数学分析第二十一章曲线积分与曲面积分ppt课件

1、第二十一章第二十一章 曲线积分与曲面积分曲线积分与曲面积分背景：前面，求几何体的质量 1.第一型曲线曲、面积分设有空间的曲线段L，其上每点有线性密度,1. 1. 第一型曲线积分与曲面积第一型曲线积分与曲面积分分 01,nAAAABi我们的问题是,求其质量为简单起见,设空间曲线段L是可以求长的,其端点为A,B密度函数( , , )f x y z在曲线L上连续,我们来求这曲线段L的质量.从A至B依次插入分点,它将曲线L分为n段.记第i段弧长为(1,2,. ).is in在第 段 上任取一点( ,),iii 则第i弧段的质量近似于(,)iiiifs 从而L 的质量就近似于 ( ,)iiiifs 当1

2、max0ii ns i时,上述和式的极限就是L的质量01lim(,)niiiiiMfS 这种定义在曲线L的和式的极限,就称为( , , )f x y z在L 的第一型曲线积分.如何又设设 L是空间中一条有限长的光滑曲线,义在 L上. L的两端点为A,B.依次用分点是定),(zyxf将L分为),(zyxf01,nAA AABnisisi小段弧也记为，任取，作和式小段，每小段的弧长记为，不妨将第( ,)iiiis 1( ,)niiiiifs 若当1max0ii ns 时上述和式极限存在， 则称此极限为在曲线L上的第一类曲线积分，记为( , , )Lf x y z ds.总的来说,就是01( , ,

3、 )lim( ,)niiiiiLf x y z dsfs 定义 21.1设L 为光滑曲线 ( )xx t ( )yy t ( )zz t t ( , , )f x y z在L上连续.那么 定理21.1( , , )f x y z在L上的第一型曲线积分存在,且 222( , , ),Lf x y z dsfx ty tz txtytzt dt(1) 第一型曲线积分的性质( , , )( , , )ABBAf x y z dsf x y z ds(2) ( , , )( , , )( , , )( , , )ABABABf x y zg x y z dsf x y z dsg x y z ds(3

4、)( , , )( , , )ABABkf x y z dskf x y z ds(4)( , , )( , , )( , , )ABACCBf x y z dsf x y z dsf x y z ds例例1 1 设L 是椭圆 在第一象限部分， 22221xyab求 . LIxyds解：设cos,sin, 02xayxa222222( )( )sincosdsxydabd222220sincossincosLIxydsababd222220cos2cos2422ababbad 223ab aabbab例例2 2计算 ，其中L为球面2222xyza被平面 所截得的圆周.2LIx ds解：2323

5、3Ladsa0 xyz222LLLx dsy dsz ds22221()3LLx dsxyz ds设 S是空间光滑曲面义在 S上. 对于D的任意分法为是定),(zyxf),(zyxfiS,( , ),xyzz x yx yDi任取，作和式( ,),iiiiS 1( ,)niiiiifs 若当1max0ii ns 时,上述和式极限存在， 则称此极限为在曲线S上的第一类曲面积分， 记为( , , )Sf x y z dS定义 21.2相应得到S的分法1maxii n 的直径( , , )Sf x y z ds 如何计算？,( , )xyzz x yx yD ，f 在S上连续，那么22( , , )

6、( , ,) 1,xyxySDf x y z dsf x y z x yzx yzx y dxdy定理定理 S S：(xyDSOxy为 在面上的投影），是光滑曲面， 是有界闭区域xyD( , )f x yS在 上的第一型曲面积分存在，且:( , ),( , ),( , ),( , )S xx u vyy u v zz u vu vD 2( , , )( ( , ), ( , ), ( , )SDf x y z dsf x u vy u v z u vEGF dudv其中当 2dSEGF dudv222222,uuuvvvExyzGxyzuvuvuvFx xy yz z时说明 1公式的记忆：“代

7、进去” 2S的方程为,xx y z,yzy zD或,yy z x,zxz xD时公式如何 3当( , , )1f x y z 时，为曲面S的面积公式 4)当光滑曲面S由参数方程：,( , ),( , ),xx u vyy u v zu v, u vD时面积元素2dsEGF dudv这时2( , , )( ( , ),)SDf x y z dsf x u vy u vz u vEGF dudv5） 当S是Oxy平面上的平面块D时。第一类曲面积分就是二重积分( , )( , )SDf x y dsf x y dxdy例例4 4 计算曲面积分 ，其中S为球面2222xyza在平面SdSz解：222S

8、SdSadxdyzaxy2222:D xyah222221,xyazx yzx yaxy(0)zhha之上的部分.22222002lnahaadrdraarh那么例例5.5. 计算 ,其中2222:,0S xyzaz()Sxyz ds解：sinsincossin0coscossincossinaaaaacos sin ,sinsin ,cos ,xayaza02 , 0222sin,Ea2,Ga0F ()Sxyz ds423(cossinsinsincos )sinDaad da 2. 2. 第二型曲线积分与曲面积第二型曲线积分与曲面积分分1.变力作功与第二型曲线积分定义21.3 设函数( ,

9、 , )f x y z定义在空间光滑曲线弧L上,L的两端点为A,B.从A,B给AB一个分法:01,nAM MMB其中( ,),iiiiMx y z记1iiMM的弧长为1,iiiisxxx任取1(,)iiiiiMM ,作和式1( ,).niiiiifx 若当1max0ii ns 时,的极限存在,则称该极限为函数 沿有向曲线fL对x的第二型曲线积分,记为( , , ),Lf x y z dx或( , , ).ABf x y z dx如果在上述求和时,分别用1iiiyyy或1iiizzz替代,ix便得到 f沿L对y或对z的第二型曲线积分:( , , )Lf x y z dy或( , , )Lf x

10、y z dz定理21.3 设函数( , , )f x y z定义在空间光滑曲线弧AB上的连续函数，对应于A，:( ),( ),( ),AB xx tyy tzz tt tAB，且有( , , )( ( ), ( ), ( )( )ABf x y z dxf x ty tz tx t dt对应于B，且 自身不相交，那么t函数 沿有向曲线fL 的第二型( , , ).ABf x y z dx曲线积分类似地有， ( , , )( ( ), ( ), ( )( )ABf x y z dyf x ty tz ty t dt( , , )( ( ), ( ), ( )( )ABf x y z dzf x

11、ty tz tz t dt例例1. 1. 计算计算220 xyaxyABAB224ABIxydxxydy,其中解解: (1) : (1) 0 0yxaAB那么(1)是上半圆周(2)是上半圆周参数方程： 20 xx,xayaxx224ABIxydxxydy3222202462aaxaxaxxx axxdxaxx例例2. 2.求在力求在力Fy, x,xyzAB102L : xacost,yasint,zbt,t 11LLWF dSydxxdyxyz dz作用下，质点由A到B所做的功解解: (1): (1)AB(1)是螺旋线(2)是直线段2002L : xa,y,zt,tb 2220asintaco

12、stacostasintbt b dt222ba22LLWF dSydxxdyxyz dz(2)202bat dtb ab小结01( , , )lim( ,)niiiiLif x y z dsfS 特别的,当.L为平面曲线时01( , )lim( ,)niiiLif x y dsfD 设L 为光滑曲线 ( ) ,( ) ,( ) ,xx tyy tzz t设有空间的曲线段L，密度函数为 ，求其质量 t ( , , )f x y z在L上连续.那么特别 当L 为平面光滑曲线( ) ,( ) ,xtyt t ( , )f x yL在 上连续,则 22( , ),Lf x y dsftttt dt2

13、.定理1.第一型曲线积分( , , )f x y z 222( , , ), ( )( )Lf x y z dsfz ty tz txtytzt dt习题xyo1. 1. 设设 C C 是由极坐标系下曲线是由极坐标系下曲线, ar 0及4所围区域的边界, 求seICyxd222)24(aeaa4xy 0yar 提示: 分段积分xeIaxd0d40aeaxeaxd22022.为球面2222Rzyx面的交线 , 求其形心 . 在第一卦限与三个坐标解解: : 如下图如下图 , , 交线长度为交线长度为RozyxRR1L3L2LslLd31423R23 R由对称性 , 形心坐标为321d1LLLsxl

14、xyz321ddd1LLLsxsxsxl1d2Lsxl20dcos2RRl34Rd d s3. 3. 计算计算,d)(222szyxI其中为球面解解: : , 11)(:24122121zxyx:202)sin2(2)cos2(2)sin2(18d22920Id2cos221z. 1的交线与平面 zx292 z化为参数方程 21cos2x sin2y那么22yx cosRx ),0(,2解解: :cosdd2RskFxdcos2Rksindd2RskFydsin2RkRRoxy0dcos2RkFx0dsin2RkFy0cossin2RkRk40sincos2RkRk2故所求引力为),(yx,s

15、inRy 求它对原点处单位质量质点的引力. 4. 4. 有一半圆弧有一半圆弧其线密度RkRkF2,45. 5. 计算计算,dsxIL其中L为双纽线)0()()(222222ayxayx解解: : 在极坐标系下在极坐标系下)40(2cos:1 arLsxILd414022d)()(cos4rrr402dcos4a222a,2cos:22arLyox它在第一象限部分为利用对称性 , 得补充题例例1. 1. 计算计算,dLsx其中 L 是抛物线2xy 与点 B (1,1) 之间的一段弧 . 解解: :)10(:2xxyLLsxd10 xxxd)2(12xxxd4110210232)41 (121x)155(1211Lxy2xy o) 1 , 1 (B2解解: : 建立坐标系如图建立坐标系如图, ,R xyoLsyILd2d)cos()sin(sin2222RRRdsin23 R0342sin22 R那么 )(sincos:RyRxL例例2. 2. 计算半径为计算半径为R