极坐标与参数方程知识点及题型归纳总结

1、极坐标与参数方程知识点及题型归纳总结知识点精讲一、极坐标系在平面上取一个定点 0,由点0出发的一条射线 Ox、一个长度单位及计算角度的正方向（通常取逆时针方向），合称为一个极坐标系点0称为极点，Ox称为极轴平面上任一点 M的位置可以由线段0M的长度 和从Ox到0M的角度 （弧度制）来刻画（如图16-31和图16-32所示）.这两个实数组成的有序实数对）称为点M的极坐标.称为极径，称为极角.二、极坐标与直角坐标的互化设M为平面上的一点，其直角坐标为（x, y），极坐标为（,），由图16-31和图16-32可知，下面的关系式成立COSx2sinta n50)(对x0也成立）极坐标的几何意义r表示以

2、0为圆心，r为半径的圆;0 表示过原点（极点）倾斜角为0的直线，0（0）为射线;2acos表示以（a,0）为圆心过0点的圆.（可化直角坐标2a cosx2 y2 2 ax (x a)2 y2 a2.)四、直线的参数方程直线的参数方程可以从其普通方程转化而来，设直线的点斜式方程为y y k（x X。），其中k tan （为直线的倾斜角），代人点斜式方程y。sin , (x cosx°)(2）,即x X°cosy y。sin记上式的比值为t ,整理后得x x0 t cos y y° tsi n2也成立，故直线的参数方程为x x t cosuujiun(t为参数，为倾斜

3、角，直线上定点M0(Xo,y0)，动点M(x,y) , t为M0M的数量,y Yq tsin向上向右为正(如图16-33所示).16-33五、圆的参数方程若圆心为点M(Xq,Yq)，半径为r，则圆的参数方程为XqYqr cos.(Q r sin2 ).六、椭圆的参数方程2 2x y椭圆C ： r 21的参数方程为a ba cosbsi n为参数，(Q七、双曲线的参数方程2 2双曲线C寺殳1的参数方程为x asecy bta n尹Z).八、抛物线的参数方程x抛物线y2 2px的参数方程为y2 pt ( t为参数，参数2ptt的几何意义是抛物线上的点与顶点连线的斜率的倒数)题型归纳即思路提示题型1

4、极坐标方程化直角坐标方程思路提示对于极坐标方程给出的问题解答一般都是通过化为直角坐标方程，利用直角坐标方程求解.这里需注意的是极坐标系与直角坐标系建立的对应关系及其坐标间的关系xcosysin例16.7在极坐标系中，圆4sin 的圆心到直线一( R )的距离是6分析将极坐标方程转化为平面直角坐标系中的一般方程求解解析极坐标系中的圆4s in 转化为平面直角坐标系中的一般方程为2 2 2 2x y 4y，即x (y 2)4，其圆心为(0,2)，直线转化为平面直角坐标系中的方程6为：y上3x，即x 3 0.圆心(0,2)到直线x 3 0的距离为|0 2,31, 3.3变式1已知曲线Ci,C2的极坐

5、标方程分别为cos 3， 4cos ，(0,0)，则曲线Cl与C2交点的极坐标为2变式2 O 01和O 02的极坐标方程分别为4cos , 4sin(1)把O Oi和O 02的极坐标方程分别化为直角坐方程 求经过O Oi和O 02交点的直线的直角坐标方程变式3 已知一个圆的极坐标方程是5 ._ 3cos 5sin，求此圆的圆心和半径例16.8极坐标方程(1)() 0(0)表示的图形是()A.两个圆 B.两条直线 C. 一个圆和一条射线D.一条直线和一条射线分析将极坐标方程化为直角坐标方程.解析因为(1)()0(0)，所以1或(0).1、x2y21，得 x2y21,表示圆心在原点的单位圆；(0)

6、表示x轴的负半轴,疋条射线.故选C.变式1极坐标方程cosx1 t和参数方程(t参数)所表示的图形分别是()y 2 3tA.圆、直线B.直线、圆C.圆、圆 D.直线、直线变式2在极坐标系中，点 P(2,)到直线l : sin()1的距离是66变式3直线2 cos1与圆2cos相交的弦长为题型2直角坐标方程化为极坐标方程 思路提示如果题目中已知的曲线为直角坐标方程，而解答的问题是极坐标系下的有关问题，这里要利用直角x cos坐标与极坐标关系式，将直角坐标方程化为极坐标方程y sin例16.9 在直角坐标系xOy中，圆C1 : x2 y2 4，圆C2: (x 2)2 y2 4.(1)在以O为极点，

7、x轴为极轴的极坐标系中，分别写出圆C1;C2的极坐标方程，并求出圆C1;C2的交点坐标(用极坐标表示)；(2)求出G与C2的公共弦的参数方程解析 （1 ）圆Ci的极坐标方程为2，圆C2的极坐标方程为4cos解得4cos,故圆Ci与圆C2的交点的坐标为（2,）,（2,-）.333注：极坐标系下点的表示不唯一x cos（2）解法一：由，得圆Ci与圆C2的交点的坐标分别为y sin（1,j3）,（1, J3）.故圆Ci与C2的公共弦的参数方程为 1（3 t . 3）.C的极坐标方程为_ 参数方程化普通方程y t解法二1：将x 1代入xycos得 cos1，从而sin1cos于是圆G与C2的公共弦的参

8、数方程为x 1(_y tan3曲线c的直角坐标方程为变式12 xy2 2x 0，以原点为极点，x轴的正半轴为极抽建立极坐标系,则曲线题型3思路提示性质问题一般要通过消参（代入法、加减法，三角法已知直线或曲线的参数方程讨论其位置关系、转化为普通方程解答例16.10 若直线3x4ym 0与圆1 cos一（ 为参数）没有公共点，则实数 m的取值范围2 sin解析将圆的参数方程1 cos(2 sin为参数）化为普通方程（x 1）2(y2)21，圆心(1, 2)，半径1.直线与圆无公共点，则圆心到直线的距离大于半径,|3 8 m|5|m 5| 5，得 m 10或即m的范围是（，0）U（10,）.变式x在

9、平面直角坐标系 xOy中，直线I的参数方程yt 3 (参数3 tR ），圆C的参数方程为x 2cosy 2si n（参数20,2 ），则圆C圆心坐标为，圆心到直线I的距离为变式2（2013湖北理16）在庄角坐标系xOy中，椭圆C的参数方程x acos(y bsi n为参数，a b 0），在极坐标系（与直角坐标系xOy取相同的长度单位，且以原点 O为极点，以x轴正半轴为极轴）中，直线I与圆O的极坐标方程分别为sin（ ）4#m（m为非零数）与b.若直线l经过椭圆C的焦点,且与圆0相切，则椭圆C的离心率为变式3参数方程sinsincos（是参数）的普通方程是cos例16.11已知动圆C:x2y2

10、2ax cos 2bysin 0（ a, b是正常数，a b，是参数），则圆心的轨迹是解析由动圆C : x22ax cos2bys in0 得(x a cos )2(ybsi n)2a2 cos2b2 sin2圆心坐标为（acos ,bsin ）（ 为参数），设x acos ，ybsin1为所求轨迹方程，所以圆心的轨迹是椭圆变式1方程x 3t2y t212(05）表示的曲线是（A.线段B.双曲线的一支 C. 圆弧D.射线变式2x已知直线C1 :y1 t costsin（t为参数），C2cos(1)当亍时，求C1与C2的交点坐标;sin（为参数） 过坐标原点O作G的垂线，垂足为 A，P为OA的中

11、点当变化时，求点P轨迹的参数方程，并指出它是什么曲线题型4普通方程化参数方程思路提示对于直线与圆锥曲线方程化为参数方程问题实质是引入第三个变量的换元法，这里有代数换元（如抛x物线y 2px的参数方程y2 pt2x2y2x）或三角换兀（如椭圆 一2 -2 1的参数方程2 pta2b2ya cos)bsi n例16.12在平面直角坐标系2xOy中，设P（x, y）是椭圆 y21上的一个动点，求3x y的最大分析利用椭圆的参数方程,建立x,y与参数 的关系，运用三角函数最值的求法，求解xy的最大值.解析2w点P（x, y）是椭圆y2 1上的一个动点，则3y sinx 3 cos （为参数），0,2

12、，则x y.3 cossin2sin() ,0,2 ，故3(x y)max 2 .变式1 已知点P(x, y)是圆x2 y2 2y 0上的动点.(1) 求2x y的取值范围；(2) 若x y a 0恒成立，求实数a的取值范围.变式2 直线|过P(1,1)，倾斜角 一.6(1) 写出I的参数方程；(2) I与圆x2 y24相交于 代B两点，求P到代B两点的距离之积变式3已知抛物线C : y2 4x，点M(m,0)在x轴的正半轴上，过 M的直线I与C相交于 代B两点,O为坐标原点(1)若m 1时，I的斜率为1,求以AB为直径的圆的方程；(2)若存在直线|使得| AM |,| OM |,| MB |

13、成等比数列，求实数 m的取值范围题型5参数方程与极坐标方程的互化思路提示参数方程与极坐标方程的互化问题，需要通过普通方程这一中间桥梁来实现，先将参数方程(极坐标 方程)化为普通方程，再将普通方程化为极坐标方程(参数方程)例 16.13已知曲线C的参数方程为2 cost、2 sin t(t为参数)，C在点(1,1)处的切线为I，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，则I的极坐标方程为分析 把曲线C的参数方程化为普通方程，求出切线I的普通方程，然后把求出的直线 I的普通方程化为极坐标方程解析由sin2t cos2t 1得曲线C的普通方程为x2y22，过原点O及切点(1,1)的直线的斜率

14、为1，故切线I的斜率为 1，所以切线I的方程为y 1(x 1)，即 x y 20.把 xcos ，ysin代入直线I的方程可得 cos sin 20，即2 sin( )20，化简得sin( ). 2 .44x t变式1 设曲线C的参数方程为2 ( t为参数)，若以直角坐标系的原点为极点，x轴的正半轴为极y t2轴建立极坐标系，则曲线 c的极坐标方程为.有效训练题1.极坐标方程cos2sin 2表示的曲线为(2.2（sin cos ）的圆心的一个极坐标是（A. 一条射线和一个圆B.两条直线C.一条直线和一个圆D. 一个圆5.过点A（2,3）的直线的参数方程为t （ t为参数），若此直线与直线2t

15、0相交于点B，A. ( .2, .2)3B.(2,)C.(2, 3 )44D.3.在极坐标系中，若等边厶ABC的两个顶点是A（2,） , B（2,5-）.那么顶点C的坐标可能是（)44人3代(4,)4B(2/3,)C.(/3,4)D.(3,)xtsin50o 14.直线的参数方程为（t为参数），则直线的倾斜角为（）yt cos50A. 40°B.50oC.140oD.130o2.圆)则|AB|=（）A. -/5B.2,5C.3.5D.x6.设曲线C的参数方程y3cos1 3si n为参数），直线I的方程为3y则曲线C上到直线l的距离为好的点的个数为（）A. 1B.C.D.7.已知直线l的极坐标方程为sin（ -）乎，圆M的参数方程为2cos2sin为参数），则圆M上的点到直线l的最短距离为8.在平面直角坐标系xOy中，曲线G和C2的参数方程分别为y5 cos、5sin为参数，21 t2( t为参数)_2 t2，贝V曲线G与C2的交点坐标为2x 2 pt9.已知抛物线的参数方程为N （t为参数），其中p 0,焦点为F，准线为I，过抛物线上一y 2pt点M作准线I的垂线，垂足为E ,若| EF | | MF |，点M的横坐标是3，贝U p =.2 10.在极坐标系中,O为极点，已知