2.4平面向量的数量积ppt课件

1、第二十五讲平面向量的数量积第二十五讲平面向量的数量积1.向量的夹角向量的夹角 (1)已知两个非零向量已知两个非零向量a和和b,作作 那么那么AOB=叫做向量叫做向量a与与b的夹角的夹角.,OAa OBb (2)向量夹角向量夹角的范围是的范围是0,a与与b同向时同向时,夹角夹角=0;a与与b反向反向时时,夹角夹角=.(3)如果向量如果向量a与与b的夹角是的夹角是90,我们说我们说a与与b垂直垂直,记作记作ab.2.向量的投影向量的投影|a|cos(|b|cos)叫做向量叫做向量a在在b方向上方向上(b在在a方向上方向上)的投影的投影.3.平面向量数量积的定义平面向量数量积的定义ab=|a|b|c

2、os(是向量是向量a与与b的夹角的夹角),规定规定:零向量与任一向零向量与任一向量的数量积为量的数量积为0.4.向量数量积的性质向量数量积的性质设设a,b都是非零向量都是非零向量,e是与是与b方向相同的单位向量方向相同的单位向量,是是a与与e的夹的夹角角,那么那么(1)ea=ae=|a|cos.(2)ab=ab=0.(3)当当a与与b同向时同向时,ab=|a|b|;当当a与与b反向时反向时,ab=-|a|b|;特别地特别地,aa=|a|2或或|a|=(4)cos=(5)|ab|a|b|.a a.|a ba b5.向量数量积的运算律向量数量积的运算律(1)ab=ba.(交换律交换律)(2)(a)

3、b=(ab)=a(b).(数乘结合律数乘结合律)(3)(a+b)c=ac+bc.(分配律分配律)6.平面向量数量积的坐标表示平面向量数量积的坐标表示(1)若若a=(x1,y1),b=(x2,y2),则则ab=x1x2+y1y2.(2)若若a=(x1,y1),b=(x2,y2),是是a与与b的夹角的夹角,则则cos=121222221122.x xy yxyxy (3)若向量若向量a的起点坐标和终点坐标分别为的起点坐标和终点坐标分别为(x1,y1),(x2,y2),那那么么|a|= 这就是平面内两点间的距这就是平面内两点间的距离公式离公式.(4)设设a=(x1,y1),b=(x2,y2),则则a

4、bab=0 x1x2+y1y2=0.221212()() ,xxyy考点陪练考点陪练1.(2019北京北京)a,b为非零向量为非零向量,“ab是是“函数函数f(x)=(xa+b)(xb-a)为一次函数的为一次函数的( )A.充分而不必要条件充分而不必要条件B.必要而不充分条件必要而不充分条件C.充分必要条件充分必要条件D.既不充分也不必要条件既不充分也不必要条件解析解析:函数函数f(x)=x2ab-(a2-b2)x-ab,当函数当函数f(x)是一次函数时是一次函数时必然要求必然要求ab=0,即即ab,但当但当ab,|a|=|b|时时,函数函数f(x)不是不是一次函数一次函数,故选故选B.答案答

5、案:B2.(2019重庆重庆)已知向量已知向量a,b满足满足ab=0,|a|=1,|b|=2,那么那么|2a-b|=( )A.0B.C.4D.8解析解析:由于由于|2a-b|2=(2a-b)2=4a2+b2-4ab=4a2+b2=4+4=8,故故|2a-b|= ,选选B.答案答案:B2 22 2(2,1),5.(2011)xOy,ABC,k()A.1B.2C.3D.4(3, ),ABACk 福建福州质检 直角坐标系中若三角形是直角三角形 则 的可能值的个数是 2( 1,1),(1)06,(2)01,(3)0:kk30,0.ABACCBkAB ACkAB CBkAC CB 解析由得方程无解答案答

6、案:B类型一类型一数量积的性质及运算数量积的性质及运算解题准备解题准备:1.数量积的运算要注意数量积的运算要注意a=0时时,ab=0,但但ab=0时不时不能得到能得到a=0,或或b=0,因为因为ab时时,也有也有ab=0.2.若若a、b、c是实数是实数,则则ab=acb=c(a0);但对于向量但对于向量,就没就没有这样的性质有这样的性质,即若向量即若向量a b c满足满足ab=ac(a0),则不一则不一定有定有b=c,即等式两边不能同时约去一个向量即等式两边不能同时约去一个向量,但可以同时但可以同时乘以一个向量乘以一个向量. 11ABC,| 5,| 4,| 3_.,ABACBCAB BCBC

7、CACA AB 【典例 】 已知中则的值是2,()2|5.BCCAAB BCCA ABAB BCCAAB 解析由已知可得故原式答案答案-25 (2)设设a b c是任意的非零向量是任意的非零向量,且互不共线且互不共线.给出以下命给出以下命题题:(ab)c-(ca)b=0;|a|-|b|a-b|;(bc)a-(ca)b不与不与c垂直垂直;(3a+2b)(3a-2b)=9|a|2-4|b|2.其中是真命题的是其中是真命题的是_.解析解析对于只有当向量对于只有当向量b,c的方向相同时的方向相同时,二者才相等所以二者才相等所以错错;思索式对应的几何意义思索式对应的几何意义,由三角形两边之差小于第由三角

8、形两边之差小于第三边知正确三边知正确;由由(bc)a-(ca)bc=0知知(bc)a-(ca)b与与c垂垂直直,故错故错;向量的乘法运算符合多项式乘法法则向量的乘法运算符合多项式乘法法则,所以所以正确正确.所以正确命题的序号是所以正确命题的序号是.答案答案类型二类型二利用数量积解决长度、垂直问题利用数量积解决长度、垂直问题解题准备解题准备:常用的公式与结论有常用的公式与结论有:221122122212222;()2aaa aa|ab|ax,y ,a,.aba b0(a,b);ax ,y,bx ,y,abx xy y0.;.a aaabaaobbxy或若则其中两个公式应用广泛 需重点把握均为非零

9、向量设则【典例【典例2】知】知|a|=4,|b|=8,a与与b的夹角是的夹角是120.(1)计算计算|a+b|,|4a-2b|;(2)当当k为何值时为何值时,(a+2b)(ka-b)? 分析分析利用利用|a|= 及及abab=0即可解决问题即可解决问题.解解由已知由已知,ab=48 =-16.(1)|a+b|2=a2+2ab+b2=16+2(-16)+64=48,|a+b|= .|4a-2b|2=16a2-16ab+4b2=1616-16(-16)+464=3162.|4a-2b|= .a a1()24 316 3 (2)假设假设(a+2b)(ka-b),那么那么(a+2b)(ka-b)=0,

10、ka2+(2k-1)ab-2b2=0.16k-16(2k-1)-264=0,k=-7.类型三类型三利用数量积解决夹角问题利用数量积解决夹角问题解题准备解题准备:1.涉及到与夹角有关的问题涉及到与夹角有关的问题,往往利用向量的夹角往往利用向量的夹角公式解决公式解决,这也是平面向量数量积的一个重要考点这也是平面向量数量积的一个重要考点.1 1222222121212122.cosa,baa ,a,bb ,b,cosa;|b.,|a ba baba baabb设则3.在应用上述公式求夹角时在应用上述公式求夹角时,要考虑夹角的取值范围要考虑夹角的取值范围.【典例【典例3】已知】已知a b都是非零向量都

11、是非零向量,且且|a|=|b|=|a-b|.求求a与与a+b的夹角的夹角.分析分析由公式由公式cos= 可知可知,求两个向量的夹角求两个向量的夹角关键是求数量积及模的积关键是求数量积及模的积.本题中本题中|a|=|b|=|a-b|的充分利用的充分利用是求数量积的关键是求数量积的关键,考虑怎样对条件进行转化考虑怎样对条件进行转化.|aba b、 解解解法一解法一:由由|a|=|b|=|a-b|得得,|a|2=|b|2,|b|2=a2-2ab+b2,所所以以ab= a2.而而|a+b|2=|a|2+2ab+|b|2=2|a|2+2 |a|2=3|a|2,所以所以|a+b|= |a|.设设a与与a+

12、b的夹角为的夹角为,则则cos=由于由于0180,所以所以=30.121232221()32,|23 |aaa aba aba:(,),(,),|,| ,|1(2,).1122222222222222211221122121222121211ax ybx yababababa2a bbxyxyxyxy2x x2y yx xy yxy解法二 设由得所以即22112222111122221111|()()(),aab,3.1()()32cos0180 ,3,|0 .|23xyxyxyao aba abxyxy22212122222221122121211abxxyyxyxy2x x2y y3 xy

13、ab所以故设 与的夹角为则由于 所以 反思感悟反思感悟(1)求两个向量的夹角求两个向量的夹角,需求得需求得ab及及|a|,|b|或得出或得出它们的关系它们的关系,注意夹角的取值范围是注意夹角的取值范围是0,180.正确理解正确理解公式是关键公式是关键.(2)向量有两种表示形式向量有两种表示形式,即坐标法和几何法即坐标法和几何法,解题时要灵活选解题时要灵活选择择.本题通过比较两种方法发现本题通过比较两种方法发现,利用向量的几何形式解答利用向量的几何形式解答此类题目显得更加简捷和直观此类题目显得更加简捷和直观.错源一错源一利用点平移与向量平移设置陷阱利用点平移与向量平移设置陷阱【典例【典例1】已知

14、】已知A(3,7),B(5,2),将将 按向量按向量a=(1,2)平移平移后所得向量的坐标是后所得向量的坐标是()A.(1,7)B.(2,-5)C.(10,4)D.(3,-3)AB 错解错解因为因为A(3,7),B(5,2),所以所以 =(2,-5),将将x=2,y=-5及及h=1,k=2,代入平移公式代入平移公式,得得x=2+1=3,y=-5+2=-3,故故 按向量按向量a平移后所得向量坐标是平移后所得向量坐标是(3,-3),选选D.分析分析平移公式揭示的是点沿着向量平移前后坐标的变化关平移公式揭示的是点沿着向量平移前后坐标的变化关系系,它并不适合向量平移规律它并不适合向量平移规律.上述错误

15、是典型的乱用公式上述错误是典型的乱用公式.AB AB 正解正解因向量平移后仍与原向量相等因向量平移后仍与原向量相等.故故 故选故选B.答案答案B(2, 5),A BAB 错源二错源二利用平移前后的解析式设置陷阱利用平移前后的解析式设置陷阱【典例【典例2】将函数】将函数y=f(x)的图象按向量的图象按向量a平移平移,使图象上的点使图象上的点A的坐标由的坐标由(2,3)变为变为(3,5),则平移后图象的解析式为则平移后图象的解析式为()A.y=f(x-1)+2 B.y=f(x-1)-2C.y=f(x+1)+2D.y=f(x+1)-2A2,33,5 ,a32,531,2 ,y2f x11,2,D.x

16、xyy 错解因为点 的坐标由变为所以由平移公式得所以选分析分析上述错误是把点的平移与图象的平移混为一谈上述错误是把点的平移与图象的平移混为一谈. a32,531,2 ,P x,yyf x,P (x ,y ),yf x,y2f x1 ,x ,yx,y,y2f x1,1,21 ,A.,2,xxxxyyyy正解设为的图象上任意一点 平移后的对应点为由平移公式得则将它们代入中 得习惯上将上式中的写作即故选 答案答案A错源三错源三利用平移方向设置陷阱利用平移方向设置陷阱【典例【典例3】将】将y=2x-6的图象按向量的图象按向量a平移后平移后,得到得到y=2x的图象的图象,那么那么a=_.错解错解因为因为

17、y=2x-6=2(x-3),所以要得到所以要得到y=2x的图象的图象,只需将只需将y=2x-6的图象沿着的图象沿着x轴向左平移轴向左平移3个单位长度个单位长度,故故a=(-3,0);又又y=2x的图象可以看作将的图象可以看作将y=2x-6的图象沿着的图象沿着y轴向上平移轴向上平移6个单位长度得到的个单位长度得到的,故故a=(0,6),所以向量所以向量a=(-3,0)或或(0,6). 分析分析上述错误是对图象平移的定义没有弄清所致上述错误是对图象平移的定义没有弄清所致,根据图象根据图象平移的定义可知平移的定义可知,图象的平移就是将图象图象的平移就是将图象F上所有点按照同上所有点按照同一方向一方向

18、,移动同样长度移动同样长度,得到图象得到图象F.此处它只需按照同一方此处它只需按照同一方向向,而没有要求一定是水平或竖直的移动而没有要求一定是水平或竖直的移动. 正解正解设设a=(h,k),P(x,y)是函数是函数y=2x-6的图象上任意一点的图象上任意一点,它它在函数在函数y=2x的图象上的对应点为的图象上的对应点为P(x,y),由平移公式由平移公式 得得 将它们代入将它们代入y=2x-6中中,得得y-k=2(x-h)-6,即即y=2x-2h-6+k,所以平移后函数解析所以平移后函数解析式为式为y=2x-2h-6+k,因为因为y=2x-2h-6+k与与y=2x为同一函数为同一函数,所以所以-

19、2h-6+k=0,即即k=2h+6,因此因此,所求向量所求向量a=(h,2h+6)(hR).答案答案(h,2h+6)(hR),xxhyyk ,xxhyyk错源四错源四误用实数的运算律或运算法则而致错误用实数的运算律或运算法则而致错【典例【典例4】已知】已知a,b都是非零向量都是非零向量,且向量且向量a+3b与与7a-5b垂直垂直,向量向量a-4b与与7a-2b垂直垂直,求向量求向量a与与b的夹角的夹角.2222(3 ) (75 )0,(4 ) (72 )0,716150,73080,ababababaa bbaa bb错解由题意得即两式相减得两式相减得46ab-23b2=0,即即b(2a-b)

20、=0,所以所以b=0(舍去舍去)或或2a-b=0,由由2a-b=0知知a与与b同向同向,故向量故向量a与与b的夹角为的夹角为0. 分析分析本题误用实数的运算性质本题误用实数的运算性质,即实数即实数a,b若满足若满足ab=0则必则必有有a=0或或b=0,但对于向量但对于向量a,b若满足若满足ab=0,则不一定有则不一定有a=0或或b=0,因为由因为由ab=|a|b|cos知与知与有关有关,当当=90时时,ab=0恒成立恒成立,此时此时a,b均可以不为均可以不为0.正解正解由前知由前知b2=2ab,代入代入7a2+16ab-15b2=0得得a2=2ab,所以所以a2=b2=2ab,故故cos=则两

21、向量的夹角则两向量的夹角=60.221|12,| |2aa baba 评析评析向量的数量积与实数的积有着本质上的区别向量的数量积与实数的积有着本质上的区别,其主要表其主要表现为运算律或运算法则上的区别现为运算律或运算法则上的区别,因此解答向量的数量积因此解答向量的数量积时时,不要受到实数积形成的定势思维的影响不要受到实数积形成的定势思维的影响.技法一技法一方程思想方程思想7 117,2 22243434 3.,.,55555 52 212 212 2 1.,.1,1(),.333333abABCD【典例 】与向量的夹角相等 且模为 的向量是 或或22227 117,( , ),( , ),2 222| | 1,1.71172222144,5533,.5ex,B5y.x yx ya eb eexyxyxyxyxxyy 解析 设满足题意的向量则即解之得或故选答案答案B 方法与技巧方法与技巧本题考查的是单位向量问题本题考查的是单位向量