余弦定理习题课参考教案

1、8.1. 2余弦定理授课类型：习题课【教学目标】1 .掌握余弦定理的推导过程，熟悉余弦定理的变形用法。2 .较熟练应用余弦定理及其变式，会解三角形，判断三角形的形状。教教学重、难点】重点：熟练应用余弦定理。难点：解三角形，判断三角形的形状。【教学过程】【知识梳理】1 .余弦定理：(1)形式一：2 .22abc2bccosA;,222bac2accosB；22.2cosAcab2abcosC.22,2a c b .cosB2bc2ac22c2cosC一一J.(角到边的转换)2ab2 .解决以下两类问题:1）、已知三边，求三个角；（唯一解）2）、已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两个角；（唯一解

2、）a2b2c2A是直角AB（g直角三角形3 .三角形ABC中a2b2c2A是钝角AB（g钝角三角形a2b2c2A是锐角AB晶锐角三角形4 .解决以下两类问题：1）、已知三边，求三个角；（唯一解）2)、已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两个角；(唯一解)【典例应用】题型一根据三角形的三边关系求角例1.已知ABC中，sinA:sinB:sinC=(J3+1)：(寸31):中0,求最大角.解：.sinA一sinB一sinC.sinA:sinB:sinC=a:b：c=(73+1)：(欣一1)：回设a=h/3+1)k,b=(3-1)k,c=Vi0k(k>0)a2+b2c2则最大角为=.2ab(通

3、+1)2+(V3-1)2-7102_12玉/3+1)(73-1)2C=120°.评析：在将已知条件中角的关系转化为边的关系时，运用了正弦定理的变形式：a=2RsinA,b=2RsinB,c=2RsinC,这一转化技巧，应熟练掌握.在三角形中,大边对大角，所以角C最大。变式训练1在ABC中，若(abc)(bca)3bc,则A()A.900B.600C.1350D.1500解：(abc)(bca)3bc,(bc)2a23bc,222nonbca1bca3bc,cosA,A602bc2题型二：题型二已知三角形的两边及夹角解三角形例2.在zABC中，BC=a,AC=b，且a,b是方程x22j

4、3x20的两根,2cosAB1o(1)求角C的度数；(2)求AB的长；(3)求AABC的面积。解；=k-S+gi=-co柳工+B12ntl2因为人白是方程尹-2月天十2二口的两根，所以卜十An2招ab-2；AB2=方*+a2-2abcos120°=1+Z?IGb=10nW5="/To_1V3J)aabc-a=评析：在余弦定理的应用中，注意与一元二次方程中韦达定理的应用。方程的根往往不必直接求出，要充分利用两根之和与两根之差的特点。变式训练1在ABC中，A60：,AC16,面积S22073，求BC的长2.钝角ABC的三边长为连续的自然数，求三边的长。题型三：判断三角形的形状例

5、3.在ABC中，若b2sin2Cc2sin2B2bccosBcosC,试判断ABC的形状.解：方法一：由正弦定理和已知条件得：22c,2,20sinBsinCsinCsinB2sinBsinCcosBcosC,. sinBsinC 0, .sinBsinCB、C 为 ABC 的内角，.二 B故ABC为直角三角形.方法二：cosBcosC ,即 cos(B C) 0 ,C 90), A 90：原等式变形为：b2(1cos2C)c2(1cos2B)2bccosBcosC,即：b2 c2 b2 cos2 C2 、 cos B2bccosBcosC ,答案：C由余弦定理得:b2 c2b2(-.22b

6、c2ab)22 2za c (2acb2)22bc2ac2abb22.22(a bc c2)i (a2 c2 b2)2 4a2b2故ABC为直角三角形.评述：判断三角形的形状，一般是从题设条件出发，根据正弦定理、余弦定理进行边角变换，全化为边的关系或全化为角的关系，导出边或角的某种特殊关系，然后利用平面几何知识即可判定三角形的形状。变式训练21.在4ABC中，若2cosBsinA=sinC,则ABC的形状一定是（）A.等腰直角三角形B.直角三角形C.等腰三角形D.等边三角形解:222由 2cosBsinA=sinC 得ac>a=c,ac二 a=b.答案：C2.在 ABC中，bcosA a

7、cosB ,则三角形为（）A.直角三角形B.锐角三角形C.等腰三角形D.等边三角形解：由余弦定理可将原等式化为:.222b c a2bc22.2a c ba 2ac即2b22a2,ab典例训练1 .在4ABC中，若C900,a6,B300,则cb等于（）A.1B.1C.2<3D.2432 .若A为AABC的内角，则下列函数中一定取正值的是（）1A.sinAB.cosAC.tanAD.tanA3 .在ABC中，角A,B均为锐角，且cosAsinB,则ABC的形状是（）A.直角三角形B.锐角三角形C.钝角三角形D.等腰三角形4 .等腰三角形一腰上的高是V3,这条高与底边的夹角为60°,则底边长为（_、3A.2B.C.3D.2135 .在ABC中，若b2asinB,则A等于（）A.30°或60°B.45°或60°C.120°或60°D.30°或150°6 .边长为5,7,8的三角形的最大角与最小角的和是（）A.90°B.120°C.135°D.150°7 .在ABC中，若acosAbcosBccosC,则ABC的形状是什么8.在AABC中，求证:b ,cosB c