惠州市高三第二次调研考试数学试题理科及答案与评分标准

1、惠州市2012届高三第二次调研考试数学试题(理科） （本试卷共4页，21小题，满分150分。考试用时120分钟）注意事项：1答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上。2选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上。3非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答的答案无效。 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分. 在每小

2、题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.1设集合，若，则（ ）A B C D2若其中，是虚数单位，则（ ）A3 B5 C-3 D-5 3“”是“”成立（ ）条件。A充分而不必要 B必要而不充分 C充要 D既不充分也不必要4已知等比数列中，且有，则( )A B C D 5已知回归直线的斜率的估计值是1.23，样本点的中心为(4,5)，则回归直线的方程是()A. B. C. D. 6若的展开式中的系数是80，则实数a的值为（ ） A-2 B C D27如图，正方体的棱长为，过点作平面的垂线，垂足为点，则以下命题中，错误的命题是（）点是的垂心 的延长线经过点 垂直平面 直线和所成角为8已知函数若则

3、（ ）ABCD与的大小不能确定二、填空题（本大题共7小题，分为必做题和选做题两部分每小题5分，满分30分）（一）必做题：第9至13题为必做题，每道试题考生都必须作答9已知中，则角等于_10如图，三个几何体，一个是长方体、一个是直三棱柱，一个是过圆柱上下底面圆心切下圆柱的四分之一部分，这三个几何体的主视图和俯视图是相同的正方形，则它们的体积之比为 是开始?输出结束否11. 右面框图表示的程序所输出的结果是_12若直线与圆有两个不同的公共点，则实数的取值范围为 13已知双曲线中心在原点，右焦点与抛物线的焦点重合，则该双曲线的离心率为_（二）选做题：第14、15题为选做题，考生只能选做其中一题，两题

4、全答的，只计前一题的得分。14（坐标系与参数方程选做题）曲线与直线有两个公共点，则实数的取值范围是_.15（几何证明选讲选做题）如图，在中，为直径，为 弦，过点的切线与的延长线交于点，且，则 =_三、解答题：本大题共6小题，满分80分解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤16（本小题满分分）已知函数，（1）求该函数的最小正周期和最小值；（2）若，求该函数的单调递增区间。17（本小题满分12分）某工厂2011年第一季度生产的A、B、C、D四种型号的产品产量用条形图表示如图，现用分层抽样的方法从中选取50件样品参加四月份的一个展销会： （1）问A、B、C、D型号的产品各抽取多少件？ （2）从A、C

5、型号的产品中随机的抽取3件，用表示抽取A种型号的产品件数，求的分布列和数学期望。50100150200产品型号产量（单位件）18（本小题满分14分）在如图所示的多面体中，平面，,，是的中点（1）求证：；（2）求平面与平面所成锐二面角的余弦值. 19（本小题满分14分）已知数列满足，且，为的前项和.（1）求证：数列是等比数列，并求的通项公式；（2）如果对于任意，不等式恒成立，求实数的取值范围.20（本小题满分14分）已知点是圆上任意一点，点与点关于原点对称。线段的中垂线分别与交于两点（1）求点的轨迹的方程；（2）斜率为的直线与曲线交于两点,若（为坐标原点），试求直线在轴上截距的取值范围21（本小

6、题满分14分）已知二次函数的图象经过点、与点，设函数在和处取到极值，其中，。（1）求的二次项系数的值；（2）比较的大小（要求按从小到大排列）；（3）若，且过原点存在两条互相垂直的直线与曲线均相切，求。惠州市2012届高三第二次调研考试理科数学参考答案与评分标准一选择题：共8小题，每小题5分，满分40分题号12345678答案CBAADDDB1【解析】由,得，从而，.选C.2【解析】由，选B3【解析】由得到，由得到，选A.4【解析】，所以选A5【解析】由条件知，设回归直线方程为，则.选D.6【解析】的展开式中含的项为，由题意得，所以.选D.7.【解析】因为三棱锥A是正三棱锥，故顶点A在底面的射影

7、是底面中心，A正确；平面平面，而AH垂直平面，所以AH垂直平面，C正确；根据对称性知B正确.选D.8【解析】函数的对称轴为,设，由得到，又，用单调性和离对称轴的远近作判断,故选B.二填空题：共7小题，每小题5分，满分30分其中1415题是选做题，考生只能选做一题9 10 111320 12 1314 159.【解析】根据正弦定理, 10.【解析】因为三个几何体的主视图和俯视图为相同的正方形，所 以原长方体棱长相等为正方体，原直三棱柱是底面为等腰直角三角形的直三棱柱，设正方形的边长为则，长方体体积为，三棱柱体积为，四分之一圆柱的体积为，所以它们的体积之比为11【解析】该程序框图的作用是计算的值。

8、12.【解析】圆心到直线的距离.13.【解析】抛物线焦点F（4，0）得 又得，故. 14【解析】曲线为抛物线段，借助图形直观易得。15.【解析】由条件不难得为等腰直角三角形，设圆的半径为1，则，。三、解答题16（本小题满分分）解：（1） 4分 所以 6分（2） 8分令，得到或， 10分与取交集, 得到或,所以，当时，函数的. 12分17（本小题满分12分）解：（1）从条表图上可知，共生产产品 50+100+150+200=500（件），样品比为所以A、B、C、D四种型号的产品分别取即样本中应抽取A产品10件，B产品20件，C产品5件，D产品15件。 4 分 （2） ， ， 8 分所以的分布列为

9、0123P 10 分 12 分18（本小题满分14分）（1） 解法1证明：平面，平面， 又，平面，平面. 2分过作交于，则平面.平面， . 4分，四边形平行四边形，又，四边形为正方形， 6分又平面，平面,平面. 7分平面,. 8分（2）平面，平面平面平面由（1）可知平面平面 9分取的中点，连结，四边形是正方形，平面，平面平面是二面角的平面角， 12分由计算得 13分平面与平面所成锐二面角的余弦值为.14分解法2平面，平面，平面，又,两两垂直. 2分以点E为坐标原点，分别为轴建立如图所示的空间直角坐标系.由已知得，（0，0，2），（2，0，0），（2，4，0），（0，3，0），（0，2，2），（

10、2，2，0）. 4分，6分, 7分. 8分（2）由已知得是平面的法向量. 9分设平面的法向量为，即，令,得. 12分设平面与平面所成锐二面角的大小为，则 13分平面与平面所成锐二面角的余弦值为. 14分19（本小题满分14分）解：（1）对任意,都有，所以则成等比数列,首项为，公比为2分所以，4分 （2）因为所以7分因为不等式，化简得对任意恒成立 8分设，则 当,为单调递减数列，当,为单调递增数列 11分,所以, 时, 取得最大值13分所以, 要使对任意恒成立，14分20（本小题满分14分）解：（1）由题意得，圆的半径为，且 1分从而 3分 点M的轨迹是以为焦点的椭圆, 5分其中长轴,得到,焦距，则短半轴椭圆方程为: 6分（2）设直线l的方程为,由 可得则,即 8分设,则由可得,即 10分整理可得 12分即化简可得,代入整理可得,故直线在y轴上截距的取值范围是 14分21（本小题满分14分）解：（1