《选修11：圆锥曲线的共质》教案

1、.适用学科高中数学适用年级高二适用区域苏教版区域课时时长分钟2课时知识点圆锥曲线的第二定义及其应用教学目的理解圆锥曲线的统一定义，掌握圆锥曲线的离心率、焦点、准线等概念教学重点理解并会运用圆锥曲线的共同性质，解决一些与圆锥曲线有关的简单几何问题和实际问题难点教学难点理解并会运用圆锥曲线的共同性质，解决一些与圆锥曲线有关的简单几何问题和实际问题难点【教学建议】本次课主要是对第二定义的理解。注意椭圆双曲线和抛物线的离心率的取值范围和最值问题。【知识导图】圆锥曲线的共同性统一定义椭圆抛物线双曲线焦点在x轴上的准线方程焦点在y轴上的准线方程椭圆双曲线抛物线椭圆双曲线抛物线教学过程一、导入【教学建议】教

2、材整理圆锥曲线的统一定义阅读教材P56“考虑以上的部分，完成问题探究1圆锥曲线的统一定义又称第二定义，那么第一定义与第二定义有哪些区别？【提示】椭圆、双曲线的第一定义突出了动点与两定点的间隔 关系，第二定义主要表现了动点与一定点和一条定直线的间隔 之比的关系，所以在选用两种定义时可根据题目条件的不同适中选择利用第一定义可以把到一个定点的间隔 转化为到另一点的间隔 ，利用第二定义可以把到定点与到定直线的间隔 互相转化，对于抛物线，第一定义与第二定义是一致的探究2在圆锥曲线的统一定义中，定点F和直线l是如何对应的？【提示】在统一定义中，圆锥曲线是椭圆或双曲线时，假设定点是左焦点，那么定直线是左准线

3、，假设定点是右焦点，那么定直线是右准线而抛物线只有一个焦点对应一条准线也就是说，定点F和定直线是“相对应的探究3利用圆锥曲线的统一定义，如何表示焦半径？【提示】根据定义e，那么PFede为离心率1椭圆的焦半径设Px0，y0是椭圆1ab0的一点，且F1是左焦点，F2是右焦点，那么PF1aex0，PF2aex0.2双曲线的焦半径设Px0，y0是双曲线1a0，b0的一点，且F1是左焦点，F2是右焦点，那么PF1|ex0a|，PF2|ex0a|.3抛物线的焦半径设Px0，y0是抛物线y22px的一点，F是焦点，那么PFx0.二、知识讲解考点1 第二定义1平面内到一个定点F和到一条定直线lF不在l上的间

4、隔 的比等于常数e的点的轨迹当0e1时，它表示双曲线；当e1时，它表示抛物线其中e是圆锥曲线的离心率，定点F是圆锥曲线的焦点，定直线l是圆锥曲线的准线考点2 准线方程2椭圆1ab0的准线方程为x，1ab0的准线方程为y.双曲线1a0，b0的准线方程为x，双曲线1a0，b0的准线方程为y.类型一 焦点和准线求圆锥曲线的方程例题1某圆锥曲线的准线是x1，在离心率分别取以下各值时，求圆锥曲线的标准方程：1e；2e1；3e.【解析】1离心率决定了它是椭圆，准线方程决定了它的焦点在x轴上，由1，解得c，a，b2，所求方程为1.2离心率决定了它是抛物线，准线方程决定了它的焦点在x轴负半轴上，1，可得y24

5、x.3离心率决定了它是双曲线，准线方程决定了它的焦点在x轴上，1，解得c，a，b2.所求方程为1.【教学建议】1本例中，由于要求的是圆锥曲线的“标准方程，其准线有固定公式，因此可直接列出根本量满足的关系式2焦点、准线及离心率，也可直接由e求出M点的轨迹方程类型二 用圆锥曲线的统一定义求轨迹例题2动点Px，y到点A0,3与到定直线y9的间隔 之比为，求动点P的轨迹解析法一：由圆锥曲线的统一定义知，P点的轨迹是椭圆，c3，9，那么a227，a3，e，与条件相符椭圆中心在原点，焦点为0，3，准线y9.b218，其方程为1.法二：由题意得整理得1.P点的轨迹是以0，3为焦点，以y9为准线的椭圆【教学建

6、议】解决此类题目有两种方法：一是定义法，二是直译法1是直接列方程，代入后化简整理即得方程.2是根据定义判断轨迹是什么曲线，然后确定其几何性质，从而得出方程.类型三 圆锥曲线统一定义的应用例题1A4,0，B2,2是椭圆1内的两个点，M是椭圆上的动点1求MAMB的最大值和最小值；2求MBMA的最小值及此时点M的坐标【解析】1如下图，由1，得a5，b3，c4.所以A4,0为椭圆的右焦点，F4，0为椭圆的左焦点因为MAMF2a10，所以MAMB10MFMB.因为|MBMF|BF2，所以2MBMF2.故102MAMB102，即MAMB的最大值为102，最小值为102.2由题意得，椭圆的右准线l的方程为x

7、.由图可知，点M到右准线的间隔 为MM，由圆锥曲线的统一定义，得e，所以MAMM.所以MBMAMBMM.由图可知，当B，M，M三点共线时，MBMM最小，即BM2.当y2时，有1，解得x舍去负值，即点M的坐标为故MBMA的最小值为，此时点M的坐标为【总结与反思】 1解答此类题目时，应注意式子中的系数特点，依此恰当地选取定义2圆锥曲线的统一定义，可以灵敏地将曲线上点到焦点的间隔 与到相应准线的间隔 进展转化，从而简化解题过程.类型四 圆锥曲线的统一定义例题椭圆C的一个焦点为F12,0，相应准线为x8，离心率e.1求椭圆的方程；2求过另一个焦点且倾斜角为45的直线截椭圆C所得的弦长【教学建议】1利用

8、统一定义求解；2利用焦点弦弦长公式求解【解析】1设椭圆上任一点Px，y，由统一定义得.两边同时平方，得4x22y28x2，化简得1.2设椭圆的另一个焦点为F22,0，过F2且倾斜角为45的直线方程为yx2，与椭圆1联立消去y，得7x216x320.设交点Ax1，y1，Bx2，y2，那么x1x2，ABAF2BF2aex1aex22aex1x224x1x2.四 、课堂运用基础1.1判断正确的打“，错误的打“1平面内到一个定点F和到一条定直线l的间隔 的比等于2的点的轨迹是双曲线2椭圆y21的准线方程是x.3双曲线离心率的取值范围是1，4圆锥曲线的准线与其对称轴垂直2.双曲线y21的准线方程为_3.

9、焦点坐标为F12,0，F22,0，那么准线方程为x的椭圆的标准方程为_. 4.双曲线1a0，b0的离心率为2，右准线为x，那么右焦点的坐标为_答案与解析1.【答案】12342. 【答案】x【解析】易知a215，b21，c2a2b216，即c4，那么双曲线的准线方程为x.3. 【答案】y21.【解析】由题意知c2，那么，故a25，所以b2a2c21，那么椭圆的方程为y21.4. 【答案】2,0【解析】据题意知解得a1，c2，那么右焦点的坐标为2,0巩固1.假设抛物线的顶点在原点，开口向上，F为焦点，M为准线与y轴的交点，A为抛物线上一点，且|AM|，|AF|3，求此抛物线的标准方程2.方程对应点

10、Px，y的轨迹为_. 3.双曲线1和点A4,1，F是双曲线的右焦点，P是双曲线上任意一点，求PAPF的最小值4.过双曲线1的右焦点F，且倾斜角为45的直线与双曲线交于A，B两点，求线段AB的长答案与解析1.【答案】【解析】设所求抛物线的标准方程为x22pyp0，设Ax0，y0，由题知|AF|3，y03，|AM|，x8，代入方程得，解得p2或p4.所求抛物线的标准方程为或2. 【答案】双曲线【解析】由,得.可看作动点Px，y到定点1,0的间隔 与到定直线xy10的间隔 比为1的轨迹方程，由圆锥曲线统一定义可知，轨迹为双曲线3. 【答案】3【解析】由双曲线的方程，知a2，b2，c4，离心率e2，右

11、准线的方程为x1，设点P到右准线的间隔 为d，由圆锥曲线的定义，有2，即PFd，如下图，过P作右准线的垂线，垂足为D，那么PAPFPAdPAPD，所以当P，A，D三点共线时，PAPD的值最小，为413.4. 【答案】.【解析】易知F5,0，那么直线的方程yx5.由得7x2160x5440.设Ax1，y1，Bx2，y2，那么x1x2.由圆锥曲线的统一定义，知AFedex1a，同理BFx2a，ABAFBF2a8.即AB的长为.拔高1.2019福建卷改编椭圆E：+=1ab0的右焦点为F，短轴的一个端点为M，直线l：3x-4y=0交椭圆E于A，B两点.假设AF+BF=4，点M到直线l的间隔 不小于，那

12、么椭圆E的离心率的取值范围是.2.在平面直角坐标系中，向量，向量，且.假设，那么动点的轨迹为.3.2019山东卷在平面直角坐标系xOy中，双曲线C1：-=1a0，b0的渐近线与抛物线C2：x2=2pyp0交于点O，A，B.假设OAB的垂心为C2的焦点，那么双曲线C1的离心率为.42019湖南卷设F是双曲线C：-=1a0，b0的一个焦点，假设双曲线C上存在一点P，使线段PF的中点恰好为双曲线C的虚轴的一个端点，那么双曲线C的离心率为.答案与解析1【解析】设左焦点为F1，连接AF1，BF1，那么四边形BF1AF是平行四边形，故AF1=BF，所以AF+AF1=4=，所以设M0，b，那么，故b1，从而

13、，所以0c23，即0c，所以椭圆E的离心率的取值范围是.2圆或椭圆【解析】因为向量，向量，且，所以当时，方程表示的是椭圆；当时，方程表示的是圆3【解析】双曲线C1：-=1的渐近线方程为y=x，那么A，B.抛物线C2：的焦点F，那么kAF=，即=，所以=e=.4【解析】根据对称性不妨设，虚轴端点为，从而可知点在双曲线上，所以-=1e=.五 、课堂小结六 、课后作业基础1.A2,0，B2,0，点Px，y满足,那么PAPB_.2.椭圆y21，那么以椭圆的左准线为准线的抛物线方程为_3.到点F2,0与直线x的间隔 的比等于2的曲线方程为_. 4.椭圆1上一点P到左焦点F1的间隔 为3，那么点P到左准线

14、的间隔 为_答案与解析1.【答案】2.【解析】点P到A2,0的间隔 与它到直线x3的间隔 之比为，点P的轨迹是椭圆，且，c2，a，故PAPB2a2.2. 【答案】y2x【解析】由椭圆的方程，知a24，b21，所以c23，即c，故椭圆的左准线方程为x，故所求抛物线的方程为y2x.3. 【答案】x21【解析】由圆锥曲线的统一定义可知，曲线为焦点在x轴上的双曲线，且c2，即a21，故b23，那么双曲线的方程为x21.4. 【答案】5【解析】由1，得a5，b4，c3，e.根据椭圆的第二定义得e.又PF13，d35，点P到左准线的间隔 为5.巩固1.过双曲线x21的左焦点F1作倾斜角为的弦AB，求ABF

15、2的周长F2为双曲线的右焦点2.椭圆E的中心在坐标原点，离心率为，E的右焦点与抛物线C：y28x的焦点重合，A，B是C的准线与E的两个交点，那么|AB|_.3.假设椭圆的左焦点到右准线的间隔 等于3a，那么双曲线的离心率为_4.设双曲线的右焦点为F3,0，P4，2是双曲线上一点，假设双曲线的右准线为，那么实数m的值是_答案与解析1.【答案】66.【解析】根据题意，得F12,0，F22,0，直线AB的方程为yx2.令Ax1，y1，Bx2，y2，由得2x24x70，x1x22，x1x2.6.由x1x20知，弦AB与双曲线左、右两支均相交，由焦半径公式，得AF2aex112x1，BF2ex2a2x2

16、1，AF2BF212x12x212x2x126.ABF2的周长为ABAF2BF266.2. 【答案】6【解析】抛物线y28x的焦点为2,0，椭圆中c2，又，a4，b2a2c212，从而椭圆方程为1.抛物线y28x的准线为x2，xAxB2，将xA2代入椭圆方程可得|yA|3，由图象可知|AB|2|yA|6.3. 【答案】【解析】由题意知，c3a，即a2c23ac，e23e10，解得e,4. 【答案】【解析】法一：由题意可知解得b2，a2，故右准线x，即m.法二：由题意PF3，根据椭圆的第二定义得e.又m，.c3，e2，m211m160，m，mb0恒过定点A1,2，那么椭圆的中心到准线的间隔 的最

17、小值为_答案与解析1.【答案】，【解析】设Px，y，左、右焦点分别为F1，F2，由椭圆方程，可得a10，b6，c8，e，那么PF1PF22a20.又3PF1PF2，PF15，PF215.设点P到两准线的间隔 分别为d1，d2，可得d1，d2.故点P到两准线的间隔 分别为，.2. 【答案】【解析】记实半轴、虚半轴、半焦距的长分别为a，b，c，离心率为e，点P到右准线l的间隔 为d，那么a4，b3，c5，e，右准线l的方程为x.假如P在双曲线右支上，那么PF1PF22aed2a.从而，PF1PF2ed2aed2ed2a2d，这不可能；故P在双曲线的左支上，那么PF2PF12a，PF1PF22d.两式相加得2PF22a2d.又PF2ed，从而edad.故d16.因此，P的横坐标为16.3. 【答案】【解析】设椭圆离心率为e，Mx，y为椭圆上任一点，由统一定义e，得,整理得x32y12e2x2.直线l的倾斜角为60，直线l的方程为y1x3，联立得4e2x224x360.设Ax1，y1，Bx2，y2，由韦达定理得x1x2，ABex1x2e，e，椭圆的方程为x32y12x2，即4. 【答案】2，【解析】a4，b2，c2，离心率e.A点在椭圆内，设M到右准线的间隔 为d，那么e，即MFedd，右准线l：x8，AM2MFAMd.A点