1+ -2 -3的因式就出来了。解：原式=Wp详=吐込牟Ll 1+旳12- 3三、正确设元化简法。2 6例3:化简 -l235分析：本例主要说明让数字根式转化成字母的代替数字化简法，通过化简替代，使其变为简单的运算，再运用有理数四则运算法则的化简分式的

3、方法化简，例如:.3 =b, ab = J6 ,正好与分子吻合。对于分子，我们发现a2 bc2所以2 2 2 2-c =0,于是在分子上可加 a b -c =0，因此可能能使分子也有望化为含有a b c因式的积，这样便于约分化简。解：设 ”2=a, 3=b, .5=c 则 2 ab = 2、6 且 a 亠 b c?= 0 所以:原式 一 2ab =2ab v2 b2 c2 二 a-c a b c a b_c “ .b_c二 2 .3_5a b ca b ca bca b c四、拆项变形法a bc例 4 计算./ . 657分析：本例通过分析仍然要想到，把分子化成与分母含有相同因式的分式。通过约

4、分化简,a 亠 b 11a = 11再化简，便可知其答案。ab a b如转化成:解：原式=5 6 亠.6 7.5 .6= +.5 .6 叮6 .7 15 6 lj 6 .7 6 lj.6 -7L l+ J-爲=的-£5,66、7五、整体倒数法。例5、计算3 31计算.5231分析:本例主要运用了变倒数后，再运用有关公式:a 亠 b11=11，化简但还要通过折项abab变形,使其具有公因式。解：设a=、53亠1J5 +213 +115 2 3 1,5.3i7：3 1_1.1_3 1 .5-3贝寸 二二一 IA 533153313 153222<5 +1所以 A= 2= 51J5

5、-12六、借用整数“ 1”处理法。例6、计算匸32迢(2 + 丁3 + v'6分析：本例运用很多方面的知识如:仁 323 - 2 和.a -b x a b 二 a2 - b2,然后再运用乘法分配率，使分子与分母有相同因式，再约分化简。解：原式33 -、23 2 -2 3.3,2、3- 2、6、3 - 2_( 3一 .2)( 3 - 2 .6) = 3_ 2i326七、恒等变形整体代入结合法分析：本例运用整体代入把x+y与xy的值分别求出来，再运用整体代入法将 x+y与xy代入例题中，但一定要把所求多项式进行恒等变形使题中含有x+y与xy的因式,如x2xy+y 2 =(x+y) 2 3x

6、y，然后再约分化简。例7：1已知X=21(75), y =( .7- .5),求下列各式的值。2(1)x22xy+y解：因为X= 1 (222(1) x xy+y = (x+y)<7 + <5 )，y = 1(/7J5)，所以：x+y= V7，xy=l。2 y = x_x2 2+ y(x + y)-2xyxyxy(切2 _2工丄2 =12122 2八、降次收幕法:例8、已知x=2+ 3，求23x -2x 52x -7的值。分析：本例运用了使题中2次幕项转化成1次方的项再化简。如例题中把多项式转化为4x 1 ,这样进行低次幕运算就容易了。解:由 x=2+3,得 x 2= 3。(x-2

7、) 3 xy=( 7)2 3 X 1 =11 =3 整理得：x?=4x 1。2所以:3x2 2 x+5=3 (4 x 1) 2 x+5=10 (2+ 3 ) +2=22+10 322 x 7 (2+ 3 ) -7=2 3 3,所以原式=22 一10 ®42+ 74 2 22时333练习:(一)构造完全平方1 .化简1 1'2- '2，所得的结果为n (n 1)11_ n1 2 *(n 1)2 (n 1)2+n2 _n2 (n 1)2n2(n 1)2n2(n 1)2+1)+(n 1)2_ :n2(n2 2n+2)+(n 1)2Yn2( n+1)21 n42 n2(n 1

8、)+( n 1)2jn2(n+1)2(n2 n 1)n 2( n 1)2，(n2 n 1)2n2(n 1)2n(n 1)J 11(拓展)计算 J 2 22 J 22 3232 4200320042.化简：-y 2 3 .2y - 5 -y - 2、2y -5 .3.化简 6、8.120 .4 .化简:.23-6 6 -4 25 .化简:6 .化简:、,23-6 JO 4、3-2 27 .化简：（二）分母有理化.13 2、52 72、, 35111 .1.计算：3 、.3 53 3 5 7、5 5749 . 47 47.49 的值.1 1化简：+ + 十+" 一3i22 ,34.33

9、4100.9999.100解原式十=1 - “99 一100399100J1001 -1002 .分母有理化:2、62.353 .计算:（三）因式分解（约分）3 .化简:5 .化简:7 .化简:25 - 32,30 -6 2 4.3J6 43 3 2.633 v26 4 3 3218 12 2 ；6设 x = -I6一，求 x5 2x4 17x3+12.化简： =_i6_!2. 应密72+14.化简:35 57.y/3 + 2+ V76.化简：28.化简：5_2'7_3_735+35 + 3/7+7x218x -17 的值。解:16171 x 1 = .17 x2 2x -16=0原式

10、=x5 2x4 16x3 x3 2x2 16x x2 2x -16 1=x5 2x4 16x3 A：；x3 2x2 16x Lix2 2x16?11-的值。z=x3 x2 2x -16 -x x2 2x -16 Lix2 2x -16 -111、设 ax3 =by3 =cz3,且 ax2 +by2 +cz2 =3"'a +3，'b + VC , xyz a°，求 1 + x y解：设ax3= by3 =cz3二k3，贝U F'ax =k 1 Vaxk同理可得：13 b1 _3cy k，zk1 1 丄+丄+13a 3 b3 cx yz k1k3k3k3

11、 1111+ 一+ f-+ _+ <xyz丿xyz""da 3b 3 c.1111 _ +_ +_ =_x y z k又 3 ax2by21110，且 xyz - 0xyz111,1xyz5 Jn +1 Jn12、设 x 二,Jn +1 中 Vny 二 E二1 丄“，且 19x2123xy 19y2 =1985，试求整数 n.Jn +1 寸 n解： xy =1 , 19x2123xy 19y2 =1985 - x2 亠 y2 =98又x -0, y -0 x 亠 y $ =100y =10=n 1 - . n , y = n 1 ny =4n 2 4n 2 =100，解得：n =211 114、设 x =1 -，求证：18 x 19.V2<3V100解：t In+1n= y _Jn +1n 2Yn1-2 n 1 一、nn1 1,n同理可得：= t；2（1 n 寸n 1 ）Un解：两边同时乘以.、：1 a2a，得j b2.1 a2 -a两边同时乘以.1 b2 _b，得:d - a2 -a = 1亠b2 - b +得：a nb - _ a ；：巾故 a b =0110 2 n 1 -Jn