平面向量的概念及线性运算

1、平面向量的概念及线性运算基础梳理1,向量的有关概念向量：既有大小又有方向的量叫向量:向量的大小叫做向量的模.（2）零向量：长度等于 0_的向量，其方向是任意的.单位向量：长度等于 1 个单位的向量.平行向量：方向相同或相反的非零向量、又叫共线向量，规定：0 与任一向量共线.相等向量：长度相等且方向相同的向量.（6）相反向量：长度相等且方向相反的向量.2.向量的线性运算向量运算定义法则（或几何意义）运算律加法求两个向量和的运算d三角形法则a平行四边形法则交换律：a+b=b+aa+b=b+a.(2)结合律：(a+b)+c=a+a+b)+c=a+(b+cb+c)减法求a a与b b的相反向量一 b

2、b 的和的运算叫做 a a 与 b b 的差J三角形法则ba ab=a+(b=a+(b b)3.向量的数乘运算及其几何意义定义：实数人与向量 a a 的积是一个向量，这种运算叫向量的数乘，记作后，它的长度与方向规定如下：I I 卸=1=1 距 I I；当 A0 时，后与 a a 的方向相同;当右 0 时，后与 a a 的方向相反;当人=0 时，4=0.（2）运算律：设小小是两个实数，则X 肉）=（入）a a；（叶 0a=a+Xa+bXa+b）=2a+=2a+；b b.4.共线向量定理向量 a a（aw0）与 b b 共线的充要条件是存在唯一一个实数人使得 b=a a.双基自测1.（周基升华）判

3、断下列结论的正误.（正确的打“，”，错误的打“x”）（1）向量与有向线段是一样的，因此可以用有向线段来表示向量（）（2）若 a/b,b/c,贝 Ua/c（）（3）a/b 是 a=入 b（入R）的充要条件（）（4）若 0 是 4ABC 的重心，则加皿昆 0（）【解析】（1）中，“向量”和“有向线段”不同，向量只有两个要素：大小、方向；而有向线段有三个要素：起点、方向、长度.（1）不正确.（2）当 b=0,a 与 c 不一定平行，（2）错.（3）当 aw0,b=0 时，a/bD?/a=入儿但 a=入 b?a/b,.a/b 是 a=入 b（入R）的必要不充分条件.（3）错误.（4）根据平行四边形法则

4、，正确.【答案】（1）X（2）X（3）X（4）V2 .判断下列四个命题：若 a/b,a/b,则 2=2=若|a a|=|b|,b|,则 a=ba=b；若|a a|=|b|,b|,则 a/ba/b；若 a=b,a=b,则|a|=|b|.a|=|b|.正确的个数是（）.A.1B.2C.3D.4解析只有正确.答案 A3 .（人教A版教材习题改编）化简 OP-MMaQ 的结果为（）A.0MB.SMC.PSD.0S【解析】OP-丽 M*瓶（OKPQ+（OM-M=OU 隹 OS【答案】D4 .（2014 广州质检）设 a、b 都是非零向量，下列四个条件中，使的充分条件是（）A.a=bBC.a=2bDa旦”

5、|a|=|b|成乂.a/b 且|a|=|b|a【解析】-T 表示与 a 同向的单位向量,|a|会表示与 b 同向的单位向量，只要 a|b|,一，、，ab与 b 同向，就有丁丁=皿，观察选择项易知 C 潴足题意.【答案】C1aIIbl5.（人教 A 版教材习题改编）D 是ABC 的边 AB 上的中点，则向量 CD 等于（）.1 1-r1 1 CD=CB+BD=CB+/BA=-BC+声 A.答案 A6、若 O,E,F 是不共线的任意三点，则以下各式中成立的是（）.A.EF=oF+ofeB.EF=OF-OEC.EF=OF+OED.EF=-OF-OE解析 EF=EO+OF=OFOE.答案B7、？如图,

6、D,E,F 分别是ABC 的边 AB,BC,CA 的中点，则（）.A.AD+BE+CF=0B.BDCF+DF=0C.AD+CECF=0D.BD-BE-FC=0解析AB+BC+CA=0,2AD+2Bl+2CF=0,即好+虎+d=0.答案 AA.-BC+1BAB.-E3C-1EBAC.BC-2BAD.EBC+EBA解析如图,4DB8、在 4ABC 中，AB=c,AC=b,若点 D 满足 BD=2DC,则 Ab=解析 BD=2DC,.AD-AB=2(AC-AD),-.3AD=2AC+ABAD=2 危+1*=3b+b+3c c.答案 A9、（2013广东高考）设 a 是已知的平面向量且 aw0.关于向

7、量 a 的分解，有如下四个命题：给定向量 b,总存在向量 c,使 a=b+c；给定向量 b 和 c,总存在实数入和N,使 a=入 b+Nc；给定单位向量 b 和正数小，总存在单位向量 c 和实数入，使 a=入 b+仙 c；给定正数人和N,总存在单位向量 b 和单位向量 c,使 a=b+Nc.上述命题中的向量 b,c 和 a 在同一平面内且两两不共线，则真命题的个数是（）A.1B.2C.3D.4【解析】显然命题，是正确.对于，给定向量 b,则入 b 可以确定方向，不妨设如图所示，作 AB1 入 b,B 为垂足.当正数 p|a|.若入=仙=1,|a|2 时，与|a|=|b+c|b|十|c|=2 矛

8、盾，则不正确.【答案】B10、 （2011 兰州模拟） 已知 a,ba,b 是不共线的向量，AB=启+b,+b,AC=a+a+2 （户 R R） ,那么 A,B,C三点共线的充要条件是（）.A.入+匹=2B.入一以=1C.入产一 1D.入秤 1解析由 AB=白+b,b,AC=a+N 史）及 A,B,C 三点共线得：AB=tAC,().A2-1A-3b+3c cc.3b-3c c咪-3b b12D.b+7c33七t,所以 a+b=t(a+g)=ta+tb,即可得彳所以入秤 1.故选 D.答案 D1=tg11、设 a a 与 b b 是两个不共线向量，且向量 a+a+勤与 2a ab b 共线，则

9、入=l=2k,解析由题意知：a+?b=k(2a-b),则有：Skk,k711-*=5，已2.答案12.如图 411,在平行四边形 ABCg,E 为 DC 边的中点，且衽 a,仙 b,则 Bfe=图 4-1-1_1-111【解析】BE=BMAU2a+b+a=b,a.【答案】b2a13、(2013四川高考)在平行四边形 ABC 时，对角线 AC 与 BD 交于点 0,融融入 A0 则入=.【解析】由向量加法的平行四边形法则，得 AB+Ab=At又 0 是 AC 的中点，.AG=2AQ.Ab=丽 Afe+2A0又 AB+M 入 AO；入=2.【答案】214、设两个非零向量 a a 与 b b 不共线.(1)若 AB=a+b,a+b,BC=2a+a+8b,b,CD=3(a ab b).求证：A,B,D 三点共线；(2)试确定实数 k,使 ka+ba+b 和 a+kb b 共线.审题视点(1)先证明丽，BD 共线，再说明它们有一个公共点；(2)利用共线向量定理列出方程组求 k.(1)证明.丽=a+b,配=2a+8b,CD=3(ab).BD=BC+CD=2a+8b+b+3(a ab b)=5(a+ba+b)=5 丽.AB,BD 共线，又它们有公共点，.A,B,D 三点共线.(2)解 ka+ba+b 与 a+a+kb b 共线，存在实数入使