§6.3-按线性近似决定微分方程组的稳定性

1、6.3 按线性近似决定微分方程组的稳定性上面讲了系数矩阵为标准型的系统 (6.24)的轨线在奇点O(0，0)附近的分布情况，现在回来研究一般的平面线性系统 (6.23)的轨线在奇点O(0，0)附近的分布情况. 我们知道，(6.22)可以从(6.24)经逆变换而得到，而且，由于T是非奇异变换，也是非奇异变换，因而也就是一个仿射变换，它具有下述不变性： (1) 坐标原点不变； (2) 直线变成直线；(3) 如果曲线 (x(t), y(t)当t(或t)时趋向原点，变换后的曲线，当t(或t)时也趋向坐标原点；(4) 如果曲线(x(t), y(t)当t(或t)时，盘旋地趋向原点，变换后的曲线,当t(或t

2、)时也盘旋地趋向原点.(6) 闭曲线(x(t), y(t)经过变换后，所得曲线仍为闭曲线.由此可见，方程(6.24)在各种情况下的轨线，经过线性变换后得到方程(6.23)的轨线，其结点型，鞍点型，焦点型，以及中心型的轨线分布是不变的.这就是轨线结构的不变性.并且，由于变换后轨线趋向原点的方向不变，所以结点、焦点的稳定性也不改变.于是，系统(6.23)的奇点O(0, 0)，当，根据A的特征根的不同情况可有如下的类型： 因为A的特征根完全由A的系数确定，所以A的系数可以确定出奇点的类型.因此，下面来研究A的系数与奇点分类的关系.方程(6.22)的系数矩阵的特征方程为或 为了书写方便，令于是特征方程

3、可写为 特征根为下面就分特征根为相异实根，重根及复根三种情况加以研究： (1) (i) (ii) (2) (3) 复数根的实部不为零，奇点为焦点 复数根的实部为零，奇点为中心综合上面的结论，由曲线，轴及轴把平面分成几个区域，不同的区域，对应着不同类型的奇点(图6-17).图 6-176.4.2平面非线性自治系统奇点附近的轨线分布以上是面平线性系统(6.22)的轨线在奇点O(0，0)附近的分布情况.下面再根据上面的讨论，介绍一点研究一般的平面系统 (6.18)的轨线在奇点附近的分布的方法.我们不妨假设原点O(0, 0)是(6.18)的奇点，即P(0, 0)(0, 0)0.这并不失一般性.因为，如

4、果()为(6.18)的一个奇点，只要作变换，就可以把奇点移到原点(0，0).设(6.18)的右端函数P(x, y), Q(x, y)在奇点O(0,0)附近连续可微，并可以将(6.18)的右端写成其中 我们把平面线性系统 (6.22)称为一般平面自治系统(6.18)的一次近似.在条件的假设下，称(0，0)为系统(6.18)的初等奇点，否则，称它为高阶奇点.(6.22)的奇点的情况已讨论清楚. 一个常用的手法是将(6.18)与(6.22)比较，对“摄动”及加上一定的条件，就可以保证对于某些类型的奇点，(6.18)在O(0，0)的邻域的轨线分布情形与(6.22)的轨线分布情形同.我们只介绍如下的一个

5、常见的结果而不加以证明.定理6.4 如果在一次近似(6.22)中，有且O(0，0)为其结点(不包括退化结点及临界结点)、鞍点或焦点，又与在O(0，0)的邻域连续可微，且满足 ， (6.32)则系统(6.18)的轨线在O(0，0)附近的分布情形与(6.22)的完全相同. 当O(0，0)为(6.22)的退化结点、临界结点或中心时，条件(6.32)不足以保证(6.18)在O(0，0)的邻域的轨线分布与(6.22)的轨线分布情形相同，还必须加强这个条件，我们不再列举了.6.4.3极限环的概念为了说明极限环的概念，先看看下面的例子.例1 考察方程组 (6.33)的轨线分布. 解 将方程（6.33）的第一

6、个方程两端乘以x，第二个两端乘以y，然后相加得到 (6.34)作极坐标变换，由，微分之，则得所以(6.34)可写成或 (6.35)其次，将方程组(6.33)的第一个方程乘以y，第二个方程乘以x，然后相减，得由，微分之，可知 (6.36)于是原方程(6.33)经变换后化为 (6.37)积分所得方程(6.37).易于看出，方程组(6.37)有两个特解：r =0， r =1其中r =0对应(6.33)奇点，而r =1对应于(6.33)的一个周期解，它所对应的闭轨线是以原点为中心以1为半径的圆.进一步求方程组的通解，得 或为于是方程(6.33)的轨线分布如图(6-18). 从方程组(6.33)的相图上

7、可看出，轨线分布是这样的： (1) (0，0)为奇点，为一闭轨线. (2) 闭轨线的内部和外部的轨线，当t+时分别盘旋地趋近于该闭轨线.我们在6.3节的例1中也提到过闭轨线，但当时的闭轨线都是一族连续分布的闭轨线.而且，当时没出现其他的轨线当t时趋近于闭轨线的情况.因此，上例中的闭轨线以及它附近的轨线的分布情形，是一种新的结构.我们作如下的定义.图 6-18定义6.4 设系统 (6.18)具有闭轨线C.假如在C充分小邻域中，除C之外，轨线全不是闭轨线，且这些非闭轨线当t或t时趋近于闭轨线C，则说闭轨线C是孤立的，并称之为(6.18)的一个极限环. 极限环C将相平面分成两个区域：内域和外域.定义

8、6.5 如果极限环C的内域的靠近C的轨线当t+(-)时盘旋地趋近于C(图6-19)，则称C是内稳定(内不稳定的)；如果在极限环C的外域的靠近C的轨线当t+()时盘旋地趋近于C(图6-20)，侧称C是外稳定的(外不稳定的)；如果当t()时，C的内部及外部靠近C的轨线都盘旋地趋近于C，则称C是稳定的(不稳定的) (如图6-21(a),如果当t()时，C的内外部的稳定性相反，则称C为半稳定的 (图6-21(b). 图 6-19 图 6-20(b)图 6-21易于看出，例1中的轨线是稳定的极限环.6.4.4 极限环的存在性和不存在性稳定的极限环表示了运动的一种稳定的周期态，它在非线性振动问题 中有重要

9、意义.一般说来，一个系统的极限环并不能像例1那样容易算出来.关于判断极限环存在性的方法，我们只叙述下面有关定理，其证明可参阅专著.定理6.5 设区域D是由两条简单闭曲线L1和L2所围成的环域，并且在上系统(6.18)无奇点；从L1和L2上出发的轨线都不能离开(或都不能进入).设L1和L2均不是闭轨线，则系统(6.18)在D内至少存在一条闭轨线，它与L1和L2的相对位置如图6-22，即在D内不能收缩到一点.图 6-22 如果把系统(6.18)看成一平面流体的运动方程，那么上述环域定理表明：如果流体从环域D的边界流入D，而在D内又没有渊和源,那么流体在D内有环流存在.这个力学意义是比较容易想象的.

10、习惯上，把L1和L2分别称作Poincar-Bendixson环域的内、外境界线. 关于平面系统(6.18)不存在极限环的判定准则常用的是下面的定理 定理6.6 (Bendixson判断)设在单连通区域G内，系统(6.18)的向量场(P，Q)有连续偏导数.若该向量场的散度 保持常号，且不在G的任何子域内恒等于零，则系统(6.18)在G内无闭轨.定理6.7 (Dulac判断)设在单连通区域G 内，系统(6.18)的向量场(P，Q)有连续偏导数，并存在连续可微函数B(x, y)使得保持常号，且不在G 内任何子区域内恒为零，则系统(6.18)在内无闭轨.例2 讨论系统 (6.38)的全局结构.解 (1) 奇点 (6.