固体物理-周张凯 第一章-晶体结构与x射线

1、 第一章第一章 晶体结构和晶体结构和X 射线衍射射线衍射 周张凯周张凯 中山大学中山大学 物理科学与工程技术学院物理科学与工程技术学院固体物理引言固体物理引言我教这门课的主要目的不是替你为应付某种考试做准备我教这门课的主要目的不是替你为应付某种考试做准备甚至也不是替你为参加工业部门或军事部门作准备。甚至也不是替你为参加工业部门或军事部门作准备。我至多希望是你对奇妙的世界以及对物理学家看待这一世界的方我至多希望是你对奇妙的世界以及对物理学家看待这一世界的方式有所了解，我相信这是真正的现代文化主要部分。式有所了解，我相信这是真正的现代文化主要部分。或许你不仅会对这种文化有所了解，甚至还可能加入这一

2、人类心或许你不仅会对这种文化有所了解，甚至还可能加入这一人类心智早已开始的最伟大的冒险。智早已开始的最伟大的冒险。理查德理查德费曼：费曼：5. 课程主要内容课程主要内容固体物理引言固体物理引言电子运动电子运动原子原子=原子实原子实+价电子价电子原子具体排列形式原子具体排列形式即为晶格即为晶格自由电子模型自由电子模型晶格振动即为声子晶格振动即为声子电子活动的舞台电子活动的舞台最简单的电子运动模型最简单的电子运动模型声子的运动规律声子的运动规律电子最重要的相互作用对象电子最重要的相互作用对象晶格周期势场作用下的晶格周期势场作用下的电子运动电子运动Bloch定理定理电子与晶格作用具体体现电子与晶格作

3、用具体体现外场中的电子运动外场中的电子运动（主要是静电场）（主要是静电场）电子运动规律的实际应用电子运动规律的实际应用以上是从电子角度的概括，但必须强调，物理学的每个分支都有同等重要的地位，以上是从电子角度的概括，但必须强调，物理学的每个分支都有同等重要的地位，晶格以及声子研究也是固体物的重要部分。晶格以及声子研究也是固体物的重要部分。能带论能带论7. 参考书目参考书目固体物理引言固体物理引言美美 C.基泰尔：基泰尔：固体物理导论固体物理导论，科学出版社，科学出版社，1979年年11月第月第1版；版； (Introduction to Solid State )，JOHN WILEY &

4、; SONSINC (7th edition, 1996)方俊鑫，陆栋：方俊鑫，陆栋：固体物理学固体物理学（上册），上海科学技术出版社，（上册），上海科学技术出版社，1980年年12月第月第1版版陆栋，蒋平，徐志中：陆栋，蒋平，徐志中：固体物理学固体物理学，上海科学技术出版社，上海科学技术出版社，2003年年12月第月第1版版刘友之，聂向富，蒋生蕊，刘友之，聂向富，蒋生蕊，固体物理学习题指导固体物理学习题指导，高等教育出版社，高等教育出版社，1988年年8月第一版月第一版王矜奉，范希会，张承琚，王矜奉，范希会，张承琚，固体物理概念题和习题指导固体物理概念题和习题指导山东大学出版社，山东大学出版

5、社，2011年年9月第一版月第一版 第一章第一章 晶体结构和晶体结构和X 射线衍射射线衍射 第一章第一章 晶体结构和晶体结构和X 射线衍射射线衍射1.1 晶体和晶格基本概念晶体和晶格基本概念1.2 几种简单的晶体结构几种简单的晶体结构1.3 晶列和晶面指数晶列和晶面指数1.4 倒格子和晶体衍射倒格子和晶体衍射1.5 对称操作和点群对称操作和点群1.6 晶体的对称性、空间群晶体的对称性、空间群晶体学的基本概晶体学的基本概念念本章最重要内容本章最重要内容也是周期性特性初步尝试也是周期性特性初步尝试晶体学的高级概晶体学的高级概念念晶体形态晶体形态石英石英绿玉绿玉钻石钻石蓝宝石蓝宝石Ho-Mg-Zn

6、准晶准晶琥珀琥珀碳纳米管碳纳米管石墨烯石墨烯 第一章第一章 晶体结构和晶体结构和X 射线衍射射线衍射Crystal Growth & Design 8, 4432, 2008 第一章第一章 晶体结构和晶体结构和X 射线衍射射线衍射v各晶体是由一些（basis）按一定规则, 周期重复排列而成。 是组成晶体的最小物理重复单元； 可以是原子或原子集团（如分子、蛋白质）; 第一章第一章 晶体结构和晶体结构和X 射线衍射射线衍射1.1 晶体和晶格基本概念晶体和晶格基本概念 第一章第一章 晶体结构和晶体结构和X 射线衍射射线衍射晶体结构的周期性晶体结构的周期性 （Crystal structure

7、Crystal structure）v理想化的晶体是周期排列无限延伸的，即理想化的晶体是周期排列无限延伸的，即 每一个基元是等价的，其物理内容都相同，每一个基元是等价的，其物理内容都相同，它周围的环境也是相同的。它周围的环境也是相同的。（没有边界）（没有边界）v宏观尺度的实际晶粒含极大量的原子宏观尺度的实际晶粒含极大量的原子; ;v一般晶体内的杂质含量低于一般晶体内的杂质含量低于 1010-9-9，这样，可把，这样，可把实际晶体近似为理想晶体。实际晶体近似为理想晶体。 第一章第一章 晶体结构和晶体结构和X 射线衍射射线衍射具有原子分辨率的具有原子分辨率的TEMTEM模拟辅助成像模拟辅助成像L.

8、J. CHEN, Metal Silicides: An Integral Part of Microelectronics, JOMM, Vol. 57, No.9, pp. 24-31 第一章第一章 晶体结构和晶体结构和X 射线衍射射线衍射OL Krivanek et al. Nature 464The atomic structure determined by the histogram analysis.BNCO 第一章第一章 晶体结构和晶体结构和X 射线衍射射线衍射原子级原子级3D-TEM分析图分析图 第一章第一章 晶体结构和晶体结构和X 射线衍射射线衍射2）晶格、格点和布喇菲格子

9、）晶格、格点和布喇菲格子v 在基元中任选一点（如重心），并在其他各基元选出相同在基元中任选一点（如重心），并在其他各基元选出相同点，把最近邻点相连接，抽象出三维几何网络，则此网络点，把最近邻点相连接，抽象出三维几何网络，则此网络就叫就叫 晶格晶格（Lattice），或），或 布喇菲格子布喇菲格子（Bravais Lattice） ，网格点就叫，网格点就叫 格点格点（Lattice point）。）。v 除边界以外除边界以外, 布喇菲格子内每一个格点都是等价的布喇菲格子内每一个格点都是等价的, 它代表它代表的内容、它的环境（最近邻）与所处的地位是相同的。的内容、它的环境（最近邻）与所处的地位是相

10、同的。v 平移对称性平移对称性: 晶体在任两格点间平移后保持不变晶体在任两格点间平移后保持不变 第一章第一章 晶体结构和晶体结构和X 射线衍射射线衍射 第一章第一章 晶体结构和晶体结构和X 射线衍射射线衍射 第一章第一章 晶体结构和晶体结构和X 射线衍射射线衍射格子格子 (lattice)(lattice) 第一章第一章 晶体结构和晶体结构和X 射线衍射射线衍射 第一章第一章 晶体结构和晶体结构和X 射线衍射射线衍射晶体结构晶体结构基元基元点阵、晶格点阵、晶格 第一章第一章 晶体结构和晶体结构和X 射线衍射射线衍射 第一章第一章 晶体结构和晶体结构和X 射线衍射射线衍射v在格子内任选一格点作为

11、原点在格子内任选一格点作为原点, 向另外任一格点作向另外任一格点作矢量矢量 , 此矢量就叫此矢量就叫。（。（Lattice Translation Vector）v格矢的特点格矢的特点：晶体沿格矢作整体位移后，晶格与原：晶体沿格矢作整体位移后，晶格与原来的重合。这也称作平移周期性或平移对称性。来的重合。这也称作平移周期性或平移对称性。R 第一章第一章 晶体结构和晶体结构和X 射线衍射射线衍射v 对格子内任何一格矢对格子内任何一格矢 ，都可找出一组不共面的格，都可找出一组不共面的格矢矢 ，使之表示为：，使之表示为： 则把则把 叫做一组叫做一组基矢基矢（Translation Vector）。）。

12、),(321332211lllalalalRR321,aaa321,aaaa1a2 第一章第一章 晶体结构和晶体结构和X 射线衍射射线衍射 第一章第一章 晶体结构和晶体结构和X 射线衍射射线衍射 第一章第一章 晶体结构和晶体结构和X 射线衍射射线衍射基矢的选择不是唯一的基矢的选择不是唯一的, 其特点是：其特点是：v所包围的空间内不再有格点；所包围的空间内不再有格点；v由它们沿各基矢平移所包围的空间（平行六面由它们沿各基矢平移所包围的空间（平行六面体）体积相等；体）体积相等；v通过平移操作，此空间可覆盖整个晶体，既没通过平移操作，此空间可覆盖整个晶体，既没有重复，也没有遗漏。有重复，也没有遗漏。

13、二维格子几种可能的基矢二维格子几种可能的基矢 第一章第一章 晶体结构和晶体结构和X 射线衍射射线衍射原胞原胞v由一组基矢由一组基矢 所决定的平行六面体所围所决定的平行六面体所围起来的最小重复单元就叫起来的最小重复单元就叫原胞原胞 (或初基单胞或初基单胞Primitive Cell)。(固体物理常用固体物理常用)321,aaa 第一章第一章 晶体结构和晶体结构和X 射线衍射射线衍射n 晶格的最小周期单元，只包含一个格点；晶格的最小周期单元，只包含一个格点；n 二维点阵的原胞是平行四边形，三维点阵的原胞是二维点阵的原胞是平行四边形，三维点阵的原胞是平行六面体；平行六面体；n 以原胞的边长为点阵基矢

14、构成平移矢量，可以把原以原胞的边长为点阵基矢构成平移矢量，可以把原胞复制满空间，既没有重复，也没有遗漏。胞复制满空间，既没有重复，也没有遗漏。原胞的特点原胞的特点 第一章第一章 晶体结构和晶体结构和X 射线衍射射线衍射二维格子几种可能的原胞取法二维格子几种可能的原胞取法 第一章第一章 晶体结构和晶体结构和X 射线衍射射线衍射晶胞晶胞v 原胞往往不能反映晶体的对称性，因而，习惯上常选择原胞往往不能反映晶体的对称性，因而，习惯上常选择能反映晶体对称性的重复单元，这种重复单元就叫能反映晶体对称性的重复单元，这种重复单元就叫 晶胞晶胞（conventional cell）(或非初基单胞或非初基单胞,

15、nonprimitive cell)。v 晶胞一般不是最小的重复单元。其体积（面积）可以是晶胞一般不是最小的重复单元。其体积（面积）可以是原胞的数倍。原胞的数倍。 第一章第一章 晶体结构和晶体结构和X 射线衍射射线衍射威格纳威格纳- -赛兹原胞赛兹原胞 v能反映晶体对称性的最小重复单元叫能反映晶体对称性的最小重复单元叫威格纳威格纳-赛兹原赛兹原胞胞（Wigner-Seitz Cell）。）。它按以下方法选取它按以下方法选取: 最近邻或次近邻两格最近邻或次近邻两格点间连线的垂直平分点间连线的垂直平分面面(三维三维)或垂直平分线或垂直平分线(二维二维)所围成的原胞。所围成的原胞。 第一章第一章 晶

16、体结构和晶体结构和X 射线衍射射线衍射 第一章第一章 晶体结构和晶体结构和X射线衍射射线衍射简单晶格：原胞只有一个原子。简单晶格：原胞只有一个原子。复式晶格：原胞有两或更多个原子。复式晶格：原胞有两或更多个原子。复式晶格：复式晶格：由不等原子分别组成的多套简单由不等原子分别组成的多套简单格子嵌套而成。格子嵌套而成。简单晶格：原胞只有一个基元，且晶简单晶格：原胞只有一个基元，且晶格结构无套嵌结构。格结构无套嵌结构。 第一章第一章 晶体结构和晶体结构和X射线衍射射线衍射1. 1. 晶体结构晶体结构= = 晶格晶格 结构基元结构基元反映原子周期排列的方式反映周期排列的内容可以是一个原子可以是一个原子

17、可以是一个分子可以是一个分子可以是一组原子可以是一组原子可以是分子集团可以是分子集团它是等同点的集合，反映的它是等同点的集合，反映的是理想的、无限大的、没有是理想的、无限大的、没有缺陷的晶体中，原子排列的缺陷的晶体中，原子排列的情况。是晶体本质的一种高情况。是晶体本质的一种高度概括度概括小结节小结节 第一章第一章 晶体结构和晶体结构和X射线衍射射线衍射2. 原胞、晶胞和维格纳原胞、晶胞和维格纳-塞茨原胞塞茨原胞原胞：晶格反应周期性的最小重复单元。（一个原胞只原胞：晶格反应周期性的最小重复单元。（一个原胞只有一个结点）有一个结点）晶胞：晶格既包括周期性又包括对称性的最小单元。晶胞：晶格既包括周期

18、性又包括对称性的最小单元。维格纳维格纳-塞茨原胞：晶格反应对称性的最小重复单元。塞茨原胞：晶格反应对称性的最小重复单元。1. 1.简单立方简单立方sc scv 简单晶体的简单晶体的简单立方简单立方(simple cubic, sc) 布喇菲格子。布喇菲格子。（例如氧、硫固体）（例如氧、硫固体）v SC基元为单一原子结构的晶体叫简单晶体。其特点有基元为单一原子结构的晶体叫简单晶体。其特点有: 三个基矢互相垂直（三个基矢互相垂直（ ）, 重复间距相等重复间距相等, 为为a, 亦称晶格常数；亦称晶格常数； 其晶胞其晶胞=原胞；体积原胞；体积=a3； 配位数配位数(第一近邻数第一近邻数) =6。abc

19、aaibajcak;. 第一章第一章 晶体结构和晶体结构和X 射线衍射射线衍射1.2 几种简单的晶体结构几种简单的晶体结构k jia1a2a3kaaj aai aa321V=a3 第一章第一章 晶体结构和晶体结构和X 射线衍射射线衍射36体 积：3aV 结点数：2基 矢：j abkaci aa体心立方晶胞：体心立方晶胞：212121(0 0 0)坐 标：2.2.体心立方结构体心立方结构bccbcc 第一章第一章 晶体结构和晶体结构和X 射线衍射射线衍射37体心立方惯用原胞：体心立方惯用原胞：)(21kjiaa)(22kjiaa)(23kjiaa基 矢：体 积：321aV 结点数：1坐 标：(0

20、 0 0) 第一章第一章 晶体结构和晶体结构和X 射线衍射射线衍射体心立方体心立方 bccv 简单晶体的简单晶体的体心立方体心立方 ( body-centered cubic bcc ) , 例如，例如，Li，K，Na，Rb，Cs， Fe，Cr，Mo，W，Ta，Ba等。其特点有：晶胞基矢等。其特点有：晶胞基矢 , 并且并且, v 其原胞基矢由从一顶点指向另外三个体心点的矢量构其原胞基矢由从一顶点指向另外三个体心点的矢量构成成: v 其体积为其体积为a3/2; 配位数配位数=8。abcaaibajcak;.aaijk12 ();aaijk22();aaijk32() a a12109 28 第一

21、章第一章 晶体结构和晶体结构和X 射线衍射射线衍射k jiaa1a2a2a1a3a3bc 第一章第一章 晶体结构和晶体结构和X 射线衍射射线衍射3. 面心立方面心立方 fccv 简单晶体的简单晶体的面心立方面心立方 ( face-centered cubic; fcc ) , 例如，例如，Cu，Ag，Au，Ni，Pd，Pt，Ne, Ar, Xe, Rn, Ca, Sr, Al等。晶胞基矢等。晶胞基矢 ，并且，并且 v 每面中心有一格点每面中心有一格点, 其原胞基矢由从一顶点指向另外其原胞基矢由从一顶点指向另外三个面心点的矢量构成三个面心点的矢量构成: v 其体积其体积=a3/4; 配位数配位数

22、=12。 a b c aaibajcak;.aajk12();aaik22();aaij32() a a1260 第一章第一章 晶体结构和晶体结构和X 射线衍射射线衍射 面心立方结构(晶胞) 面心立方惯用原胞 aajk12();aaik22();aaij32()1a2a3a 第一章第一章 晶体结构和晶体结构和X 射线衍射射线衍射NaCl 结构CsCl 结构 第一章第一章 晶体结构和晶体结构和X 射线衍射射线衍射NaCl结构结构vNaCl结构（结构（Sodium Chloride structure）, 复式面复式面心立方心立方, (互为互为fcc), 配位数配位数=6。 LiHMgOMnO4.

23、084.204.43AgBrPbSKCl5.775.926.29NaCl5.63KBr6.59a（）Aa（）A 第一章第一章 晶体结构和晶体结构和X 射线衍射射线衍射 第一章第一章 晶体结构和晶体结构和X 射线衍射射线衍射CsCl结构结构v CsCl结构（结构（Cesuim Chloride structure）, 复式复式简单立方简单立方, (互为互为sc), 配位数配位数=8 BeCu2.70LiHg3.29AlNi2.88 NH4Cl3.87CuZn2.94TlBr3.97CuPd2.99CsCl4.11AgMg3.28TlI4.20 a（ ） Aa（ ）A 第一章第一章 晶体结构和晶体

24、结构和X 射线衍射射线衍射 第一章第一章 晶体结构和晶体结构和X射线衍射射线衍射 1.3 晶列与晶面指数晶列与晶面指数1. 1. 晶列、晶向晶列、晶向 (crystal direction)(crystal direction)v任取两格点的连线延伸任取两格点的连线延伸, 它必然穿过一串格点它必然穿过一串格点, 称此串格称此串格点为点为晶列晶列; v也必然有无穷相互平行的晶列也必然有无穷相互平行的晶列, 它们通过所有的格点它们通过所有的格点, 没没有遗漏有遗漏, 也没有重复也没有重复, 则称这些平行的晶列为则称这些平行的晶列为晶列簇晶列簇。v晶列晶列的概念是以格点组成互相平行的直线，再构成晶体

25、。的概念是以格点组成互相平行的直线，再构成晶体。晶列晶列2. 2. 晶向晶向 (crystal direction)(crystal direction)v 晶向晶向往往以晶胞的基矢来表示：往往以晶胞的基矢来表示： v 即以即以lmn表示表示;（其中：（其中： 为晶胞基矢）；为晶胞基矢）； 如如110; v 立方晶系有六个等价的立方晶系有六个等价的001, 则以则以表示表示; 8个等价个等价的的111, 则以则以表示。表示。 cnbma lRcba,同族晶列中的晶列相互平行，并且完全等同，所以一族晶列同族晶列中的晶列相互平行，并且完全等同，所以一族晶列的特点是晶列的取向。晶列的取向称为晶向。的

26、特点是晶列的取向。晶列的取向称为晶向。 第一章第一章 晶体结构和晶体结构和X射线衍射射线衍射 第一章第一章 晶体结构和晶体结构和X射线衍射射线衍射3. 3. 晶面与晶面指数晶面与晶面指数 第一章第一章 晶体结构和晶体结构和X射线衍射射线衍射v 任选三个不在同一直线上的格点构成一个平面任选三个不在同一直线上的格点构成一个平面, , 平面平面无限延伸穿过无限个规则排列的点无限延伸穿过无限个规则排列的点, , 这个平面叫这个平面叫; ; v 也必有与它平行的无限个平面也必有与它平行的无限个平面, , 它们覆盖所有的格点它们覆盖所有的格点, , 没有遗漏没有遗漏, , 也没有重复也没有重复, , 则称

27、这些平行的晶面为则称这些平行的晶面为。v 面间距面间距同族晶面中，相邻两晶面的距离。同族晶面中，相邻两晶面的距离。v 晶面的概念是以格点组成互相平行的平面，再构成晶晶面的概念是以格点组成互相平行的平面，再构成晶体。体。晶面簇晶面簇 第一章第一章 晶体结构和晶体结构和X射线衍射射线衍射 以结晶学晶胞基矢以结晶学晶胞基矢 、 、 为坐标轴得到密勒指数。标轴得到密勒指数。abc确定密勒指数的步骤：确定密勒指数的步骤：1）选任一结点为原点，作）选任一结点为原点，作 、 、 的轴线。的轴线。abc2）求出晶面族中离原点最近的第一个晶面在）求出晶面族中离原点最近的第一个晶面在 、 、 轴上的轴上的截距截距

28、 、 、 。 abcahbkcl3）将）将 、 、 取倒数并化为互质整数取倒数并化为互质整数 、 、 ，则，则 即为密勒指数。即为密勒指数。 h k lhkl）（hkl晶面方向的确定晶面方向的确定(111)(211)例例a12a3a 第一章第一章 晶体结构和晶体结构和X射线衍射射线衍射 第一章第一章 晶体结构和晶体结构和X射线衍射射线衍射dahahahh h h1 2 3112233coscoscos注意：注意：1）密勒指数）密勒指数：以晶胞基矢定义的互质整数：以晶胞基矢定义的互质整数 (nh nk nl)。 截截a,b,c2）晶面指数：以原胞基矢定义的互质整数）晶面指数：以原胞基矢定义的互质

29、整数 (nh1 nh2 nh3)。 截a1, a2, a33）对立方晶系，具有相同指数的晶向与晶面垂直，如）对立方晶系，具有相同指数的晶向与晶面垂直，如010 (010)4）面间距）面间距: 晶面簇的面间距晶面簇的面间距a3a2a1coscoscos22212332222111321ahahahdhhh2221clbkahdhklORv（）内的（）内的hkl之间没有逗号；之间没有逗号；v互质整数所定义的晶面不一定代表最近原点的晶面；互质整数所定义的晶面不一定代表最近原点的晶面；v所有等价的晶面所有等价的晶面(hkl)以以hkl表示；表示；v晶面晶面 不一定垂直于晶向不一定垂直于晶向 v仅对具有

30、立方对称性的晶体，仅对具有立方对称性的晶体， 才垂直于晶向才垂直于晶向 ；()hhh123321hhh)(321hhh321hhh注意：注意： 第一章第一章 晶体结构和晶体结构和X射线衍射射线衍射课堂练习课堂练习1. 在立方晶胞中，画出（在立方晶胞中，画出（1 0 1），（），（0 2 1），（），（ ）和（）和（ ）晶面）晶面 2210122. 如下图，如下图，B和和C是面心立方晶胞上的两面心。是面心立方晶胞上的两面心。1）求）求ABC面的密勒指数；面的密勒指数；2）求）求AC晶列的指数，并求相应原胞坐标系中的指数。晶列的指数，并求相应原胞坐标系中的指数。 第一章第一章 晶体结构和晶体结构和

31、X射线衍射射线衍射1.4 倒格子倒格子1、为什么要有倒格子？、为什么要有倒格子？2、怎么推导？（倒格子的定义）、怎么推导？（倒格子的定义）3、倒格子和倒空间的意义（物理本质）、倒格子和倒空间的意义（物理本质）4、倒格子的性质、倒格子的性质处理方便：处理方便：1）无穷变有限；）无穷变有限； 2）微分变求和）微分变求和倒格子的起源：晶格的傅里叶变换1.4 倒格子倒格子为整数即要求于是其中作傅里叶展开把其中有具有周期性的物理量晶体中任一处,21)()()()(,)()()(),()(,)(332211332211lhRiKlRiKriKhhlhriKhhllRKerRreeKRrbhbhbhKeKr

32、ralalalRrRrrrlhlhhh倒格子的起源：晶格的傅里叶变换倒格子的起源：晶格的傅里叶变换2、倒格子的推导和定义、倒格子的推导和定义倒格子的起源：晶格的傅里叶变换1.4 倒格子倒格子., 0,22,2,332211332211傅里叶变换和倒格子中的表述遵守即同一物理量在正格子为倒格矢故为整数是正格矢jijibabhbhbhKRKalalalRijjihlhl倒格子的起源：晶格的傅里叶变换倒格子的起源：晶格的傅里叶变换2. 倒格子的推导和定义倒格子的推导和定义倒格子的起源：晶格的傅里叶变换1.4 倒格子倒格子是晶胞的体积定义倒格子基矢321213132321222aaaaabaabaab

33、2. 倒格子的推导和定义倒格子的推导和定义jijibaijji, 0,22满足从数学上讲，倒易点阵和布喇菲点阵是互相对应的傅里叶从数学上讲，倒易点阵和布喇菲点阵是互相对应的傅里叶空间。空间。倒易空间的格矢量：倒易空间的格矢量： 332211bhbhbhKh1.4 倒格子倒格子3、倒格子的意义、倒格子的意义倒格子物理意义倒格子物理意义1）倒格子的量纲是）倒格子的量纲是米米-1，的量纲也是的量纲也是米米-1波矢波矢倒空间即为波矢空间。倒空间即为波矢空间。2）量子力学中，波矢常用来表示波函数的运动状态。）量子力学中，波矢常用来表示波函数的运动状态。倒空间即为状态空间。倒空间即为状态空间。3）光波通过

34、衍射光栅，其实质是把光栅从坐标空间光波通过衍射光栅，其实质是把光栅从坐标空间( (坐标域坐标域) )变换到了状态空间变换到了状态空间( (频率域频率域) )；晶体的晶体的X射线衍射照片上的斑点分布或图谱分布，一定程度射线衍射照片上的斑点分布或图谱分布，一定程度上是晶体结构在状态空间的化身。上是晶体结构在状态空间的化身。4）倒格子是晶格在状态空间的化身。倒格子是晶格在状态空间的化身。1.4 倒格子倒格子3、倒格子的意义、倒格子的意义倒格子物理本质倒格子物理本质坐标空间坐标空间表象变换表象变换动量空间动量空间倒空间倒空间选取合适的基失选取合适的基失注意注意1：理论上讲，按照希尔伯特空间的概念，动量

35、空间应该是某一个力学量状态方程所得到：理论上讲，按照希尔伯特空间的概念，动量空间应该是某一个力学量状态方程所得到正交归一化本征完备组为基失张成的多维空间。正交归一化本征完备组为基失张成的多维空间。注意注意2：所谓合适的基失，按照量子力学第四假设，满足对易关系的力学量具有相同的本征组，：所谓合适的基失，按照量子力学第四假设，满足对易关系的力学量具有相同的本征组，因此，我们选取倒空间的时候，需要让坐标空间以及动量空间基失满足对易关系。也就是：因此，我们选取倒空间的时候，需要让坐标空间以及动量空间基失满足对易关系。也就是：jijibaijji, 0,22毫不夸张地说，一定是先有量子力学中的表象变化创

36、造动量空间，然后为了毫不夸张地说，一定是先有量子力学中的表象变化创造动量空间，然后为了将就将就晶体学分析方便，才又特晶体学分析方便，才又特意定义了倒空间。意定义了倒空间。1.4 倒格子倒格子4、倒格子的性质、倒格子的性质1、正倒格子基矢的关系、正倒格子基矢的关系ijjiab22、倒格子原胞体积是正格子原胞体积倒数的、倒格子原胞体积是正格子原胞体积倒数的 (2)3 倍。倍。)(321*bbb3*)2( 为倒格子晶胞体积为倒格子晶胞体积。）3、正格矢、正格矢 与倒格矢与倒格矢 的关系的关系hKlRmKRhl2（m为整数）为整数）4、倒格矢、倒格矢 是晶面指数为是晶面指数为 所对应的所对应的 晶面族

37、的法线。晶面族的法线。321hhhK）（321hhh5、倒格矢、倒格矢 于晶面间距于晶面间距 关系为关系为hK321hhhd3212|hhhhdK1.4 倒格子倒格子4、倒格子的性质、倒格子的性质倒格矢倒格矢 垂直于晶面指数为垂直于晶面指数为(h1h2h3)的晶面，亦即的晶面，亦即 为晶面为晶面(h1h2h3)的法的法线方向线方向1 12233hKhbh bh bhhKsK1a2a3a11ah22ah33ah31221212231 1223 3121 23,20,0hjiijhhhaaaaRRhhhhKhbh bh bbaKRKRKhh h取矢量面证明：证明：1.4 倒格子倒格子4、倒格子的性

38、质、倒格子的性质证明：证明：1a2a3a11ah22ah33ah1 2 31 2 31 2 31 2 3112=h h hh h hh h hh h hKadhKK截距 法线单位矢量倒格矢与晶面间距的关系倒格矢与晶面间距的关系1 2 31 2 32h h hh h hdK 1.5 X衍射复习衍射复习crfX射线将晶体结构，从坐标空间变到了倒空间，体现为衍射花样。射线将晶体结构，从坐标空间变到了倒空间，体现为衍射花样。我们需要研究衍射光的强度我们需要研究衍射光的强度FSfe散射光的振幅散射光的振幅电子散射长度电子散射长度晶胞几何结构因子晶胞几何结构因子晶体结构因子晶体结构因子free(cos)

39、/12221、电子散射长度、电子散射长度m.mcer子经典半径：电子经典半径： 晶胞晶胞(几何）结构因子不仅与原子散射因子有关，而且与晶胞内原子排列有关。几何）结构因子不仅与原子散射因子有关，而且与晶胞内原子排列有关。仅与晶系有关，仅与晶系有关，与原子散射因子无关，与原子散射因子无关，而且与晶胞内原子排列无关。而且与晶胞内原子排列无关。X衍射复习衍射复习crfFSfecjjiS rfactorajFfe散射光的振幅散射光的振幅电子散射长度电子散射长度晶胞几何结构因子晶胞几何结构因子晶体结构因子晶体结构因子2、晶胞几何结构因子、晶胞几何结构因子rdrefrSiac3)(

40、（1）原子散射因子因子）原子散射因子因子为电子云密度（即单位体积的电子数）为电子云密度（即单位体积的电子数）)(r散射波矢散射波矢)(0c lbkahnKnkkShccwbvaurjjjj原子位置原子位置定义：该原子内所有电子在选定方向散射波的振幅的几何和与单一电子的定义：该原子内所有电子在选定方向散射波的振幅的几何和与单一电子的散射波振幅之比。散射波振幅之比。 无量纲，是原子对于入射波散射能力的量度。无量纲，是原子对于入射波散射能力的量度。定义：晶胞内所有定义：晶胞内所有原子在选定方向散原子在选定方向散射波的振幅的几何射波的振幅的几何和与单一电子的和与单一电子的散射波振幅之比。散射波振幅之比

41、。X衍射复习衍射复习ffja为常数，简记为一般都是已知条件，作）12、晶胞几何结构因子、晶胞几何结构因子（2）F的简化与计算的简化与计算)(c lbkahnSccwbvaurjjjj2）)(2jjjjclwkvhunirS ieejlwkvhunirS ijajjjjcjfeefF)(2因为正格子和倒格子的对易关系：因为正格子和倒格子的对易关系：2)(2sin2)(2cos2|jlwjkvjhunjjafjlwjkvjhunjjafhklFhklI3）衍射强度）衍射强度rj为晶胞内原子位置为晶胞内原子位置cjjiS rfactorajFfe体心结构.)()(cos1212121000222为奇

42、数时反射消失衍射强度和坐标为体心结构晶胞中原子的lkhnlkhnfFIhklhkl2)(2sin2)(2cos2|jlwjkvjhunjjafjlwjkvjhunjjafhklFhklI面心结构面心结构.,)(cos)(cos)(cos1 21210 ,21021, 02121,000222部分为奇数的反射消失部分为偶数衍射强度坐标为面心结构晶胞中原子的hlnlknkhnfFIhklhkl金刚石结构.)442(),221(),321()(21,:0,434143,414343,434341,414141,21210 ,21021, 02121,0008的衍射斑点故无也是偶数且都是偶数或都是奇数

43、的条件衍射强度个原子的坐标为金刚石结构晶胞中lkhnnlnknhnlnknhIhklX衍射复习衍射复习crfFSfemRS imceS散射光的振幅散射光的振幅电子散射长度电子散射长度晶胞几何结构因子晶胞几何结构因子晶体结构因子晶体结构因子3、晶体结构因子、晶体结构因子Rm为晶胞位置矢量为晶胞位置矢量v 若要在若要在k方向获得衍射束方向获得衍射束, , 则要求则要求S为最大为最大 nRSmc2cmiS RmSe劳厄条件：劳厄条件：hKkk0cmiS RmSeX衍射复习衍射复习（1）劳厄条件与晶面）劳厄条件与晶面.)()()(2,1321032132100反射而来经晶面是衍射极大虚线代表晶面正交与

44、晶面虚线垂直平分时hhhkkhhhKhhhKkkKkknhhhX衍射复习衍射复习布拉格反射条件晶面间距,sin222sin4sin2223213213210000nddnnKkkKdkkssSSkkhhhhhhhhhhh（2）劳厄条件与布拉克反射定理）劳厄条件与布拉克反射定理X衍射复习衍射复习（3）劳厄条件与傅里叶变换）劳厄条件与傅里叶变换.,2)(,)(2)(0000傅里叶变换关系遵守原因在于夫琅合费衍射结果一致与傅里叶变换得到的称衍射级数是整数令相当于倒格矢劳厄方程为kkRnnKkkkkkkRlhlX衍射复习衍射复习kk0以任一倒格点为原点，当以任一倒格点为原点，当X射线的波矢未端落在布射

45、线的波矢未端落在布里渊区边界时，可以产生衍射。里渊区边界时，可以产生衍射。(4) X射线衍射与布里渊区射线衍射与布里渊区陆栋陆栋固体物理学和节固体物理学和节1.6 晶体对称性晶体对称性一、一、 用矩阵表示变换以及其应用用矩阵表示变换以及其应用（1）绕）绕 Z 轴转动轴转动1000cossin0sincosA1A（2）中心反映）中心反映 RR1Azyxzyxzyx100010001100010001A（3）镜像反映（对称面为）镜像反映（对称面为 oxy 平面）平面）zyxzyxzyx100010001100010001A1A1.6 晶体对称性晶体对称性33111100000080七大晶系的介电常

46、数七大晶系的介电常数 33231323221213121133132213110000332211000000331111000000 1111110000001.6 晶体对称性晶体对称性二、周期性对旋转对称性的影响二、周期性对旋转对称性的影响1.6 晶体对称性晶体对称性晶格点阵的周期性排列会对对称操作有所限制。晶格点阵的周期性排列会对对称操作有所限制。设设AB为晶体中某一晶面为晶体中某一晶面上的一条晶列，由于周上的一条晶列，由于周期性存在，有期性存在，有ABAB/同族晶列格点的周期性相等同族晶列格点的周期性相等（m为整数）)cos21 ()180cos(20ABABABBAABmBA：晶体绕

47、某一：晶体绕某一能够完全复原能够完全复原黄昆黄昆固体物理学固体物理学P30二、周期性对旋转对称性的影响二、周期性对旋转对称性的影响所以cos21 m（m为整数）为整数）只能取只能取n2 n=1,2, 3, 4, 62 1 122 1 3 32 21 242 0 162 21 0 cos m1.6 晶体对称性晶体对称性二、周期性对旋转对称性的影响二、周期性对旋转对称性的影响1.6 晶体对称性晶体对称性因因1982年发现年发现5次对称性次对称性的准晶的准晶，独享，独享2011年诺贝尔奖年诺贝尔奖Al65Co25Cu10合金合金达尼埃尔达尼埃尔谢赫特曼谢赫特曼（Daniel Shechtman） 黄

48、昆黄昆固体物理学节固体物理学节1.6 晶体对称性晶体对称性三、基本的点对称操作三、基本的点对称操作3、i （中心反演）（中心反演）1、E （不变）（不变）2、Cn （n度轴转动）度轴转动） n： 2 3 4 6 C 2 C 3 C 4 C 6 （熊夫利符号）（熊夫利符号）4、 （n度象转轴，作度象转轴，作n度旋转后再作中心反映）度旋转后再作中心反映）Cn2C（m）（S4）Cn1.6 晶体对称性晶体对称性三、基本的点对称操作三、基本的点对称操作Cn（n度象转轴，作度象转轴，作n度旋转后再作中心反映）度旋转后再作中心反映）2Cn2346（m）3C4C（S4）6Cm ：垂直于旋转轴的一个对称面：垂直

49、于旋转轴的一个对称面 （是基本的点对称操作，称镜像反映面）（是基本的点对称操作，称镜像反映面）3C：实际上是中心反演（不是基本的点对称操作）：实际上是中心反演（不是基本的点对称操作） S4 ：是一个新的对称操作（是基本的点对称操作，称：是一个新的对称操作（是基本的点对称操作，称4度旋转反演轴）度旋转反演轴） 6C：是：是C3、m的组合（不是基本的点对称操作）的组合（不是基本的点对称操作） 陆栋陆栋固体物理学固体物理学P121.6 晶体对称性晶体对称性三、基本的点对称操作三、基本的点对称操作最基本的点对称操作只有最基本的点对称操作只有8个个 E、C2、C3、C4、C6、i、m、S4 本章小结和下

50、章展望本章小结和下章展望 第一章第一章 晶体结构和晶体结构和X 射线衍射射线衍射1.1 晶体和晶格基本概念晶体和晶格基本概念1.2 几种简单的晶体结构几种简单的晶体结构1.3 晶列和晶面指数晶列和晶面指数1.4 倒格子和晶体衍射倒格子和晶体衍射1.5 对称操作和点群对称操作和点群晶体学的基本概念晶体学的基本概念1. 倒格子的性质以及应用倒格子的性质以及应用2. 原子散射因子，晶体散射原子散射因子，晶体散射因子（计算）因子（计算）1. 对称操作的应用对称操作的应用2. 对称操作的种类对称操作的种类本章小结和下章展望本章小结和下章展望 2.1 Drude经典电子论；经典电子论； 2.2 Somme

51、rfeld的自由电子论的自由电子论； 2.3 Sommerfeld展开式及其应用；展开式及其应用； 2.4 电子发射电子发射 一、第二章结构一、第二章结构T = 0 KT 0 K系统的自由电子总数为系统的自由电子总数为 0Nf EE dE系统的总能量：系统的总能量： 00UEf EE dE核心问题核心问题第一章习题课1. 晶体结构中的基本概念晶体结构中的基本概念二维蜂房端点组成的阵列是布拉菲格子吗二维蜂房端点组成的阵列是布拉菲格子吗? ?第一章习题课第一章习题课第一章习题课1. 晶体结构中的基本概念晶体结构中的基本概念如果把同样的硬球放置在这些结构原子所在的位置上，球的体积取如果把同样的硬球放置在这些结构原子所在的位置上，球的体积取得尽可能的大，使最近邻的球正好接触，但彼此并不重叠。我们得尽可能的大，使最近邻的球正好接触，但彼此并不重叠。我们把一个把一个晶胞中被硬球占据的体积和晶胞体积之比定义为该结构的堆积比率晶胞中被硬球占据的体积和晶胞体积之比定义为该结构的堆积比率。6246238326) 1 (）六角密堆，（）面心立方，（）体心立方（简立方，那么：那么：一个晶胞中刚性球的体积和晶胞体积之比一个晶胞中刚性球的体积和晶胞体积之比第一章习题课1. 晶体结构中的基本概念晶体结构中的基本概念6246238326) 1 (）六角密堆，（）面心立方，（）体心立方（简立方