21-2.高中数学选修2-1知识总结--圆锥曲线与方程

1、高中数学选修2-1知识点总结 装 订 线 第二章 圆锥曲线与方程第二章 圆锥曲线与方程本章知识结构：圆锥曲线的实际背景标准方程双曲线抛物线椭 圆简单的几何性质简单应用本章知识要点：2.1曲线与方程一、曲线与方程 一般地，在直角坐标系中，如果某曲线（看作点的集合或适合某种条件的点的轨迹）上的点与一个二元方程的实数解建立如下的关系： （1）曲线上的点的坐标都是方程的解； （2）以方程的解为坐标的点都是曲线上的点.那么，这个方程叫做曲线的方程；这个曲线叫做方程的曲线.二、求曲线的方程1.解析几何：用坐标法研究几何图形的知识形成的学科叫做解析几何.解析几何研究的主要问题是：（1）根据已知条件，求出表示

2、曲线的方程；（2）通过曲线的方程，研究曲线的性质. 2.求曲线方程的步骤： （1）建立适当的坐标系，用有序实数对表示曲线上任意一点的坐标； （2）写出适合条件的点的集合； （3）用坐标表示条件，列出方程； （4）化方程为最简形式； （5）说明以化简后的方程的解为坐标的点都在曲线上.简言之：建系、取点 列式 代换 化简 证明.2.2椭 圆一、椭圆的定义：平面内与两个定点、的距离的和等于常数（其中）的点的轨迹叫做椭圆.这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距.椭圆的定义可用集合语言表示为：. 注意：当时，表示线段；当时，轨迹不存在. 二、椭圆的标准方程与几何性质：当椭圆焦点在轴上时当

3、椭圆焦点在轴上时标准方程图形范 围，对称轴轴、轴轴、轴对称中心坐标原点坐标原点长轴短轴长轴长，短轴长长轴长，短轴长顶点坐标，焦点坐标，其中，其中离心率其中其中注意：1.、的几何意义：叫做长半轴长；叫做短半轴长；叫做半焦距；、之间满足. 叫做椭圆的离心率，且，可以刻画椭圆的扁平程度，越大，椭圆越扁，越小，椭圆越圆. 2.点是椭圆上任一点，是椭圆的一个焦点，则，.3.点是椭圆上任一点，当点在短轴端点位置时，取最大值.4.椭圆的第二定义：当平面内点到一个定点的距离和它到一条定直线：的距离的比是常数 时，这个点的轨迹是椭圆，定点是椭圆的焦点，定直线叫做椭圆的准线，常数e是椭圆的离心率.5.椭圆方程 常

4、用三角换元为.三、点与椭圆位置关系点与椭圆位置关系：（1）点在椭圆内（含焦点）（2）点在椭圆上（3）点在椭圆外四、直线与椭圆位置关系（1）直线与椭圆的位置关系及判定方法位置关系公共点判定方法相交有两个公共点直线与椭圆方程首先应消去一个未知数得一元二次方程的根的判别式相切有且只有一个公共点相离无公共点（2）弦长公式：设直线交椭圆于则，或.2.3双曲线一、双曲线的定义平面内与两个定点、的距离的差的绝对值等于常数（其中）的点的轨迹叫做双曲线. 这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的焦距.双曲线的定义可用集合语言表示为：. 注意：当时，表示分别以、为端点的两条射线；当时，轨迹不存在.

5、二、双曲线的标准方程与几何性质：当双曲线焦点在轴上时当双曲线焦点在轴上时标准方程 图形范 围，或 ，或对称轴轴、轴轴、轴对称中心坐标原点坐标原点实轴虚轴实轴长，虚轴长实轴长，虚轴长顶点坐标焦点坐标，其中，其中渐近线，即，即离心率其中其中注意：1.、的几何意义：叫做半实轴长；叫做半虚轴长；叫做半焦距；、之间满足. 叫做椭圆的离心率，且. 越大，双曲线的张口就越大.2.实轴和虚轴等长的双曲线叫做等轴双曲线，其离心率.3. 双曲线的第二定义：当平面内点到一个定点的距离和它到一条定直线：的距离的比是常数 时，这个点的轨迹是双曲线，定点是双曲线的焦点，定直线叫做双曲线的准线，常数e是双曲线的离心率.4.直线与双曲线位置关系同椭圆. 特别地，直线与双曲线有一个公共点，除相切外还有当直线与渐进线平行时，也是一个公共点.5.共渐近线的双曲线可写成 ；共焦点的双曲线可写成. 2.4抛物线一、抛物线的定义：平面内与一个定点和一条定直线的距离相等的点的轨迹叫做抛物线.点叫做抛物线的焦点，直线叫做抛物线的准线.注意：当定点在定直线上时，点的轨迹为过点与直线垂直的直线.二、抛物线的标准方程与简单几何性质：标准方程图形焦点坐标准线方程范围对称性轴轴轴轴顶点离心率注意： 1.