必修五不等式专题复习

1、不等式专题复习知识回顾一不等式的主要性质：(1)对称性：(2)传递性：(3)加法法则： (同向可加)(4)乘法法则： (同向同正可乘)(5)倒数法则：(6)乘方法则： (7)开方法则： 2、应用不等式的性质比较两个实数的大小： 作差法（作差变形判断符号结论）3、应用不等式性质证明不等式二解不等式1.一元二次不等式的解集：2、简单的一元高次不等式的解法：（穿根法）其步骤是：（1）分解成若干个一次因式的积，并使每一个因式中最高次项的系数为正；（2）将每一个一次因式的根标在数轴上，从最大根的右上方依次通过每一点画曲线；并注意奇穿过偶不过；（3）根据曲线显现的符号变化规律，写出不等式的解集。3、分式不

2、等式的解法（转化为常规不等式）注意：右边不是零时，先移项再通分，化为上两种情况再处理4、不等式的恒成立问题： 应用函数方程思想和“分离变量法”转化为最值问题若不等式在区间上恒成立,则等价于在区间上若不等式在区间上恒成立,则等价于在区间上三、线性规划1、用二元一次不等式（组）表示平面区域2、二元一次不等式表示哪个平面区域的判断方法：定点法3、线性规划的有关概念：线性约束条件 线性目标函数 线性规划问题 可行解、可行域和最优解：4、求线性目标函数在线性约束条件下的最优解的步骤：（1）寻找线性约束条件，列出线性目标函数；（2）由二元一次不等式表示的平面区域做出可行域；（3）依据线性目标函数作参照直线

3、ax+by0，在可行域内平移参照直线求目标函数的最优解四均值不等式1若a,bR,则a2+b22ab,当且仅当a=b时取等号.2如果a,b是正数，那么变形： a+b； ab, 当且仅当a=b时取等号.注：（1）当两个正数的积为定值时，可以求它们和的最小值，当两个正数的和为定值时，可以求它们的积的最小值，正所谓“积定和最小，和定积最大”（2）求最值的重要条件“一正，二定，三取等”3.常用不等式有：（1）(根据目标不等式左右的运算结构选用) ；（2）a、b、cR，（当且仅当时，取等号）；（3）若，则（糖水的浓度问题）。典例剖析题型一：不等式的性质1. 对于实数中，给出下列命题： ； ； ； ； ；

4、； ； ，则。其中正确的命题是_题型二：比较大小（作差法、函数单调性、中间量比较，基本不等式）2. 设，试比较的大小3. 比较1+与的大小4. 若，则的大小关系是 .题型三：解不等式5. 解不等式 6. 解不等式。7. 解不等式8. 不等式的解集为x|-1x2，则=_, b=_9. 关于的不等式的解集为，则关于的不等式的解集为_10. 解关于x的不等式题型四：恒成立问题11. 关于x的不等式a x2+ a x+10 恒成立，则a的取值范围是_ 12. 若不等式对的所有实数都成立，求的取值范围.13. 已知且，求使不等式恒成立的实数的取值范围。三基本不等式题型五：求最值14. （直接用注正数）求

5、下列函数的值域（1）y3x 2 （2）yx15. （配凑项）（1）已知，求函数的最大值。（2）当时，求的最大值。16. 求的值域。注意：在应用均值不等式求最值时，若等号取不到，应结合函数的单调性。17. 求函数的值域。18. （条件不等式）（1） 若实数满足，则的最小值是 .（2） 已知，且，求的最小值。（3） 已知x，y为正实数，且x 21，求x的最大值.（4） 已知a，b为正实数，2baba30，求函数y的最小值.题型六：利用基本不等式证明不等式19、已知a, b都是正数，并且a ¹ b，求证：a5 + b5 > a2b3 + a3b219. 正数a，b，c满足abc1，求

6、证：(1a)(1b)(1c)8abc16（12分）设a>0, b>0，且a + b = 1，求证：题型七：均值定理实际应用问题：20. 某工厂拟建一座平面图形为矩形且面积为200m2的三级污水处理池（平面图如图），如果池外圈周壁建造单价为每米400元，中间两条隔墙建筑单价为每米248元，池底建造单价为每平方米80元，池壁的厚度忽略不计，试设计污水池的长和宽，使总造价最低，并求出最低造价。四.线性规划题型八：目标函数求最值21. 满足不等式组，求目标函数的最大值22、已知实系数一元二次方程的两个实根为、,并且,则的取值范围是 23、已知满足约束条件： ,则的最小值是24、已知变量（其

7、中a>0）仅在点（3，0）处取得最大值，则a的取值范围为 。25、已知实数满足如果目标函数的最小值为，则实数等于（ ）题型九：实际应用22. 某饼店制作的豆沙月饼每个成本35元，售价50元；凤梨月饼每个成本20元，售价30元。现在要将这两种月饼装成一盒，个数不超过10个，售价不超过350元，问豆沙月饼与凤梨月饼各放几个，可使利润最大？又利润最大为多少？易错点剖析1、抓住两边结构进行合理转化 抓住两边结构进行转化是不等式应用的重要一环，根据结论与条件，要想促使结论与条件的“沟通”，必须仔细分析结构特点，选用恰当的不等式或变式；例1、正数、 满足 =1， 的最大值 。分析（1）本题是求“积”

8、的最大值，常规是向“和”或“平方和”转化，并根据“和”或“平方和”是否是定值，做出选择。 （2）要利用=1，就必须去掉根号，因此要向“平方和”转化，那么应用变式也就顺理成章了。解： ， 当且仅当 即时取得“=”。 的最大值是 例2、已知正数、 满足 =1， 求 最小值；分析：将条件与结论放在一起，可以看出，要想从条件式推出结论式，必须完成从“和”向“平方和”的转化；若从结论入手转化，再利用条件，就必须完成从“平方和”向“和”的转化。显然，不管是由条件推出结论还是由结论转化再利用条件，都离不开变式。 解：， ， 当且仅当时取得“=。 最小值是 。注：转化中必要的“技术处理” 对均值不等式的应用，

9、除了要会从结构入手分析外，必要的“技术处理”还必须掌握如： “配系数”（将“”写成“”或“”）； “拆项”（将“”写成“”）； “加、减凑项”（将“”写成“ ” ）； “升降幂” （） 等都是常用的“技术处理”方法。例3、 已知 ，求证：分析：从结构特点和字母的次数看与变式吻合，可从此式入手。解： 若b>0,则， 由 + 。例4、已知 求 的最小值。分析：本题求“和”的最小值，但“积”并不是定值，故需要进行“拆项”变形等“技术处理”，注意到 ，容易找到解题的突破口解：由 ，于是=，当且仅当 即时取“=”的最小值是16。另外也可由 = = 来求得此最小值。二、 使用均值定理的注意事项（易错

10、提醒）1、 应用均值不等式求最值方便、快捷，但必须注意条件 “一正、二定、三相等”， 即涉及的变量都是正数， 其次是和（平方和）为定值或积为定值， 然后必须注意等号可以成立。 如的最小值是5 ； 但使用均值不等式容易误解为是4，因为不成立（不能取“=”）。2、 在使用均值不等式时，要注意它们多次使用再相加相乘的时候，等号成立的条件是否一致。如例4，要保证两次均值不等式的取等条件相同（同时满足）。3、 在使用均值定理求最值的时候，如果等号成立的条件不具备，应考虑用函数的单调性来解决。如求 的最小值，可利用函数的单调性来解决。三、 应用举例：循序渐进，学会变型（配套训练）1.求的最小值。 （ 2

11、）2.求的最大值。 （ ）3.求函数 的值域。 （ - 1 ， ） 不等式专题检测一、选择题： 1若，且，则下列不等式一定成立的是（ ）A BC . D2、若，则下列不等关系中不能成立的是 （ ）A B C D3若关于的不等式对任意恒成立，则实数的取值范围是 （ ）A B CD4已知实数x,y满足x2y21，则(1xy)(1xy)有 （ ）A最小值和最大值1 B最小值和最大值1C最小值和最大值 D最小值15设x > 0, y > 0, ， a 与b的大小关系（ ） Aa >b Ba <b Ca b Da b6若关于的不等式内有解，则实数的取值范围是（ ） A B CD7

12、若时总有则实数的取值范围是( ）ABCD8甲乙两人同时同地沿同一路线走到同一地点，甲有一半时间以速度m行走，另一半时间以速度n行走；有一半路程乙以速度m行走，另一半路程以速度n行走，如果m ¹ n，甲、 乙两人谁先到达指定地点（ ）A甲 B乙 C甲乙同时到达 D无法判断9设变量、满足约束条件，则目标函数的最小值为（ ）A B C D10.设f(x)是奇函数，对任意的实数x、y，有则f(x)在区间a,b上（ ）A有最大值f (a) B有最小值f (a) C有最大值 D有最小值第卷（非选择题，共100分）二、填空题： 11已知，求的取值范围 12若 13函数的值域为 14要挖一个面积为432m2的矩形鱼池，周围两侧分别留出宽分别为3m，4m的堤堰，要想使占地总面积最小，此时鱼池的长 、宽 15、下列四个命题中：a+b2 sin2x+4 设x，y都是正数，若=