大学物理第11章1

1、弹性介质弹性介质传播机械振动的介质传播机械振动的介质( (弹性力弹性力) )。说明说明：波动是波源的：波动是波源的振动状态振动状态或或振动能量振动能量在介质中的传在介质中的传播，播，介质的质点并不随波前进介质的质点并不随波前进。波源波源产生机械振动的振源。产生机械振动的振源。机械波机械波：机械机械振动振动( (波源波源) )在在弹性弹性介质介质中的中的传播过程形成传播过程形成的波动。的波动。 1 1、横波：、横波：质点的振动方向和波的传播方向垂直。质点的振动方向和波的传播方向垂直。2 2、纵波：、纵波：质点的振动方向和波的传播方向平行。质点的振动方向和波的传播方向平行。注注: :疏密相间疏密相

2、间的纵波波形的纵波波形在在固体固体中可以传播中可以传播横波或纵波横波或纵波，在，在液体液体、气体气体中只能中只能传播传播纵波纵波。 波谷波谷波峰波峰波密波密波疏波疏3 3、特征、特征（1 1）横波）横波（2 2）纵波）纵波振动方向振动方向传播方向传播方向振动方向振动方向传播方向传播方向4 4、简谐波、简谐波定义定义：简谐振动在空间的传播。简谐振动在空间的传播。特点特点:每个质元在平衡位置附近作每个质元在平衡位置附近作, ,而振动状而振动状态以一定的速度态以一定的速度由近及远传播由近及远传播。 注意：简谐振动不是振动质点在空间的传播！波线：波线：沿波的传播方向作的一些带箭头的线。波线的沿波的传播

3、方向作的一些带箭头的线。波线的指向表示波的传播方向。指向表示波的传播方向。波阵面波阵面：在波动过程中，把振动相位相同的点连成的在波动过程中，把振动相位相同的点连成的面面( (简称波面简称波面) )。波前波前：在任何时刻，波面有无数多个，在任何时刻，波面有无数多个，最前方的波面最前方的波面即是波前即是波前。波前只有一个。波前只有一个。平面波：平面波：波面为平面波面为平面球面波：球面波：波面为球面波面为球面波面波面波线波线波线波线波波面面平面波平面波球面波球面波波波线线波波阵阵面面波波阵阵面面波波线线1 1、在各向同性介质中传播时，波线和波阵面垂直。、在各向同性介质中传播时，波线和波阵面垂直。2

4、2、在远离波源的球面波波面上的任何一个小部分，都可、在远离波源的球面波波面上的任何一个小部分，都可视为平面波。视为平面波。 说明说明yxO波长：波长：同一波线上两个相邻的振动状态相同的质点之间同一波线上两个相邻的振动状态相同的质点之间的距离。（的距离。（反映了波的空间周期性反映了波的空间周期性）ytOT周期：周期：波传过一个波长的时间，或一个完整的波通过波波传过一个波长的时间，或一个完整的波通过波线上某点所需的时间。（线上某点所需的时间。（反映了波的时间周期性反映了波的时间周期性）同一时刻，不同一时刻，不同质点的位移同质点的位移同一质点同一质点, ,不不同时刻的位移同时刻的位移l波速：波速：单

5、位时间内单位时间内一定的振动状态一定的振动状态所传播的距离所传播的距离，用用 表示，又称表示，又称相速相速。ul波速、周期和波长关系：波速、周期和波长关系：uTl频率：频率：单位时间内波推进的距离中所包含的完整波单位时间内波推进的距离中所包含的完整波长的数目。长的数目。频率和周期决定于波源；频率和周期决定于波源；波速决定于介质。波速决定于介质。注意：注意：波长由波源和媒质共同决定。波源一定，发出波长由波源和媒质共同决定。波源一定，发出波通过不同媒质，波速和波长都不同。波通过不同媒质，波速和波长都不同。例例11-1频率为频率为3000Hz的声波，以的声波，以1560m/s的传播速度沿一的传播速度

6、沿一波线传播，经过波线上的波线传播，经过波线上的A点后，再经点后，再经13cm而传至而传至B点。点。求求(1)B点的振动比点的振动比A点落后的时间。点落后的时间。(2)波在波在A、B两点振动两点振动时的相位差是多少？时的相位差是多少？(3)设波源作简谐振动，振幅为设波源作简谐振动，振幅为1mm，求振动速度的幅值，是否与波的传播速度相等？求振动速度的幅值，是否与波的传播速度相等？解解: :(1)(1)波的周期波的周期11s3000T波长波长0.52m52cmuB点比点比A点落后的时间为点落后的时间为310.13m1s1.56 10 m s12000，即即4T(2)(2)A、B 两点差两点差 ，B

7、点比点比A点落后的相差为点落后的相差为4 242(3)(3)振幅振幅 A=1mm，则振动速度的幅值为，则振动速度的幅值为1m30.1cm 3000s21.88 10 cm/s18.8m/svA振动速度幅值为振动速度幅值为18.8m/s，远小于波速。，远小于波速。（ ）角波数角波数2k11-2 11-2 平面简谐波的波函数平面简谐波的波函数一、波函数一、波函数用数学函数式表示介质中质点的振动状态随时间变化关系用数学函数式表示介质中质点的振动状态随时间变化关系()()()r tf r tf x y z t ， ，二、平面简谐波的波函数二、平面简谐波的波函数x xy y只要知道了与波面垂直的任一波线

8、上只要知道了与波面垂直的任一波线上的波的传播规律，就可知道整个平面的波的传播规律，就可知道整个平面波的传播规律。波的传播规律。任一时刻处在同一波面上的各点具任一时刻处在同一波面上的各点具有相同的振动状态有相同的振动状态( (位移和速度位移和速度) )。波动方程波动方程：描述介质中各质点的位移随时间的变化关系。描述介质中各质点的位移随时间的变化关系。如何表示在波传如何表示在波传播方向上任意位播方向上任意位置（置（x）处质点）处质点P在任意时刻（在任意时刻（t）的振动方程？的振动方程？三、波函数的建立三、波函数的建立若已知若已知 O 点振动表达式：点振动表达式：y 表示波传播方向上表示波传播方向上

9、x处各质点在处各质点在 y 方向上的位移；方向上的位移；0 为为O 点在点在t = 0 时的相位。波速沿时的相位。波速沿 x 正向。正向。)cos(0 tAyoo xuyxP 波沿波沿x 轴正方向传播轴正方向传播)(cos),(0 uxtAtxy0)( tt因此可以用因此可以用O点在点在t - t 时刻的振动状态来表示时刻的振动状态来表示 P 点点在在 t 时刻的运动方程：时刻的运动方程：t-t 时刻时刻 O 点的振动状态恰好点的振动状态恰好为为 t 时刻时刻 P 点的振动状态。点的振动状态。o xuyxPO点振动状态动传到点振动状态动传到P 点需用的时间为：点需用的时间为： uxt 即即P

10、点振动比点振动比O 点落后时间。点落后时间。)(cos),(0 uxtAtxy2)cos(),(0 xtAtxy 或：或： 22 T uuT 注意：注意：沿正向传播的波求法：沿正向传播的波求法：xttu即即P 点的相位落后于点的相位落后于O 点相位：点相位： 。2xo xuyxPo xuyxP 波沿波沿x 轴负方向传播轴负方向传播若已知若已知 O 点振动表达式：点振动表达式：)cos(0 tAy思考：如何表示在波传播方向上任意位置思考：如何表示在波传播方向上任意位置（x）处质点）处质点P在任意时刻（在任意时刻（t）的振动方程？）的振动方程？o xuyxP注意：注意：沿沿x 负方向传播的波函数的

11、求法：负方向传播的波函数的求法：xttu)(cos),(0 uxtAtxyP点振动传到点振动传到 O 点需用时间：点需用时间： uxt 用用O点在点在t + t 时刻的振动状态来表示时刻的振动状态来表示P点在点在t 时刻的时刻的运动方程：运动方程：uu沿沿x x轴轴正正方向方向传播传播沿沿x x轴轴负负方向传播方向传播P点点落后落后O点点xuxuP点点超前超前O点点OxyPOxyP t = t +xu时间时间时间时间波函数波函数: : 0( , )cos ()xy x tAtuxttu 四、波动方程的物理意义：四、波动方程的物理意义： x 确定时（确定时（x = x0）为该处质点的振动方程）为

12、该处质点的振动方程, 对应对应曲线为该处质点曲线为该处质点振动曲线振动曲线;x 确定时确定时tyotp)(cos),(0 uxtAtxy)(cos00 uxtAy)cos( tA t 确定时（确定时（t = t0）为该时刻各质点位移分布）为该时刻各质点位移分布, 对应曲线为该时刻对应曲线为该时刻波形图波形图;xxuyopt 确定时确定时)(cos),(0 uxtAtxy)(cos00 uxtAy t, x 都变化时都变化时, 表示不同时刻表示不同时刻,不同平衡位置处各质不同平衡位置处各质元的位移情况元的位移情况 行波行波。 波形曲线波形曲线(波形图波形图)t + t x=u txuyotv 不

13、同时刻对应有不同的波形曲线不同时刻对应有不同的波形曲线;v 波形曲线能反映横波、纵波的位移情况波形曲线能反映横波、纵波的位移情况.平面简谐波的波函数：平面简谐波的波函数：)(cos0uxtAy22TuT试结合上述波函数形式、以及波动方程中相关试结合上述波函数形式、以及波动方程中相关物理参数之间关系，推导出波函数的其它表达物理参数之间关系，推导出波函数的其它表达形式？形式？0cos 2()txyAT0cos 2()xyAt0cos(),yAtkx02cos()xyAt平面简谐波的波函数其它形式：平面简谐波的波函数其它形式：例例1 已知已知A点振动方程为点振动方程为 。求下列情况下的。求下列情况下

14、的波函数波函数， 1）以）以A点为原点。点为原点。 2）以）以B点为原点。点为原点。3）以）以C点为原点为原点。点。)cos(tAyPxyxAu)(cos uxtAy)(cos ulxtAy解：解：PxyxAluB)(cos ulxtAyPxyxAluC例例11-2 11-2 频率为频率为12.5kHz的平面余弦波沿细长的的平面余弦波沿细长的金属棒传播，波速为金属棒传播，波速为35.0 10 m/s。如以棒上某点取为如以棒上某点取为坐标原点，已知原点处质点振动的振幅为坐标原点，已知原点处质点振动的振幅为0.1mmA，试求试求：（：（1 1）原点处质点的振动表达式；）原点处质点的振动表达式；（2

15、 2）波函数；）波函数；（3 3）离原点）离原点10cm10cm处质点的振动表达式；处质点的振动表达式；（4 4）离原点）离原点20cm20cm和和30cm30cm处质点的振动相位差；处质点的振动相位差；（5 5）在原点振动）在原点振动0.0021s0.0021s时的波形。时的波形。解：解：0.40mu波长波长周期周期518 10sT （1 1）原点处质点的振动表达式）原点处质点的振动表达式330cos0.1 10cos(25 10 )myAtt（2 2）波函数）波函数cos()xyAtu3330.1 10cos 25 10 () m5 10 xt（3 3）原点）原点10cm10cm处质点的振

16、动表达式处质点的振动表达式33410.1 10cos 25 10 ()5 10yt330.1 10cos 25 10 m2t（4 4）两点间距离）两点间距离10cm0.10m4x 相位差相位差2（5 5）时的波形时的波形0.0021st 3330.1 10cos 25 10 (0.0021)5 10 xy30.1 10sin5 mxxyO30.1 100.4解解: 1) 若以若以A为原点，则有为原点，则有:ty 4cos30 x 处处 t 时刻的振动时刻的振动 , 与与 A 处处 t + x / u 时刻的振动相同时刻的振动相同, 因而因而 x 处的振动为处的振动为:)(4cos3uxty )

17、()20(4cos3SIxt px例例2如图如图,一平面波在介质中以速度一平面波在介质中以速度u = 20 m / s 沿沿x 轴负轴负方向传播方向传播,已知已知A 点振动方程为点振动方程为: y = 3 cos 4t ( SI ) 1)以以A点为坐标原点写出波动方程点为坐标原点写出波动方程( 波函数波函数)。 2)以距以距A点点5m 处的处的B 点为坐标原点点为坐标原点 , 写出波动方程。写出波动方程。uAxB2) 以以B 点为坐标原点点为坐标原点,设设 A 处坐标为处坐标为 xA , t 时刻时刻A点振点振动方程为动方程为tyA 4cos3 P 处质元的振动与处质元的振动与A 处处uxxt

18、A时刻的振动相同，故时刻的振动相同，故:)(4cos3uxxtyA )20520(4cos3 xt )()20(4cos3SIxt 解题要点解题要点 : 沿波的传播方向上各点的相位依次落后！沿波的传播方向上各点的相位依次落后！pxBuAx例例3 一平面余弦波一平面余弦波,波线上各质元的振幅和角频率分别波线上各质元的振幅和角频率分别为为A和和,波沿波沿x轴正向传播轴正向传播,波速为波速为u，设某一瞬时的波设某一瞬时的波形如图所示形如图所示,并取图示瞬时为计时起点。并取图示瞬时为计时起点。1) 分别以分别以O和和P为坐标原点为坐标原点,写出该波的波函数。写出该波的波函数。2) 确定在确定在t = 0 时刻，距点时刻，距点O 分别为分别为x =/8 和和 =3/8 两处质元振动速度的大小和方向。两处质元振动速度的大小和方向。xyu yOP时时的的波波形形0t解解: 1) 取取O点为坐标原点，设点为坐标原点，设O点振动方程为点振动方程为:)cos(0 tAyo其中其中: ,A为已知为已知,现求现求0,由图知由图知, t = 0 时时,)2cos( tAyo0cos00 Ay0sin00 Av2/0由矢量法可得：由矢量法可得：2波函数为波函数为:2)(cos uxtAyxyuO时时的的波波形形0t若取若取P 点为坐标原点，点点为