高等数学同济大学第六版1-03-函数的极限讲义ppt课件

1、1-03 函数的极限函数的极限一般地一般地, y=f(x), xDf R=( -,+), 用用R=( -,+)记全体实数构成的集合记全体实数构成的集合.建立一根数轴建立一根数轴,数数轴上每一个点的坐标都是实数轴上每一个点的坐标都是实数,这根数轴就叫做这根数轴就叫做实数轴实数轴 .习惯上我们称习惯上我们称“实数是连续变化的实数是连续变化的” 的意思就的意思就是是:以实数为坐标的点正好填满了实数轴以实数为坐标的点正好填满了实数轴,使之没使之没有空隙有空隙,也就是说也就是说:用一把刀砍向实数轴用一把刀砍向实数轴,一定会砍一定会砍到一个实数对应的点到一个实数对应的点,不会落空不会落空.ox1例如，我们

2、知道一个阻尼振荡的波函数可设想为例如，我们知道一个阻尼振荡的波函数可设想为0( )( )sin() ,0 x tA ttt随着时间随着时间 t 的不断增加以至无穷的不断增加以至无穷,振荡的振幅振荡的振幅A(t)的数值越来越接近于零。那么的数值越来越接近于零。那么,我们就说我们就说 随着时间随着时间 t 的无限增大的无限增大, x(t)的的值无限接近的的值无限接近于零，或曰于零，或曰:x(t)以以 0 为极限。为极限。所以，函数的极限首先就可以讨论自变量所以，函数的极限首先就可以讨论自变量 时的极限问题。时的极限问题。x同时可以注意到，同时可以注意到， 时函数的极限问题时函数的极限问题是数列极限

3、问题的一般化。是数列极限问题的一般化。x.sin时时的的变变化化趋趋势势当当观观察察函函数数 xxx播放播放一一.自变量趋向无穷大时函数的极限自变量趋向无穷大时函数的极限问问题题: :函函数数)(xfy 在在 x的的过过程程中中, 对对应应函函数数值值)(xf无无限限趋趋近近于于确确定定值值 A.;)()(任任意意小小表表示示AxfAxf .的过程的过程表示表示 xXx. 0sin)(,无无限限接接近近于于无无限限增增大大时时当当xxxfx 通过上面演示实验的观察通过上面演示实验的观察:问题问题: 如何用数学语言刻划函数如何用数学语言刻划函数“无限接近无限接近”.定义定义 1 1 如果对于任意

4、给定的正数如果对于任意给定的正数 ( (不论它多么小不论它多么小),),总存在着正数总存在着正数X, ,使得对于适合不等式使得对于适合不等式Xx 的一切的一切x, ,所对应的函数值所对应的函数值)(xf都满足不等式都满足不等式 Axf)(, ,那末常数那末常数A就叫函数就叫函数)(xf当当 x时的极限时的极限, ,记作记作)()()(lim xAxfAxfx当当或或定义定义X .)(, 0, 0 AxfXxX恒恒有有时时使使当当 Axfx)(lim1、定义：、定义：lim0,0,.lim( )0,0,( )nnnxxaNxaf xnAXf xANxX 收敛定义对比收敛定义对比数列与函数数列与函

5、数:变量连续变量连续地变化地变化变量离散变量离散地变化地变化001: lim( )0,0,( )2: lim( )0,0,:lim ( )lim( )lim( ),( )xxxxxxXf xAf xAfxf xAXf xAxf xAXf xAxxXA 定定理理且且情情形形使使当当时时恒恒有有情情形形使使当当时时恒恒有有2、另两种情形、另两种情形:xxysin 3、几何几何解释解释: X X.2,)(,的带形区域内的带形区域内宽为宽为为中心线为中心线直线直线图形完全落在以图形完全落在以函数函数时时或或当当 AyxfyXxXxAxxysin sinsin110,10,sinsin0,lim0.xx

6、xxxxXXxXxxxx 取取则则当当时时恒恒有有故故例例1. 0sinlim xxx证证明明证证:lim( ),( ).xf xcycyf x 定定义义 如如果果则则直直线线是是函函数数的的图图形形的的水水平平渐渐近近线线二二.自变量趋向有限值时函数的极限自变量趋向有限值时函数的极限问问题题: :函函数数)(xfy 在在0 xx 的的过过程程中中,对对应应函函数数值值)(xf无无限限趋趋近近于于确确定定值值 A.;)()(任任意意小小表表示示AxfAxf .000的的过过程程表表示示xxxx x0 x 0 x 0 x ,0邻邻域域的的去去心心点点 x.0程程度度接接近近体体现现xx 问题是问

7、题是在在0 xx 的过程中讨论的过程中讨论 函数函数)(xfy 的极限问题时，要考察的极限问题时，要考察, 这是为什么呢？这是为什么呢？ 000,xxx 点点 的的去去心心 邻邻域域切线问题切线问题割线的极限位置割线的极限位置切线位置切线位置播放播放切线问题切线问题割线的极限位置割线的极限位置切线位置切线位置切线问题切线问题割线的极限位置割线的极限位置切线位置切线位置切线问题切线问题割线的极限位置割线的极限位置切线位置切线位置切线问题切线问题割线的极限位置割线的极限位置切线位置切线位置切线问题切线问题割线的极限位置割线的极限位置切线位置切线位置切线问题切线问题割线的极限位置割线的极限位置切线位

8、置切线位置切线问题切线问题割线的极限位置割线的极限位置切线位置切线位置切线问题切线问题割线的极限位置割线的极限位置切线位置切线位置切线问题切线问题割线的极限位置割线的极限位置切线位置切线位置切线问题切线问题割线的极限位置割线的极限位置切线位置切线位置 T0 xxoxy)(xfy CNM如图如图, 如果割线如果割线MN绕点绕点M旋转而趋向极限位置旋转而趋向极限位置MT,直线直线MT就称为曲线就称为曲线C在点在点M处的切线处的切线.极限位置即极限位置即. 0, 0 NMTMN).,(),(00yxNyxM设设的的斜斜率率为为割割线线MN00tanxxyy ,)()(00 xxxfxf ,0 xxM

9、NC沿沿曲曲线线的斜率为的斜率为切线切线MT.)()(limtan000 xxxfxfkxx 例如，抛物线在点例如，抛物线在点2，4处的切线斜率为处的切线斜率为00000()()lim.xxf xf xxxxxxx 在在讨讨论论形形如如的的极极限限问问题题时时必必须须注注意意到到 蕴蕴含含着着 22222(2)(2)limlim2222,(2)(2)limlim(2)4.2xxxxxxxxxxxxxxx - -4 4- -k k= =注注意意到到 蕴蕴含含着着 - -因因此此，定义定义 2 2 如果对于任意给定的正数如果对于任意给定的正数 ( (不论它多不论它多 么小么小),),总存在正数总存

10、在正数 , ,使得对于适合不等式使得对于适合不等式 00 xx的一切的一切x, ,对应的函数值对应的函数值)(xf都都 满足不等式满足不等式 Axf)(, ,那末常数那末常数A A就叫函数就叫函数)(xf当当0 xx 时的极限时的极限, ,记作记作 )()()(lim00 xxAxfAxfxx 当当或或 定定义义 .)(,0, 0, 00 Axfxx恒恒有有时时使使当当1.定义：定义：2122221322lim5.10,0,01,325,132(32)(1)5532531 ,110, 01,3253133,132lim10335xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx 例例 证证明明

11、证证明明 要要找找到到使使得得有有有有3.单侧极限单侧极限:例如例如,. 1)(lim0, 10,1)(02 xfxxxxxfx证明证明设设两种情况分别讨论两种情况分别讨论和和分分00 xx,0 xx从左侧无限趋近从左侧无限趋近; 00 xx记记作作,0 xx从右侧无限趋近从右侧无限趋近; 00 xx记记作作yox1xy 112 xy左极限左极限.)(, 0, 000 Axfxxx恒恒有有时时使使当当右极限右极限.)(, 0, 000 Axfxxx恒恒有有时时使使当当000:000 xxxxxxxxx注注意意.)0()(lim0)(000AxfAxfxxxx 或或记记作作.)0()(lim0)

12、(000AxfAxfxxxx 或或记记作作000: lim( )(0)(0)xxf xAf xf xA 定定理理.lim0不不存存在在验验证证xxxyx11 oxxxxxx 00limlim左右极限存在但不相等左右极限存在但不相等,.)(lim0不不存存在在xfx例例3证证1)1(lim0 xxxxxxx00limlim 11lim0 x三、函数极限的性质三、函数极限的性质 1.有界性有界性定定理理 若若在在某某个个过过程程下下, ,)(xf有有极极限限, ,则则存存在在过过程程的的一一个个时时刻刻, ,在在此此时时刻刻以以后后)(xf有有界界. .2.唯一性唯一性定定理理 若若)(limxf

13、存存在在,则则极极限限唯唯一一.).0)(0)(,),(, 0),0(0,)(lim000 xfxfxUxAAAxfxx或或时时当当则则或或且且若若定理定理( (保号性保号性) ).0(0),0)(0)(,),(, 0,)(lim000 AAxfxfxUxAxfxx或或则则或或时时当当且且若若推论推论3.不等式性质不等式性质.),()(),(, 0.)(lim,)(lim0000BAxgxfxUxBxgAxfxxxx 则则有有若若设设定理定理( (保序性保序性) )常用结论为：常用结论为：如如 果果 ，那么那么 xf xAlim( ) nf nAlim( ) 4. 函数极限与数列极限的关系函数

14、极限与数列极限的关系从一般到特殊从一般到特殊的关系的关系思考题思考题试试问问函函数数 0,50,100,1sin)(2xxxxxxxf在在0 x处处的的左左、右右极极限限是是否否存存在在？当当0 x时时，)(xf的的极极限限是是否否存存在在？思考题解答思考题解答200lim( )lim(5)5,xxf xx 左极限存在左极限存在,001lim( )limsin0,xxf xxx右极限存在右极限存在,000lim( )lim( )lim( )xxxf xf xf x 不存在不存在.xxxxxxa22301.lim4;2.lim12;3.lim1. 思思考考练练习习证证明明xxxf xAxxxxx

15、xf xAxxxxxf xAxxx2222202221.lim4;( )422 ,13,452 ,0,( )4,2152,min(1,),0,5( )4,l21im.,4 思思考考练练习习 证证明明 证证 则则任任给给要要使使只只需需在在可可预预的的条条件件下下可可取取0 0当当成成立立设设时时有有条件放大条件放大xxxxxxxxxx30,0lim,0 |3|,1231231212;31.22.0 分分析析 要要找找到到使使得得时时 有有只只要要就就有有故故可可取取 思思考考xxxxxxxxxx330, 0,:0 |3|,31212lim212;lim123. 思思考考证证明明 有有22233

16、3,:(1)lim(0)(2)lim(,0)xammxaxbababxbabmab 一一般般地地 有有 Z Zxxaaaaaaxxxxxxxxaaaxxxaaaaaa0001,0(1),|1|,11,log (1)log (1),1minlog,log (1),0|,11loglog (1)111,|1|lim1,11,lim1lim1. 证证 当当时时不不妨妨设设要要使使只只须须又又只只须须令令当当时时即即当当时时xxaa03.lim1(0)思思考考练练习习 证证明明 练练 习习 题题12201.1 4sin(1)lim22 lim0212.:( ).3.( )0?xxxxxxf xxxxx

17、xx 用用函函数数极极限限的的定定义义证证明明：( ( ) )试试证证函函数数当当时时极极限限存存在在的的充充分分必必要要条条件件是是左左极极限限、右右极极限限各各自自存存在在并并且且相相等等讨讨论论：函函数数在在时时的的极极限限是是否否存存在在.sin时时的的变变化化趋趋势势当当观观察察函函数数 xxx一、自变量趋向无穷大时函数的极限一、自变量趋向无穷大时函数的极限.sin时时的的变变化化趋趋势势当当观观察察函函数数 xxx一、自变量趋向无穷大时函数的极限一、自变量趋向无穷大时函数的极限.sin时时的的变变化化趋趋势势当当观观察察函函数数 xxx一、自变量趋向无穷大时函数的极限一、自变量趋向无穷大时函数的极限.sin时时的的变变化化趋趋势势当当观观察察函函数数 xxx一、自变量趋向无穷大时函数的极限一、自变量趋向无穷大时函数的极限.sin时时的的变变化化趋趋势势当当观观察察函函数数 xxx一、自变量趋