《基本不等式》课件

1、东升学校高二年纪组图中阴影部分的面积为正方形ABCD的面积为a+b2ab*问题一问题一: :由此猜想由此猜想a a+b+b与与2ab2ab的大小关系的大小关系, ,并加以证明并加以证明证明证明a2+b22ab =(ab)20a+b 2ab，（该不等式对于（该不等式对于a,bRa,bR均成立）均成立）左图中AE=DH=CG=BF=a,BE=GH=FG=FE=b, ,且图中各三角形均为全等的直角三角形。当且仅当当且仅当a=b时等号成立时等号成立ADBCEFGHab22ab由此得：由此得： 一般地，对于任意实数一般地，对于任意实数a a、b b，我们有，我们有当且仅当当且仅当a=ba=b时，等号成立

2、。时，等号成立。222ababACBDE(FGH)ab*问题四：上式中等号成立的条件: _*问题二：上式中等号成立的条件: _得出结论：得出结论：a+b 2ab(a,bR)重要不等式重要不等式当且仅当当且仅当a=ba=b时时, ,等号成立。等号成立。*问题三：当a0,b0时，由上式得： _)()(22 baba 2a + b 2 a b得出结论：得出结论：)0, 0( ,2 baabba均值不等式均值不等式当且仅当当且仅当a=ba=b时，取时，取“=”=”号号?)2(,.,的几何解释得出不等式试用这个图形连接的弦垂直于作过点上一点点是是圆的直径如图BDADDEABCbBCaACABAB证明推导

3、：证明推导：均值不等式的几何解释是均值不等式的几何解释是: 半径不小于半弦半径不小于半弦.均值不等式的代数解释为均值不等式的代数解释为: 两个正数的等差中项两个正数的等差中项不小它们的等比中项不小它们的等比中项.二、新课讲解二、新课讲解1. ,:a b例均为正数 证明以下不等式;112) 1 (baab.22)2(22baba:重要结论222( ,).1122abababa bRab其中当且仅当其中当且仅当ab时取等号时取等号.二、知识点二、知识点2 2：均值不等式的简单应用：均值不等式的简单应用（当且仅当（当且仅当a=b时，取时，取“=”号）号）)0, 0( ,2 baabba)0, 0(

4、,2 baabba)0, 0( ,22 baabba)0, 0( ,4)(2 babaab常见变形例例1:已知已知x0, y0, xy=16, 求求x+y的最小值，的最小值，并说明此时并说明此时x,y的值的值题型一：已知积为定值，求和的最小值例例2：已知：已知2x+3y=2（x0,y0)求求xy 的最大值。的最大值。题型二：已知和为定值，求积的最大值解答解答过程过程解答解答过程过程例例1:已知已知x0, y0, xy=16, 求求x+y的最小值，的最小值，并说明此时并说明此时x,y的值的值0, 0 yx解：解：由均值不等式得由均值不等式得xyyx2 8162 yxyx即：即： 时，等号成立。时

5、，等号成立。当且仅当当且仅当又又yxxy16. 84的的最最小小值值为为时时，即即：yxyx 一正一正二定三相等可以应用均值不可以应用均值不等式的先决条件等式的先决条件存在最值存在最值能够取到最能够取到最值的条件值的条件例例2：已知：已知2x+3y=2（x0,y0)求求xy 的最大值。的最大值。0, 0 yx解：解：由均值不等式得由均值不等式得yxyx32232 一正一正262 xy即：即：16 xy61 xy二定时，等号成立。时，等号成立。当且仅当当且仅当 23232yxyx。的最大值为的最大值为时，时，6131,21xyyx 三相等如如果果积积xy是是定定值值P，那那么么x+y2 2 ，当

6、当x=y时，时，x+y=2 2 , ,即即x+y有有最最小小值值. .pp如果和如果和x+y是定值是定值S，那么，那么xy ，当当x=y时时, ,xy= = ，即，即xy有最大值有最大值. .42S42S小结1：（当且仅当（当且仅当a=b时，取时，取“=”号）号）)0, 0( ,2 baabba简言之：( (积定和最小积定和最小) ) 简言之：( (和定积最大和定积最大) )三、课堂检测：三、课堂检测：1、当、当x0时，时， 的最小值为的最小值为 ，此时，此时x= 。xx1 3、若实数、若实数 且且 ，则，则 的最小值是（的最小值是（ ） A、10 B、 C、 D、 yx,5 yxyx3336

7、64318D212.已知x0, y0, xy=24, 求4x+6y的最小值，并说明此时x,y的值解答解答过程过程2.已知已知x0, y0, xy=24, 求求4x+6y的最小值，的最小值，并说明此时并说明此时x,y的值的值0, 0 yx解：解：由均值不等式得由均值不等式得yxyx64264 一正一正4864 yx即：即：二定二定时，等号成立。时，等号成立。当且仅当当且仅当 2464xyyx。的的最最小小值值为为时时，48644, 6yxyx 三相等三相等返回上页返回上页（1 1）一正：各项均为正数）一正：各项均为正数（2 2）二定：两个正数积为定值，和有最小值）二定：两个正数积为定值，和有最小值. . ( (积定和最小积定和最小) ) 两个正数和为定值，积有最大值两个正数和为定值，积有最大值. . ( (和定积最大和定积最大) )（3 3）三相等）三相等: :求最值时一定要考虑不等式是否能取求最值时一定要考虑不等式是否能取“”，否则会出现错误（取不到等号则说明无最值），否则会出现错误（取不到等号则说明无最值）四、课堂小结：四、课堂小结：利用利用 求最值时要注意下求最值时要注意下面三条：面三条：) 0, 0(2baabba提示：构造积为定值，利用基本不等式求最值提示：