8.第八讲：平面向量的坐标表示与线性运算

1、第八讲 平面向量的坐标表示与线性运算一、引言本节主要内容：平面向量的基本定理、平面向量的正交分解及坐标表示、平面向量的坐标运算、平面向量共线的坐标表示等内容通过本节学习，进一步加深对平面向量的认识，掌握通过向量的坐标表示，将几何问题转化为代数问题来解决的方法，领悟数学知识间的内在联系和数形结合的重要数学思想本节学习要求：了解平面向量的基本定理及其意义，掌握平面向量的正交分解及其坐标表示；会用坐标表示平面向量的加法、减法、数乘运算，理解用坐标表示的平面向量共线的条件，灵活运用平面向量的基本定理和平面向量的坐标表示解决相关问题，发展运算能力和数形结合解决问题的能力本节高考的热点是向量的概念、加法、

2、减法，平面向量的坐标运算，两个非零向量平行的充要条件；试题多以选择题、填空题为主，考查基本概念、基本运算在解答题中，一般是将某些基本概念、公式作为中间步骤来考查，难度适中在高考试题中，对平面向量的考查主要有：1主要考查平面向量的概念、性质和运算法则，理解和运用其直观的几何意义；2考查向量坐标表示，向量的线性运算；3和其他知识结合在一起，在知识的交汇点设计试题，考查向量与学科知识间综合运用能力；4考查以向量为工具，即构造向量解决有关数量问题，侧重体现向量的工具性作用二、考点梳理1平面向量基本定理：如果、是同一平面内的两个不共线向量，那么对这一平面内的任一向量，有且只有一对实数、，使我们把不共线向

3、量、做表示这一平面内所有向量的一组基底注意：（1）基底不惟一，关键是不共线；（2）由定理可将平面内的任一向量在给出基底、的条件下进行分解；（3）基底给定时，分解形式惟一，、是被，唯一确定的数2两个向量的夹角已知两个非零向量和，作，则叫做向量和的夹角说明：（1）向量和的夹角的范围是当时，和同向；当时，和反向；（2）当时，我们说向量和垂直，记作3平面向量的正交分解和坐标表示（1）平面向量的正交分解把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫做把向量正交分解正交分解是向量分解中常见的一种情形（2）在直角坐标系内，如图，我们分别取与轴、轴方向相同的两个单位向量、作为基底对于平面内的一个向量，由平面向量基本定

4、理知，有且只有一对实数、，使得，这样，平面内的任一向量都可以由、唯一确定，我们把有序数对叫做向量的（直角）坐标，记作：其中叫做在轴上的坐标，叫做在轴上的坐标，叫做向量的坐标表示与相等的向量的坐标也为特别地，如图，在直角坐标平面内，以原点为起点作，则点的位置由唯一确定设，则向量的坐标就是点的坐标；反过来，点的坐标也就是向量的坐标因此，在平面直角坐标系内，每一个平面向量都是可以用一有序实数对唯一表示4平面向量的坐标运算（1）若，则，由向量线性运算的结合律和分配律，可得：，即，同理可得即两个向量和与差的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和与差，即即实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标

5、（2）若，则即一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点坐标减去始点的坐标若是线段的中点，则由向量的线性运算可知：，即点的坐标为5平面向量共线的坐标表示设，其中我们知道，、共线当且仅当存在实数，使如果用坐标表示，可以写为，即消去后得这就是说，当且仅当时，向量、共线注意：（1）消去时不能两式相除，因为，有可能为0，中至少有一个不为0；（2）充要条件不能写成，因为，有可能为0；三、典型例题选讲例1 已知是以点为起点，且与向量平行的单位向量，则向量的终点坐标是解：方法一：设向量的终点坐标是，则，则题意可知，解得：或，故填或方法二：与向量平行的单位向量是，故可得，从而向量的终点坐标是，便可得结果归纳

6、小结：向量的概念较多，且容易混淆，在学习中要分清、理解各概念的实质，注意区分共线向量、平行向量、同向向量、反向向量、单位向量等概念；与平行的单位向量例2 给出下列命题：若|，则=；若，是不共线的四点，则是四边形为平行四边形的充要条件；若=，=，则=；=的充要条件是|=|且/；若/，/，则/，其中正确的序号是 解析：不正确两个向量的长度相等，但它们的方向不一定相同正确，且，又，D是不共线的四点，四边形为平行四边形；反之，若四边形为平行四边形，则，且，因此，正确=，的长度相等且方向相同；又，的长度相等且方向相同，的长度相等且方向相同，故不正确当/且方向相反时，即使|=|，也不能得到=，故|=|且/

7、不是=的充要条件，而是必要不充分条件不正确考虑=这种特殊情况综上所述，正确命题的序号是归纳小结：本例主要复习向量的基本概念，向量的基本概念较多，因而容易遗忘，为此，复习时一方面要构建良好的知识结构，另一方面要善于与物理中、生活中的模型进行类比和联系，帮助理解，加深记忆例3（08海南宁夏卷）平面向量，共线的充要条件是（ ）A，方向相同 B，两向量中至少有一个为零向量C，D存在不全为零的实数，解析：若均为零向量，则显然符合题意，且存在不全为零的实数使；若，则由两向量共线知，存在，使得，即，符合题意，故选归纳小结：概念定理性的问题往往是看似简单，实则处处陷阱，所以应加强对基础概念、定理的深入理解，明

8、确问题关键之处，体会本质例4 平面直角坐标系中，为坐标原点，已知两点，若点满足，其中，且，则点的轨迹方程为（ ）ABC D解析：解法1：设，则. 又，消去参数，得点的轨迹方程为解法2：利用向量的几何运算，考虑定比分点公式的向量形式，结合条件知：，三点共线，故点的轨迹方程即为直线的方程，故本题应选D归纳小结：本题主要考查向量的运算（几何形式或坐标形式）及直线的方程，把向量联系起来，使问题立意更新，情景更好，内容更丰富例5 如图，在中，、是的三等分点，则= ，= 分析：以，为基底，借助、是的三等分点，由平面向量的基本定理可以将、线性表出解：因为、是的三等分点，所以，归纳小结：若是的中点，则的结论是

9、显然的，这里给出了的三等分点、，向量、与、的关系，从中我们不难猜想的四等分点、五等分点，时的情况，这些规律可以作为结论记下来例6（2009北京卷理）已知向量、不共线，如果，那么（ ）A且与同向 B且与反向C且与同向 D且与反向解析：解法一：取，若，则，显然，与不平行，排除A、B若，则，即且与反向，排除C，故选D解法二：若，则存在，使得，即，从而有，因为向量、不共线，由平面向量基本定理可得，即，且与反向故选D归纳小结：本题主要考查向量的共线（平行）、向量的加减法属于基础知识、平面向量基本定理等基础知识，侧重基本方法、基本运算的考查例7 已知平面上三点、，求点的坐标，使得这四点能够成平行四边形的四

10、个顶点分析：本题没有指明所构成的平行四边形的顶点顺序，故应分三种情况分别求解解：（1）当平行四边形为时，因为，所以所以，即；（2）当平行四边形为时，因为，所以所以，即；（3）当平行四边形为时，因为，所以所以，即归纳小结：没有指明平行四边形顶点顺序时，要分情况讨论例8 设、分别为非等边三角形的重心与外心，且（1）求点的轨迹的方程；（2）过点作直线与曲线交于点、两点，设，是否存在这样的直线，使四边形是矩形？若存在，求出直线的方程；若不存在，试说明理由分析：（1）通过向量的共线关系得到坐标的等量关系；（2）根据矩形应该具备的充要条件，得到向量垂直关系，结合韦达定理，求得的值解：（）由已知得,又，即（2）设方程为，代入曲线得：.设，则x1+x2=，x1x2=，四边形是平行四边形若四边形是矩形，则，得直线为：归纳小结：这是一道平面几何、解析几何、向量三者之间巧妙结合的问题，注重数学知识之间联系的考查，