结构力学第九章

1、2021/3/2319-1 9-1 矩阵位移法基本概念矩阵位移法基本概念9-2 9-2 单元劲度矩阵单元劲度矩阵9-3 9-3 可动结点劲度矩阵可动结点劲度矩阵9-4 9-4 可动结点等效荷载列阵可动结点等效荷载列阵9-5 9-5 单元杆端力和支座反力单元杆端力和支座反力9-6 9-6 例题例题9-7 9-7 平面刚架计算程序平面刚架计算程序第九章第九章 矩阵位移法矩阵位移法 9 91 1 矩阵位移法的基本概念矩阵位移法的基本概念一、坐标系和符号规定一、坐标系和符号规定图示连续梁图示连续梁:1.整体坐标系整体坐标系 xyz2.结点位移、结点力等量值沿结点位移、结点力等量值沿坐标轴正向为正坐标轴

2、正向为正,反之为负。反之为负。位移法求解基本系位移法求解基本系:二、数字编号二、数字编号1.结点编号结点编号2.单元编号单元编号3.结点位移编号结点位移编号三、结点位移列阵三、结点位移列阵四、可动结点平衡矩阵方程四、可动结点平衡矩阵方程位移法典型方程位移法典型方程写成矩阵形式写成矩阵形式可动结点平衡方程可动结点平衡方程:可动结点劲度矩阵可动结点劲度矩阵可动结点等效荷载列阵可动结点等效荷载列阵（一）（一） 的建立的建立1.1.回顾位移法中计算回顾位移法中计算Kij的过程的过程作单位弯矩图作单位弯矩图: :K1M中结点中结点B: 结点结点C:中结点中结点B: 结点结点C2M2.2.将上述过程用矩阵

3、表示将上述过程用矩阵表示（1）局部坐标系）局部坐标系; 单元杆端位移、杆端内力等量单元杆端位移、杆端内力等量值以局部坐标系正向为正值以局部坐标系正向为正,反之反之为负。为负。（2） 单元杆端可能的杆端位移和杆端力单元杆端可能的杆端位移和杆端力;（3）单元位移引起的杆端内力）单元位移引起的杆端内力;（5） 结点平衡结点平衡: 可动结点劲度矩阵由相交于结点的各单元劲可动结点劲度矩阵由相交于结点的各单元劲度矩阵相应元素叠加求得。度矩阵相应元素叠加求得。（二）（二） 的建立的建立: :1.回顾位移法中求解回顾位移法中求解FR1P 的过程的过程: 作荷载弯矩图作荷载弯矩图:结点平衡结点平衡结点结点B:结

4、点结点CF2.将上述过程用矩阵表示将上述过程用矩阵表示:（1） 荷载引起的单元固端力荷载引起的单元固端力:单元单元1单元单元2单元单元3FLi:单元固端力列阵。单元固端力列阵。(2)结点平衡结点平衡: 结点结点B:结点结点C:结论结论:作用在单元上的荷载引起的等效荷载作用在单元上的荷载引起的等效荷载:由相交于结点的各单元固端由相交于结点的各单元固端力列阵相应元素反号叠加求得。力列阵相应元素反号叠加求得。五、解方程五、解方程: : 六、单元杆端力的计算六、单元杆端力的计算: : 位移法法中有叠加公式位移法法中有叠加公式: :对杆端力写成矩阵形式对杆端力写成矩阵形式: 局部坐标系中单元杆端内力列阵

5、。局部坐标系中单元杆端内力列阵。 局部坐标系中单元杆端位移列阵。局部坐标系中单元杆端位移列阵。miFmi由杆端内力画弯矩图、剪力图由杆端内力画弯矩图、剪力图:七、支座反力的计算七、支座反力的计算: :由内力图由内力图:考虑支座结点平衡考虑支座结点平衡:结点结点A:结点结点B:结点结点C:结点结点D:返回返回 9 92 2 单元劲度矩阵单元劲度矩阵 一、杆件单元的空间位置一、杆件单元的空间位置平面杆件单元平面杆件单元i i, ,整体坐标系整体坐标系oxyzoxyz, ,局部坐标系局部坐标系oxoxm my ym mz zm m思考思考:考虑空间杆件单元。考虑空间杆件单元。二二 单元局部坐标系的劲

6、度矩阵单元局部坐标系的劲度矩阵1.平面铰接单元平面铰接单元单元结点位移单元结点位移单元杆端力单元杆端力为表示方便为表示方便,平面铰接单元常采用下述方法平面铰接单元常采用下述方法:2.平面固接单元平面固接单元单元结点位移单元结点位移单元杆端力单元杆端力 单元劲度矩阵单元劲度矩阵三、单元转换矩阵三、单元转换矩阵单元分析单元分析 一般在局部坐标系中进行一般在局部坐标系中进行整体分析（如整体分析（如:力的平衡）力的平衡）一般在整体坐标系中讨论一般在整体坐标系中讨论两种坐标系中杆端力两种坐标系中杆端力,位移分量之间的关系位移分量之间的关系转换矩阵转换矩阵整体坐标系中整体坐标系中:局部坐标系中局部坐标系中

7、:写成矩阵形式写成矩阵形式:其中其中:称为平面固接单元的转换矩阵。称为平面固接单元的转换矩阵。同理同理:思考思考:给出平面梁单元给出平面梁单元,平面铰单元的转换矩阵平面铰单元的转换矩阵四、单元在整体坐标系中的劲度矩阵四、单元在整体坐标系中的劲度矩阵整体坐标系整体坐标系局部坐标系局部坐标系从局部坐标系出发从局部坐标系出发,两边前乘两边前乘五、单元劲度矩阵的性质五、单元劲度矩阵的性质1、kmi ki 为对称矩阵为对称矩阵2、kmi ki 为奇异矩阵为奇异矩阵反力互等定理反力互等定理: : k支座发生单位位移时在支座发生单位位移时在m支座内引起的反力支座内引起的反力, ,等于等于m支座发支座发生单位

8、位移时在生单位位移时在k支座内引起的反例。支座内引起的反例。不存在不存在, ,即已知即已知 可求出可求出 , ,反之反之, ,已知已知 无法求出对应的无法求出对应的 。物理意义物理意义:已知结点力列阵已知结点力列阵 单元相对位移单元相对位移 单元绝对位单元绝对位移。移。限制刚体位移限制刚体位移返回返回 9 93 3 可动结点劲度矩阵可动结点劲度矩阵一、形成可动结点劲度矩阵的步骤一、形成可动结点劲度矩阵的步骤k步骤步骤:1.对结构进行结点编号、单元标号、自由度编号对结构进行结点编号、单元标号、自由度编号:2.确定单元杆端自由度序号（考虑约束条件）确定单元杆端自由度序号（考虑约束条件）;3.计算单

9、元在局部坐标系中的劲度矩阵计算单元在局部坐标系中的劲度矩阵kmi4.计算单元转换矩阵计算单元转换矩阵Ti5.形成单元在整体坐标系中的劲度矩阵形成单元在整体坐标系中的劲度矩阵6.按按”对号入座对号入座”原则原则,将将ki叠加到叠加到 中。中。imiTiiTkTk 例形成图示刚架可动结点劲度矩阵例形成图示刚架可动结点劲度矩阵,E,I ,A为常数。为常数。解解:1.编号编号,如图（如图（b)2.确定单元杆端自由度序号。确定单元杆端自由度序号。3.计算计算 kmi4.计算单元转换矩阵计算单元转换矩阵5.形成单元在整体坐标系中的劲度矩阵形成单元在整体坐标系中的劲度矩阵6.6.根据单元杆端自由度序号叠加根

10、据单元杆端自由度序号叠加二、可动结点劲度矩阵性质二、可动结点劲度矩阵性质1.对称方阵对称方阵2.非奇异矩阵非奇异矩阵3.稀疏带状矩阵稀疏带状矩阵反力互等定理反力互等定理考虑了约束条件考虑了约束条件,排除了刚体位移排除了刚体位移只有临近结点之间才有相互影响只有临近结点之间才有相互影响返回返回 9 94 4 可动结点等效荷载列阵可动结点等效荷载列阵一、直接作用在结点上的荷载一、直接作用在结点上的荷载 将结点集中荷载按自由度方向分解将结点集中荷载按自由度方向分解,将各荷载分量直接叠加到可将各荷载分量直接叠加到可动结点荷载列阵中动结点荷载列阵中二、作用在单元上的荷载二、作用在单元上的荷载步骤步骤:1.

11、求单元固端力求单元固端力;2.转换至整体坐标系中转换至整体坐标系中;3.按照单元杆端自由度序号叠加到可动结点等效荷载列阵中按照单元杆端自由度序号叠加到可动结点等效荷载列阵中例例解解:（一）结点集中荷载（一）结点集中荷载（二）单元荷载（二）单元荷载1.求局部坐标单元固端力求局部坐标单元固端力2.转换到整体坐标转换到整体坐标3.叠加叠加返回返回 9 95 5 单元杆端内力和支座反力单元杆端内力和支座反力一、单元杆端内力一、单元杆端内力1.1.计算公式计算公式2.求解步骤求解步骤（1）形成单元局部坐标系下的单元劲度矩阵）形成单元局部坐标系下的单元劲度矩阵kmi（2）形成转换矩阵）形成转换矩阵Ti（3

12、）形成杆端位移列阵）形成杆端位移列阵（4）形成固端力列阵）形成固端力列阵FLi（5）计算单元最后杆端力）计算单元最后杆端力,先计算先计算在计算在计算 或用或用 计算。计算。i二、支座反力二、支座反力求解步骤求解步骤:1,将将Fmi 转换至整体坐标系中转换至整体坐标系中;2.根据单元自由度序号列阵将杆端力根据单元自由度序号列阵将杆端力Fi叠叠加至支座反力列阵中加至支座反力列阵中。返回返回 9 96 6 例题例题例例1 设设EA=常数常数,试用矩阵位移法分析图示的平面桁架。试用矩阵位移法分析图示的平面桁架。解解:1.建立坐标系与编号建立坐标系与编号 2.可动结点的位移列阵为可动结点的位移列阵为3.

13、可动结点的平衡方程为可动结点的平衡方程为4.求求KF K （1 1）计算机各单元的方向余弦和杆长）计算机各单元的方向余弦和杆长: :（2）求）求 kmi(3)求求ki单元（单元（1）:Cx=0 Cy=1 杆长杆长:l同理同理:（4）求）求按照按照“对号入座对号入座“原则原则,由由ki形成形成k哪哪例如例如:同理同理:5.求求: 对于桁架对于桁架,一般只有结点荷一般只有结点荷载载,于是于是6.求结点位移求结点位移得得7.求杆端力求杆端力Fmi8.8.求支座反力求支座反力例例 设设 EIEI= =常数常数, ,EAEA= =常数常数, ,EIEI=20=20EAEA, ,试用矩阵位移法分析图示的平

14、试用矩阵位移法分析图示的平面刚架。面刚架。解解: :1.1.建立坐标系与编号建立坐标系与编号2.2.可动结点的位移列阵为可动结点的位移列阵为3.3.可动结点平衡方程可动结点平衡方程4,4,求求（1 1）计算个单元的方向余弦和杆长）计算个单元的方向余弦和杆长: :（2 2）求）求 kmimi（3 3）求）求ki(4)求求(5)(5)求求: :（1 1）直接作用在结点上的荷载为）直接作用在结点上的荷载为(2)(2)作用在单元上的荷载作用在单元上的荷载把把FL沿整体坐标系方向分解沿整体坐标系方向分解, ,得得从而得从而得6.6.求结点位移求结点位移7.7.求杆端力求杆端力Fmi8.8.求支座反力求支

15、座反力 支座反力由下式支座反力由下式计算计算,得得9.9.内力图内力图2021/3/2358 例例2 求图求图2-21(a)所示平面刚架的内力所示平面刚架的内力,已知各杆已知各杆 , AB杆、杆、CD杆杆杆杆长长 ,BC杆杆长杆杆长 。40.005Im4m1l4.5m2l20.05Am622 10EkN m2021/3/2359图图2 221(b)21(b)解解:（1）建立坐标系和编号）建立坐标系和编号单元划分、节点编号、节点位移或节点力编号单元划分、节点编号、节点位移或节点力编号,整体坐标系及整体坐标系及单元的局部坐标的方向如图单元的局部坐标的方向如图221（b）所示。）所示。（2）可动节点

16、列阵为）可动节点列阵为（3）整体平衡方程）整体平衡方程123456 EKF2021/3/2360（4）各单元的劲度矩阵）各单元的劲度矩阵各单元在局部坐标系中的劲度矩阵各单元在局部坐标系中的劲度矩阵由式（由式（228）得）得 kk2100.00.00.0-100.00.00.00.07.515.00.0-7.5-15.00.015.040.00.015.020.010100.00.00.0100.00.00.00.07.515.00.07.515.00.0-15.020.00.015.040.0100.00.00.0-100.00.00.00.05EAkEAk12ll2.92613.330.0-

17、5.926-13.330.013.3340.00.013.3320.010100.00.00.0100.00.00.00.05.92613.330.05.92613.330.0-13.3320.00.013.3340.02021/3/2361各单元在整体坐标系下得单元劲度矩阵各单元在整体坐标系下得单元劲度矩阵所以所以,由由 得得21001010000010100100001TTTLLLI，TTTkL kL7.50.015.0-7.50.015.00.0100.00.00.0-100.00.015.00.040.015.00.020.07.50.015.07.50.015.00.0100.00.

18、00.01000.015.00.020.015.00.040.0EAk1l7 8 9 1 2 31 2 3 4 5 61234567891232021/3/2362 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 10 11 12 4 5 6 1 2 3 4 5 6EAk1l88.8890.00.0-88.8890.00.00.05.26811.8520.0-5.26811.8520.011.85235.5560.011.85217.7888.8890.00.088.8890.00.00.05.26811.8520.05.26811.8520.011.85217.780.011.85235.5

19、567.50.015.0-7.50.015.00.0100.00.00.0-100.00.015.00.040.015.00.020.07.50.015.07.50.015.00.0100.00.00.01000.015.00.020.015.00.040.0210EAk1l210123456123456123456101112 4 5 62021/3/2363（5）整体劲度矩阵）整体劲度矩阵根据对号入座原则根据对号入座原则,叠加出整体劲度矩阵如下叠加出整体劲度矩阵如下EAK1l96.3890.0-15.0-88.8890.00.00.0105.26811.8520.0-5.26811.852

20、15.011.85275.5560.011.85217.7888.8890.00.096.3860.015.00.05.26811.8520.0105.26811.8520.011.85217.7815.011.85275.5561 2 3 4 5 61 2 3 4 5 62101234561234562021/3/2364REAK1l7.50.015.00.0100.00.0015.00.020.07.50.015.000.0100.00.015.00.020.01 2 3 4 5 61 2 3 4 5 6210 7 8 91011121234562021/3/2365(6) 整体等效节点荷

21、载列阵整体等效节点荷载列阵直接作用在节点上的荷载列阵直接作用在节点上的荷载列阵作用在单元上得固端力引起得等效荷载列阵作用在单元上得固端力引起得等效荷载列阵查载常数表查载常数表,得单元在局部坐标系中得固端力列阵得单元在局部坐标系中得固端力列阵2000000000000EDF1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12060.040.00.060.040.0020.022.50.020.022.5000000GGGFFF2021/3/2366再把再把 转换到整体坐标中转换到整体坐标中,由由 得得 7 8 9 1 2 3 1 2 3 4 5 6 10 11 12 4 5 6 1 2 3 4

22、5 6 7 8 9 10 11 12eGFeeTGGTFL F60.00.040.060.00.040.0GF 020.022.50.020.022.5GF000000GF60.020.017.5020.022.560.0040.0000ELF2021/3/2367整体等效节点荷载列阵整体等效节点荷载列阵由由 得得所以所以EJEDELFFF80.020.017.5020.022.560.0040.0000EJF1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1280.020.017.5020.022.5EF60.00.040.00.00.00.0ERF1 2 3 4 5 67 8 9 10 1

23、1 122021/3/2368（7）计算结点位移列阵）计算结点位移列阵 由由 解得解得1EKF1234560.0304700.0000840.0045260.0286770.0016840.003714TT2021/3/2369 (8)计算各单元杆端力计算各单元杆端力 由式由式 计算得计算得eeGTFkLF123456100.00.00.0-100.00.00.00.07.515.00.0-7.5-15.00.015.040.00.015.020.0100.00.00.0100.00.00.00.07.515.00.07.515.00.0-15.020.00.015.040.0NQNQFFME

24、AFFFM1l3010002.0891000060.0100.159001040.0131.6331001030.4700.02.08901000.08460.019.8410014.52640.029.0032021/3/2370同理同理39.84142.0892.08939.84129.00388.968,39.84142.08942.08939.84170.39670.396FF2021/3/2371 （9）计算支座反力）计算支座反力 由由 得得RRERFFF37.5015.030.470100.0000.08415.0020.04.625107.5015.028.67700100.00

25、1.68415.0020.03.714RF60.0100.1590.02.08840.0131.633039.841042.089088.9682021/3/2372 （10）绘制内力图）绘制内力图 根据所得的最后杆端力根据所得的最后杆端力,作作 , , 图图,如图所示如图所示MQFNF(a)M图图(kN.m)2021/3/2373 (b) 图(kN)QF2021/3/2374 (c) 图(kN)NF返回返回 9 97 7 平面刚架计算程序平面刚架计算程序一、源程序一、源程序c program frameC PROGRAM MAIN INTEGER RR,AA,GG,EP,RP,T REAL

26、KK CHARACTER*12 FNAME,FNAOT COMMON/A1/NE,NP,NR,MT,MX COMMON/A2/ME(2),RR(20,3),GG(6),T COMMON/A3/EP(20,3),RP(20,4),XZ(30,2),AE(5,3) COMMON/A4/KI2,KI3,MI2(20),MI3(20),FI2(20,3),FI3(20,6) COMMON/A5/AA(200),KK(6000),NX,NH COMMON/A6/FF(60),UV(20,6) WRITE(0,101) 101 FORMAT(/5X,PLEASE INPUT DATA FILENAME:) READ(*,100) FNAME 100 FORMAT(8A) WRITE(0,102) 102