数学分析九到十五章习题课ppt课件

1、一、主要内容一、主要内容1 1、定积分的定义、定积分的定义的的取取法法均均无无关关。及及该该极极限限与与iT iiiiTbaxxfdxxf)()(lim )(10| 第九章第九章 定积分定积分 定积分是个数，与被积函数在有限个点处的定义无关；定积分是个数，与被积函数在有限个点处的定义无关；与积分变量记号的选择无关。与积分变量记号的选择无关。 badxxf)( badttf)( baduuf)(求出求出及特殊的点集及特殊的点集取特殊的分割取特殊的分割, )1(iT iiiTbaxfdxxf)(lim )(0| 殊殊点点。取取左左端端点点、右右端端点点或或特特等等分分，通通常常对对inba ,（2

2、） 利用牛顿利用牛顿-莱布尼兹公式。莱布尼兹公式。babaxFaFbFdxxf| )()()()(2 2、定积分的计算、定积分的计算在已知定积分存在的前提下，可用下面两种方在已知定积分存在的前提下，可用下面两种方法求出其值：法求出其值：3 3、定积分的几何意义、定积分的几何意义面积的代数和。面积的代数和。4 4、定积分的性质、定积分的性质线性、线性、 关于积分区间的可加性、关于积分区间的可加性、估值不等式、估值不等式、积分第一、第二中值定理。积分第一、第二中值定理。5 5、定积分与不定积分的联系、定积分与不定积分的联系（1 1变上限积分的导数公式；变上限积分的导数公式；保号性、保号性、),()

3、(xfdttfdxdxa )()()()(xaxafxbxbf )()()(xbxadttfdxd（2 2牛牛- -莱公式。莱公式。（3 3可积函数不一定有原函数，有原函数的函数可积函数不一定有原函数，有原函数的函数不一定可积。不一定可积。因为因为“含有第一类间断点的函数都没有原函数，含有第一类间断点的函数都没有原函数，而而“含有有限个第一类间断点的函数都可积。含有有限个第一类间断点的函数都可积。所以可积函数不一定有原函数。 0 , 01 , 10 ,1sin)(22xxxxxxf且且 0 , 01 , 10 ,1cos21sin2)(22xxxxxxxxf且且无界，从而不可积，无界，从而不可

4、积，在在11)( xf),(11)(xfxf的原函数是的原函数是，在在但但 即说明有原函数的函数不一定可积。6 6、可积条件、可积条件必要条件必要条件 若函数若函数f在在a,b上可积，则上可积，则f在在a,b上必定有界。上必定有界。 充要条件充要条件1） 函数函数f在在a,b可积当且仅当：可积当且仅当： ，使，使分割分割T , 0 . Tiix, 0T分分割割、 使得属于使得属于T的所有小区间中，的所有小区间中， 充要条件充要条件2） 函数函数f在在a,b可积当且仅当：可积当且仅当： 对应于振幅对应于振幅 的那些小区间的那些小区间 的总长的总长. kkx kk 7 7、可积函数类、可积函数类1

5、、在、在a,b上连续的函数在上连续的函数在a,b可积。可积。2、在、在a,b上只有有限个间断点的有界函数在上只有有限个间断点的有界函数在 a,b上可积。上可积。 3、在、在 a,b上单调的有界函数在上单调的有界函数在a,b上可积。上可积。 （允许有无限多个间断点）（允许有无限多个间断点） 但并非可积函数只有这但并非可积函数只有这3类。如：黎曼函数类。如：黎曼函数不属于这不属于这3类的任何一类，但它是可积的。类的任何一类，但它是可积的。 在a,b上函数的间断点形成收敛的数列，则函数在a,b可积。8 8、利用不定积分计算定积分、利用不定积分计算定积分（1 1线性；线性；恒等变形；恒等变形； 换元；

6、换元； 分部积分；分部积分；一些特殊类型函数的积分。一些特殊类型函数的积分。（2 2与不定积分法的差别与不定积分法的差别 （3 3利用对称性、周期性及几何意义。利用对称性、周期性及几何意义。牛牛- -莱公式莱公式 积分限的确定，换元要换积分限，原函数积分限的确定，换元要换积分限，原函数求出后不需回代。求出后不需回代。（4） 开偶次方时，要带绝对值。开偶次方时，要带绝对值。9 9、杂记、杂记（1定积分可用于计算某类特殊数列的极限。定积分可用于计算某类特殊数列的极限。（2） 对对D(x)和和R(x) 的可积问题多一些关注。的可积问题多一些关注。例例1 1解解.2sin120 dxx求求 2022c

7、ossin2cossin dxxxxx原原式式 2440)cos(sin)sin(cosdxxxdxxx. 222 二、典型例题二、典型例题 20cossin dxxx例例2设设)(xf 在在 1 , 0上上连连续续，且且1)0( f，3)2( f，5)2( f，求求 10)2(dxxfx.解解 10)2(dxxfx 10)2(21xfxd 1010)2(21)2(21dxxfxfx 10)2(41)2(21xff )0()2(4125ff . 2 例例3 3.,1min222 dxxx求求解解 1,11,1min22xxxxxx是偶函数是偶函数,dxxx,1min2220 原原式式 2110

8、2122dxxdxx. 2ln232 例例4)1(21(lim32232232nnnnnnnn 求求解解)1)1()12()11(1lim22222 nnnnnn原原式式)1)(1lim21 ninnin.32)1(102 dxx 该极限可以看作函数该极限可以看作函数f(x)=x2-1在在0，1区间作区间作n等分且取右端点时的黎曼和的极限，等分且取右端点时的黎曼和的极限， 由于由于f(x)=x2-1在在0，1连续，从而可积，故上述连续，从而可积，故上述极限等于极限等于例例5证证01lim 10 dxxxnn证证明明连连续续，它它们们在在10,)(,11)(nxxgxxf 第第一一中中值值定定理

9、理，不不变变号号，由由推推广广的的积积分分，在在10)(xgdxxdxxxnn 1010n111I ,1111n , 10 ,110nIn . 0lim nnI故故证毕。证毕。证证, 1)(2)(0 dttfxxFx)(2)(xfxF 又又)(xF在在1 , 0上上单单调调增增加加，,)(1 ,0CxF 10)(1)1(dttfF 10)(1dttf, 0 所以所以0)( xF在在1 , 0上至少有一个解；上至少有一个解；令令,01)0( F且且, 0 所以所以0)( xF在在1 , 0上至多有一个解；上至多有一个解；所所以以0)( xF即即原原方方程程在在 1 , 0上上恰恰有有一一个个解解

10、.证证毕毕P229.4(9)P229.4(9).|ln| 1 eedxx求求解解 原原式式 eexdxxdx11lnln1 eeeedxxxxxdxxxxx11111|ln1|ln11.22e 1 1、微元法的理论依据、微元法的理论依据.)1()2()(,)()(,)()1()()(,)(定定积积分分的的微微分分的的分分就就是是这这表表明明连连续续函函数数的的定定积积于于是是即即的的一一个个原原函函数数是是则则它它的的变变上上限限积积分分上上连连续续在在设设UdUdxxfdxxfxdUxfdttfxUbaxfbabaxa 第第10章章是是非非常常困困难难的的。通通常常要要验验证证)()( xo

11、xxfU 一一般般来来说说不不是是唯唯一一的的。中中的的且且)()()( xfxoxxfU 也也不不是是唯唯一一的的。中中的的所所以以)( )( xfdxxfUba 5 5、定积分应用的常用公式、定积分应用的常用公式(1) 平面图形的面积平面图形的面积xyo)(xfy badxxfA| )(|xyo)(1xfy )(2xfy badxxfxfA)()(12AA直角坐标情形直角坐标情形abab上曲线减下曲线对上曲线减下曲线对x积分。积分。yxOcdAx=f(y)（图（图5）x=g(y) dcdyygyfA)()(右曲线减左曲线对右曲线减左曲线对y积分。积分。一般解题步骤：一般解题步骤：（1画草图

12、，定结构；画草图，定结构；（2解必要的交点，定积分限；解必要的交点，定积分限；（3选择适当公式，求出面积定积分）。选择适当公式，求出面积定积分）。注意：答案永远为正。注意：答案永远为正。如果曲边梯形的曲边为参数方程如果曲边梯形的曲边为参数方程 )()(tytx 曲边梯形的面积曲边梯形的面积 21)()(ttdtttA （其其中中1t和和2t对对应应曲曲线线起起点点与与终终点点的的参参数数值值）在在1t,2t（或或2t,1t）上上)(tx 具具有有连连续续导导数数，)(ty 连连续续.参数方程所表示的函数参数方程所表示的函数 dA2)(21xo d )( r xo)(2 r)(1 r dA)()

13、(212122极坐标情形极坐标情形(2) 体积体积xdxx xyodxxfVbax2)( dyyVdcy2)( xyo)(yx cddxxxfVbay)(2 dyyyVdcx)(2 xo badxxAV)(xdxx ab平行截面面积为已知的立体的体积平行截面面积为已知的立体的体积)(xA.sin)(320 ),(03 drVrr 所所成成立立体体的的体体积积为为：绕绕极极轴轴旋旋转转由由)( rr ） ） (3) 平面曲线的弧长平面曲线的弧长xoyabxdxx dy弧长弧长dxysba 21A曲线弧为曲线弧为 )()(tytx )( t其其中中)(),(tt 在在, 上上具具有有连连续续导导数

14、数弧长弧长dttts )()(22)(xfy B曲线弧为曲线弧为22dydxds C曲线弧为曲线弧为)( )( rr 弧长弧长 drrs )()(22(4) 旋转体的侧面积旋转体的侧面积xdxx xyo)(xfy bxaxfy , 0)( badxxfxfS)(1)(22侧侧ydsdS 2 二、典型例题二、典型例题例例1 1.3;2;1)cos1()sin(000及及表表面面积积旋旋转转而而成成的的旋旋转转体体体体积积轴轴轴轴所所围围图图形形绕绕它它的的一一拱拱与与它它的的一一拱拱的的弧弧长长轴轴所所围围成成的的面面积积它它的的一一拱拱与与求求摆摆线线已已知知xxxtayttax a 2a )

15、(xy解解.10A设面积为设面积为 aydxA 20 20)cos1()cos1(dttata.32a .20L设设弧弧长长为为 2022)()(dtyxL.8a 2022sin)cos1(dttata.,30VS 体体积积为为设设旋旋转转体体的的表表面面积积为为 aydsS 202 2022sin)cos1()cos1(2dttatata.3642a dxyVax220 2022)sin()cos1(ttadta.532a 例例2所围图形的面积。所围图形的面积。求求0,22 yxyyx 3 , 03, 0022yxyxyyx解解.29)()2(302 dyyyyA例例 2 2 求求以以半半径

16、径为为R的的圆圆为为底底、平平行行且且等等于于底底圆圆直直径径的的线线段段为为顶顶、高高为为h的的正正劈劈锥锥体体的的体体积积. 解解取坐标系如图取坐标系如图底圆方程为底圆方程为,222Ryx xyoRx垂垂直直于于x轴轴的的截截面面为为等等腰腰三三角角形形截面面积截面面积22)(xRhyhxA 立体体积立体体积dxxRhVRR 22.212hR 例例 3 3 证证明明正正弦弦线线xaysin )20( x的的弧弧长长等等于于椭椭圆圆 taytxsin1cos2 )20( t的的周周长长. 证证设设正正弦弦线线的的弧弧长长为为1s dxys 20211dxxa 2022cos1设设椭椭圆圆的的

17、周周长长为为2s,cos12022dxxa ,20222dtyxs 根据椭圆的对称性知根据椭圆的对称性知 dttats 02222cos1sin2dxxa 022cos12,1s 故原结论成立故原结论成立.dtta 022cos12第第11章章一、两类反常积分的概念一、两类反常积分的概念 adxxf)( uaudxxf)(lim badxxf)( buaudxxf)(lim badxxf )(lim0 dxxf)( adxxf)( adxxf)(当当 adxxf)(和和 adxxf)(都都收收敛敛时时， a为任意常数为任意常数,就就称称 dxxf)(收敛收敛； 如果如果a,b都是瑕点，则定义都

18、是瑕点，则定义 badxxf)( cadxxf)( bcdxxf)(， c为为(a,b)内任一实数。内任一实数。当且仅当右端两个积分都收敛时，才称左端瑕积分收敛。当且仅当右端两个积分都收敛时，才称左端瑕积分收敛。二、计算方法二、计算方法求正常积分求正常积分+求极限；求极限；)0( axdxap 时时，发发散散当当时时，收收敛敛；当当11pp bapaxdx)( 时时，发发散散当当时时，收收敛敛；当当110pp三、两类反常积分的判敛方法三、两类反常积分的判敛方法1、Cauchy准则准则 收收敛敛 )(adxxf有有, 021GuuaG .)(21 uudxxf有有),(, 0, 021 aauu

19、.)(21 uudxxf 是是瑕瑕点点）收收敛敛（adxxfba )(2、比较法则、比较法则 baadxxfdxxf的的敛敛散散性性，和和用用于于判判别别| )(| )(|通常取通常取p-积分为比较对象，且常用极限形式。积分为比较对象，且常用极限形式。3、Dirichelet判别法和判别法和Abel判别法判别法 用于判别两个函数相乘时的反常积分的敛散性。用于判别两个函数相乘时的反常积分的敛散性。:)0(cos sin adxxxdxxxapap的敛散性的敛散性和和时，发散。时，发散。时，条件收敛；时，条件收敛；时，绝对收敛；时，绝对收敛；0101 ppp四、绝对收敛与条件收敛四、绝对收敛与条件

20、收敛定积分：定积分：可积，可积，在在可积可积在在,|,bafbaf无穷积分：无穷积分：. )( | )(|收收敛敛收收敛敛 aadxxfdxxf瑕积分：瑕积分：. )( | )(|收收敛敛收收敛敛 babadxxfdxxf可可积积，在在可可积积在在,|,2bafbaf. )( | )(|2收敛收敛收敛收敛 aadxxfdxxf. | )(| )(2收敛收敛收敛收敛 babadxxfdxxf. )( )(2收收敛敛收收敛敛 aadxxfdxxf例例1 证明：证明：a是瑕点时是瑕点时. | )(| )(2收敛收敛收敛收敛 babadxxfdxxf证：证：, 01| )(|2)(1| )(|22 x

21、fxfxf)(121| )(| 2xfxf . | )(| )(2收敛收敛收敛收敛故：故： babadxxfdxxf反之不然。反之不然。发发散散。收收敛敛，但但dxxdxxdxx 10210101)1(|1|反例：反例：. )( )(2收收敛敛收收敛敛 aadxxfdxxf举例说明举例说明解：解：收收敛敛，）（dxxx 1sin 1dxxxdxxx 1212sinsin ）（但但dxxx 122cos1发散！发散！收敛，收敛，）（dxx 121 2发发散散，但但dxx 11 例例2 判断下列反常积分的敛散性，若收敛，判断下列反常积分的敛散性，若收敛，指出是绝对收敛还是条件收敛。指出是绝对收敛还

22、是条件收敛。 0 1dxxex、收敛，且绝对收敛。收敛，且绝对收敛。 , 0lim2xxxex. 1于于若若按按定定义义，可可求求得得收收敛敛 102 2xxdx、收收敛敛，且且绝绝对对收收敛敛。 , 11lim20 xxxx 0)1(sin 3xxdxx、,1)1(1|)1(sin| 2/3xxxxxx 故绝对收敛。故绝对收敛。 2ln)1( 4xxdx、发散（按定义），发散（按定义），而而xxxxxxln1,ln1ln)1(12 故原积分发散。故原积分发散。 注意注意x=0不是瑕点。不是瑕点。 )0( sin 60 pdxxxp、解解 1 ,10 , 01p 1,coslim sinlim

23、100pppxxxxpxpx不不是是瑕瑕点点，是是时时，故故当当010 xp是是瑕瑕点点。是是时时，当当01 xp时时，）当当（101 p同同敛敛态态，与与dxxxdxxxpp 10sin sin从而条件收敛。从而条件收敛。仅为无穷积分，仅为无穷积分，时时，）当当（12 pdxxxdxxxdxxxppp 1100sin sin sin21II ,2I对对ppxxx1|sin| 绝对收敛；绝对收敛；故故2I,1I对对, 1sinlim10 ppxxxx发发散散；时时，即即故故当当12, 11Ipp 绝绝对对收收敛敛；时时，即即当当121, 11Ipp 综上，综上，时时，条条件件收收敛敛；10 p

24、时，绝对收敛；时，绝对收敛；21 p时，发散。时，发散。2 pP276.5(4)dxxxxdxxxxdxxxxeeeeee lnsin)ln(lnlnsin)ln(lnlnsin)ln(ln0lnlnlnlim , 2|sin|洛洛必必达达 xxxdxxuee, 0)(ln)lnln1(1)lnlnln(2eexxxxxx 当当,lnlnlneexxx 单单调调递递减减，当当由由Dirichelet判别法，原积分收敛。判别法，原积分收敛。第第12章章 数项级数数项级数正项级数正项级数交错级数交错级数一般项级数一般项级数 nnnuuuuu3211nns lim存在存在. . niinnuuuus

25、121收敛收敛 1nnu有有, 0, 0 pNmN .|21 pmmmuuu收收敛敛正正项项级级数数 1nnu有有界界。ns 发散发散时时当当收敛于收敛于时时当当,11,1 0qqaqaqnn 发散发散时时当当收敛收敛时时当当,1,1 11ppnnp 时时，发发散散当当条条件件收收敛敛时时当当绝绝对对收收敛敛时时当当0,10,1 1)1(1pppnnpn 11cos , sinnpnpnnxnnx时，绝对收敛；时，绝对收敛；当当1 p,0时，发散时，发散 p.,10条条件件收收敛敛时时，收收敛敛当当 p相同。相同。敛散性与敛散性与dxnnxp 1sin收敛级数的基本性质：收敛级数的基本性质：.

26、 0lim . 11 nnnnuu 收收敛敛.0lim 1发发散散 nnnnuu,)(, . 2 dcsdvcuvsunnnn 3. 级数的敛散性与级数的有限项无关，但收敛的级数的敛散性与级数的有限项无关，但收敛的和一般会有影响。和一般会有影响。4 . 收敛级数加括号后仍收敛，且和不变即有结收敛级数加括号后仍收敛，且和不变即有结合律）；合律）；5. 绝对收敛级数的任意重排级数仍绝对收敛，且绝对收敛级数的任意重排级数仍绝对收敛，且和不变即有交换律）。和不变即有交换律）。6. 6. 收敛级数与发散级数的和必为发散级数。收敛级数与发散级数的和必为发散级数。正项级数审敛法正项级数审敛法1、比较法、比较

27、法un为有理表达式时）；为有理表达式时）；2、比式法、比式法un含含n!时）；时）；3、根式法、根式法un含含n次方时）；次方时）；4、积分法（、积分法（ ）；）；敛散性易判别时敛散性易判别时当当 adxxf)(5、拉贝法（、拉贝法（ ）；）；时时当当1lim1 nnnuu )1()1(111nnnnnnuu 或或莱莱布布尼尼茨茨定定理理 如如果果交交错错级级数数满满足足条条件件: :( () ), 3 , 2 , 1(1 nuunn; ;( () )0lim nnu, ,则则级级数数收收敛敛, ,且且其其和和1us , ,其其余余 项项nr的的绝绝对对值值1 nnur. .)0( nu其其中

28、中交错级数审敛法交错级数审敛法这是这是Dirichelet判别法的特殊情形。判别法的特殊情形。一般项级数审敛法一般项级数审敛法1、Abel判别法，判别法，2、Dirichelet判别法。判别法。敛。敛。则，再考虑是否条件收则，再考虑是否条件收收敛则为绝对收敛，否收敛则为绝对收敛，否敛），敛），的敛散性（正项级数判的敛散性（正项级数判一般先考虑一般先考虑 | nu 用比值或根值判别法判定的非绝对收用比值或根值判别法判定的非绝对收敛级数一定发散。敛级数一定发散。, , . 2BvAunn绝绝对对收收敛敛于于绝绝对对收收敛敛于于若若 则它们的乘积按任意顺序所得的级数也绝对则它们的乘积按任意顺序所得的

29、级数也绝对收敛于收敛于AB. . 111svsunnnn也也绝绝对对收收敛敛于于，则则其其重重排排级级数数绝绝对对收收敛敛于于设设 绝对收敛级数的性质绝对收敛级数的性质 条件收敛的级数，可以适当重排，使其按任意预条件收敛的级数，可以适当重排，使其按任意预定的方式收敛或发散。定的方式收敛或发散。发发收收;)1()1(:11 nnnnnnn判断级数敛散性判断级数敛散性例例1 1解解nnnnnnnnu)1(1 ,)11(21nnnn nnnnnnn122)11(lim)11(lim2 ; 10 e, 1lim1 nnn, 01lim nnu原级数发散原级数发散;23cos)2(12 nnnn解解,2

30、23cos2nnnnnnu ,2nnnv 令令nnvvnnnnnn221limlim11 nnn21lim , 121 ,21收敛收敛 nnn根据比较判别法，根据比较判别法，原级数收敛原级数收敛 1).0()1()2ln()3(nnanan解解nanunnnnn1)2ln(limlim , )2ln(lim1nnna , 1)2ln(lim nnn.1limaunnn ,1101时时即即当当 aa原级数收敛；原级数收敛；,1110时时即即当当 aa原级数发散；原级数发散；,1时时当当 a,)11()2ln(1 nnnn原级数为原级数为,)11()2ln(lim nnnn原级数发散原级数发散 1

31、2)1(4)4(nnn解解,252)1(4nnnnu 收敛。收敛。nnnuu1lim 或或nnnnn)1(422)1(4lim11 , 165 收敛。收敛。 1102)1(2)1( )2(nnnnn解解 |1nnuunnnn22)1(10110 10)1(21nn .21绝对收敛。绝对收敛。.2)!2(lim2nnn 求求例例2解解 22)!2( nn考察：考察： nnuu1222)!2(2)!22()1(nnnn 122)22)(12( nnn, 0收敛，收敛， 2)!2( 2nn. 02)!2(lim2 nnn从而从而第第13章章,| )()(|, 0 )1( xfxfIxNnNn都都有有

32、若若等价于下列等价于下列3条之一：条之一：. 0| )()(|suplim )3( xfxfnIxn好用！好用！.| )()(|, 0 )2( xfxfIxNnmNmn都都有有一致收敛。一致收敛。但在但在不一致收敛，不一致收敛，在在)1(, )1 , 1( aaaxn典型例题：典型例题：)( )(xfxfnI)( )(xfxfnI的常用判定法：的常用判定法：. 0| )()(|suplim )1( xfxfnIxn,| )()(|, 0 )2(000000 xfxfIxNnNn有有上上不不连连续续。在在上上连连续续，但但在在IxfIxfnn)()(, )3( ).()(1xsxukk一致收敛于

33、一致收敛于 ,),( )( )1(Dxx sxsn 有有, 0, 0 )2(DxpNmN .| )()()(|21 xuxuxupmmm. 0| )()(|suplim )3( xsxsnDxn等价于下列等价于下列3条之一：条之一：典型例题：典型例题：一致收敛。一致收敛。但在但在不一致收敛，不一致收敛，在在)1(, )1 , 1( aaaxn一一致致收收敛敛的的判判别别法法： 1)(kkxu（1优级数判别法优级数判别法（2Abel判别法判别法（3Dirichelet判别法判别法)()(1xsxukk不不一一致致收收敛敛于于 的常用判定法：的常用判定法：, 0 )( 1xun）（D, )( )(

34、 2xsxsn）（D上上不不连连续续。在在上上连连续续，但但在在IxsIxunn)( )(, )3( 一致收敛函数列的性质：一致收敛函数列的性质：)(limlim)(limlim00 xfxfnxxnnnxx 则则（1）上上也也连连续续，且且也也在在则则其其极极限限函函数数Ixf)( （2）连续，连续，在在且且Ixfnn)(, )( )(xfxfnI)( )(xfxfnI（3）.)(lim)(limdxxfdxxfnbannnba 收收敛敛，在在0)(xxfn连续，且连续，且在在Ixfnn)(, 上上一一致致收收敛敛，则则在在Ixfn)( ).(lim) )(lim( xfxfnnnn 一致收

35、敛函数项级数的性质一致收敛函数项级数的性质则则上上一一致致收收敛敛在在,)(1Dxunn (1)(2), 0 )(xunD,)(1一致收敛一致收敛在在baxunn 连续，连续，在在且且,)(,baxunn 且且连连续续在在则则,)()(1baxuxsnn .)()( babanndxxudxxu（3）收敛，收敛，在在0 )(xxun 连续，且连续，且在在 )(,Ixunn 上上一一致致收收敛敛，则则在在Ixun )(. )() )( xfxfnn例例1是是否否一一致致收收敛敛？，在在)1(,0 12 aaxnnnn解解nnannxnn22 | 收敛收敛而而 2nann)1lim(1 auunn

36、n由优级数判别法，原级数一致收敛。由优级数判别法，原级数一致收敛。例例2解解不不一一致致收收敛敛。在在发发散散，证证明明：左左连连续续，在在),()(, 0)()(,ccxucucxxunnnn 使使若若, 0 ,),()(一一致致收收敛敛在在ccxun 有有则则),(, 0, 0 ccxpNnN .| )()()(|21 xuxuxupnnn的极限，的极限，上式两边取上式两边取 cx的的左左连连续续性性，有有在在则则由由cxxun )(.| )()()(|21 cucucupnnn收收敛敛，故故 )(cun矛盾！矛盾！解解,)(nnxxs 且且得和函数：得和函数：因为该级数每一项都在因为该级

37、数每一项都在0,1是连续的，是连续的， . 1, 1, 10, 0)(lim)(xxxsxsnn.1)(处间断处间断在在和函数和函数 xxs例例3 3 考察函数项级数考察函数项级数 )()()(1232nnxxxxxxx的一致收敛性的一致收敛性故不一致收敛。故不一致收敛。第第14章章一、幂级数及其收敛半径、收敛区间、收敛域一、幂级数及其收敛半径、收敛区间、收敛域形形如如nnnxxa)(00 的的级级数数称称为为幂幂级级数数. ,00时时当当 xnnnxa 0定理定理 1 (1 (AbelAbel 定理定理) ) 说明幂级数存在收敛半径。说明幂级数存在收敛半径。收敛半径的求法：收敛半径的求法：

38、（1根式法，根式法，（2比式法，比式法，定定理理 2 2 如如果果幂幂级级数数 0nnnxa的的所所有有系系数数0 na,设设 nnnaa1lim (或或 nnnalim)(1) 则则当当0 时时, 1R;(3) 当当 时时,0 R.(2) 当当0 时时, R;这个方法不适合求缺项级数的收敛半径。这个方法不适合求缺项级数的收敛半径。 幂级数在收敛区间端点的收敛情况，转化成数幂级数在收敛区间端点的收敛情况，转化成数项级数的判敛问题。项级数的判敛问题。二、幂级数的性质二、幂级数的性质（1在收敛区间内闭一致收敛，在收敛区间内闭一致收敛，（2和函数在收敛区间连续，和函数在收敛区间连续，（3在收敛区间可

39、以逐项求导、逐项求积，在收敛区间可以逐项求导、逐项求积，且所得幂级数收敛半径不变。且所得幂级数收敛半径不变。三、幂级数的求和三、幂级数的求和通常采用逐项求导、逐项求积，并利用一些已知通常采用逐项求导、逐项求积，并利用一些已知级数的和函数。级数的和函数。. 1| ,11 0 xxxnn常常用用注意这个级数的各种变异。注意这个级数的各种变异。记住下列幂级数的和函数：;11)1(0 xxnn ;11)1()4(202xxnnn ;1)3(202xaaxnn ;11)()2(0 xxnn . 1| x四、函数展开成幂级数四、函数展开成幂级数 如果如果)(xf在点在点0 x处任意阶可导处任意阶可导, ,

40、则幂级数则幂级数nnnxxnxf)(!)(000)( 称为称为)(xf在点在点0 x的的泰勒级数泰勒级数. . 如果如果f(x) 能展成幂级数，则这个幂级数是唯一的，能展成幂级数，则这个幂级数是唯一的，就是就是f(x)的泰勒级数。的泰勒级数。 0)(lim xRnn. . 如如果果)(xf在在点点0 x处处任任意意阶阶可可导导, ,则则 f( (x) )nnnxxnxf)(!)(000)( . . f( (x) )= =nnnxxnxf)(!)(000)( 1.1.直接法直接法( (泰勒级数法泰勒级数法) )步骤步骤:不不能能展展成成幂幂级级数数；不不存存在在，说说明明，若若求求)()(!)(

41、)1(0)(0)(xfxfnxfaknn ).()(0)(limxfIxfxRn内内收收敛敛于于区区间间的的泰泰勒勒级级数数在在收收敛敛，则则若若 ,0)(lim(2)IxRnn的的范范围围考考察察 2.2.间接法间接法根据唯一性根据唯一性, 利用常见展开式利用常见展开式, 通过变量代换通过变量代换, 四则运算四则运算, 恒等变形恒等变形, 逐项求导逐项求导, 逐项积分等方逐项积分等方法法,求展开式求展开式.记住几个特殊函数的展开式：记住几个特殊函数的展开式：),1ln( ,11 ,11 ,cos ,sin ,xxxxxex 注意收敛范围。注意收敛范围。欧拉公式：欧拉公式：,sincosxix

42、eix ,2cosititeet ,2sinieetitit 01 ie本章讨论了下面三类问题：本章讨论了下面三类问题：1、幂级数的收敛半径、收敛区间和收敛域。、幂级数的收敛半径、收敛区间和收敛域。2、幂级数的一致收敛性，及和函数的性质。、幂级数的一致收敛性，及和函数的性质。3、函数展开成幂级数的条件及方法。、函数展开成幂级数的条件及方法。例例1 nxn)131211()1211111(lim1211111211limnnnnnnn , 1, 1 R从而从而 ，级级数数发发散散，时时，级级数数一一般般项项不不趋趋于于 01 x）。）。，收敛域为（收敛域为（11 解解,11121111 nnn,

43、 0121111lim nnn例例2. nnx222|lim|2|lim2nnnnnnxxA 级数收敛。级数收敛。当当, 10, 1| Ax, 121, 1|级数收敛级数收敛当当 Ax, 1|级级数数发发散散当当 Ax.11 ，收收敛敛域域为为 解解处展开成泰勒级数处展开成泰勒级数在在将将11)( xxxf例例3解解.)1()1()1(1110 nnnxxxdxxxx 0sin例例4 02)!12()1(sinnnnnxxx),( ,)!12)(12()1(sin0120 xnnxdxxxnnnx解解 0)12()(nnxnxs设设 002nnnnxnx,22110 nnnnnxxnx,)(1

44、1 nnnxxA设设dxxndxxAnxnx 1010)( 1nnx,1xx 1| x xxxA1)(,)1(12x ,)1(2220 xxnxnn 1|,110 xxxnn 0)12()(nnxnxs 2)1(2xxx 111|.)1(12 xxx.1lnarctan)(2克劳林级数克劳林级数展开成麦展开成麦将将xxxxf 例例5 5解解,32)1ln(32 xxxx,)1(32)1ln(216422 nxxxxxnn)11( x xdxxx0211arctan又又 xnndxxxxx02642)1(1 12)1(75312753nxxxxxnn)11( x 1210222)1(2112)1

45、(1lnarctannnnnnnnxnxxxx故故 02202222)1(12)1(nnnnnnnxnx.)22)(12()1(022 nnnnnx)11( x第十五章第十五章傅里叶级数的理论基础：傅里叶级数的理论基础：,sin,cos,2sin,2cos,sin,cos, 1nxnxxxxx三角函数系的正交性三角函数系的正交性（1它们的最小公共周期为它们的最小公共周期为,2 （2任何两个不同的函数相乘在任何两个不同的函数相乘在 上积上积分为分为0，, （3任何一个函数的平方在任何一个函数的平方在 上积分不上积分不为为0，, 本章重点研究函数展成三角级数的方法。本章重点研究函数展成三角级数的方

46、法。 如果如果f(x)能展成一致收敛的三角级数，则这个三角能展成一致收敛的三角级数，则这个三角级数必是级数必是f(x) 的傅里叶级数。的傅里叶级数。 ), 2 , 1(,sin)(1), 2 , 1 , 0(,cos)(1nnxdxxfbnnxdxxfann f(x)的傅里叶系数的傅里叶系数f(x)的傅里叶级数的傅里叶级数 10)sincos(2nnnnxbnxaa), 2 , 1 , 0(,cos)(1 ndxlxnxflalln), 2 , 1(,sin)(1 ndxlxnxflblln)sincos(210lxnblxnaannn f(x)的傅里叶系数的傅里叶系数f(x)的傅里叶级数的傅里叶级数收敛定理收敛定理设设)(xf是是以以 2为为周周期期的的周周期期函函数数. .如如果果 f f( (x x) )在在, 按按段段光光滑滑, ,则则)(xf的的傅傅里里叶叶级级数数收收敛敛，且且 2)0()0( xfxf= = 10)sincos(2 nnnnxbnxaa1、，且且则则它它的的傅傅里里叶叶级级数数收收敛敛按按段段光光滑滑在在且且的的周周期期函函数数设设周周期期为为,)(),(2llxfxfl ),sincos(22)0()0(10lxnblxnaax