强大导数知识点各种题型归纳方法总结

1、导数的基础知识导数的定义:1.(1).函数 y f (x )在乂x0 处的导数:f '(-0)y'|-冷讥f(X°x) f(X°)f(x X)f(x)X 0X求函数的增量:yf (xox) f (x0)；求平均变化率:f(Xox) f(x°).；取极限得导数:yf'(x0)讥二(2).函数 y f (x)的导数:f '(x) y' lim2. 利用定义求导数的步骤:(下面内容必记)二、导数的运算:(1) 基本初等函数的导数公式及常用导数运算公式:C' 0(C为常数):(xn)'n 1/ 1 i /nx ；(匚

2、)(xxn)'nnx(卩显)'mn(x )'m 1 m -xn(sin x)' cosx ；(cosx)'sin x(ex)'(ax)'ax ln a(a 0,且a 1)；1(ln x)'x(log a x)'-(a0,且 a 1)法则1： f(x)g(x)'f'(x) g'(x)；(口诀：和与差的导数等于导数的和与差).法则2： f(x)g(x)'f '(x) g(x) f (x) g'(x)( 口诀：前导后不导相乘，后导前不导相乘，中间是正号)法则g(x)23：単f

3、9;(x)g(x) f；x) g'(x)(g(x)0)g(x) 5(口诀：分母平方要记牢，上导下不导相乘，下导上不导相乘，中间是负号(2)复合函数y f(g(x)的导数求法：换元，令u g(x)，则y f (u)分别求导再相乘 y' g(x) ' f(u)'回代u g(x) 题型一、导数定义的理解题型二：导数运算 已知1、2x x 2xsin，则f 02、exsinx，贝卩 f3.f (x) =ax3+3x2+2 , f (1)4，则 a=10B.13三3导数的物理意义c.16D.1931.求瞬时速度：物体在时刻to时的瞬时速度Vo就是物体运动规律 S f t在

4、t to时的导数f t0，即有V0f t0 。=s/(t) 表示即时速度。a=v/(t)表示加速度。四.导数的几何意义:函数f x在X。处导数的几何意义，曲线y f X在点P X。，f Xo处切线的斜率是k f Xo 。于是相应的切线 方程是：y y0 f Xo x Xo。题型三用导数求曲线的切线注意两种情况：(1) 曲线y f x在点PXd，fx0处切线：性质：k切线fXd。相应的切线方程是：yy0fx0xXo(2) 曲线y f x过点P Xo,yo处切线：先设切点， 切点为Q(a,b),则斜率k= f '(a)，切点Q(a,b)在曲线 y f x上，切点Q(a,b)在切线y y&#

5、176; f a x Xo上，切点Q(a,b)坐标代入方程得关于 a,b的方程组，解方 程组来确定切点，最后求 斜率k= f '(a)，确定切线方程。例题在曲线y=x3+3x2+6x-10的切线中，求斜率最小的切线方程；解析：(1)ky'Lx。3xo26xo 6 3(xo1)23 当xo=-1时，k有最小值3,此时P的坐标为(-1 , -14 )故所求切线的方程为3x-y-11=O五函数的单调性：设函数y f(x)在某个区间内可导，(1) f '(x) Of(x)该区间内为增函数；(2) f '(x) Of(x)该区间内为减函数；注意：当f'(x)在某个

6、区间内个别点处为零，在其余点处为正(或负)时，f(x)在这个区间上仍是递增(或递减)的。(3) f (x)在该区间内单调递增f'(x) O在该区间内恒成立；(4) f (x)在该区间内单调递减f'(x) O在该区间内恒成立； 题型一、利用导数证明(或判断)函数 f(x)在某一区间上单调性：步骤： (1)求导数 y f (x)(2) 判断导函数y f (x)在区间上的符号(3) 下结论 f '(x) Of (x)该区间内为增函数； f '(x) Of (x)该区间内为减函数；题型二、利用导数求单调区间求函数yf (x)单调区间的步骤为：(1)分析 y f (x)的

7、定义域；(2)求导数 y f (x)(3) 解不等式f (x)0 ,解集在定义域内的部分为增区间(4) 解不等式f (x) O，解集在定义域内的部分为减区间题型三、利用单调性求参数的取值(转化为恒成立问题)思路一 .(1) f (x)在该区间内单调递增f'(x) O在该区间内恒成立；(2) f (x)在该区间内单调递减f '(x) O在该区间内恒成立；思路二.先求出函数在定义域上的单调增或减区间，则已知中限定的单调增或减区间是定义域上的单调增或减区间的子集。注意：若函数f (乂)在(a, c)上为减函数，在(c, b) 上为增函数，则x=c两侧使函数f (x)变号，即x=c为函

8、 数的一个极值点，所以 f'(c)0In x例题若函数 f (X)，若 a f(3),bf(4),cf(5)则()六、函数的极值与其导数的关系：1. 极值的定义：设函数 f(X)在点x0附近有定义，且若对 x0附近的所有的点都有 f(x) f(x0)(或f (x)f(x0), 则称f(Xo)为函数的一个极大(或小)值， X。为极大(或极小)值点。 可导数f(x)在极值点X。处的导数为0(即f'(x。) 0 )，但函数f(x)在某点xo处的导数为0，并不一定函数f(x)在 该处取得极值(如 f (x) x3在x0 0处的导数为0,但f (x)没有极值)。 求极值的步骤：第一步：求

9、导数f'(x)；第二步：求方程f '(x)0的所有实根；第三步：列表考察在每个根X。附近，从左到右，导数 f '(X)的符号如何变化，若f '(X)的符号由正变负，则f(x0)是极大值；若f '(X)的符号由负变正，贝yf(x0)是极小值；若f '(X)的符号不变，则f (X0)不是极值，X0不是极值点。2、函数的最值： 最值的定义：若函数在定义域 D内存X0,使得对任意的x D，都有f (x) f (x0),(或f(x) f(x0)则称f (x0)为函数的最大(小)值，记作ymaxf (X0)(或yminf(X°) 如果函数y f (

10、X)在闭区间a,b上的图象是一条连续不间断的曲线，则该函数在闭区间a,b上必有最大值和最小值。 求可导函数f (X)在闭区间a,b上的最值方法：第一步；求f (x)在区间a,b内的极值；第二步：比较f (x)的极值与f (a)、f (b)的大小：第三步：下结论：最大的为最大值，最小的为最小值。注意：1、极值与最值关系：函数的最值是比较整个定义域区间的函数值得出的，函数的最大值和最小值点可以在极值点、不可导点、区间的端点处取得。极值工最值。函数f(x)在区间a,b上的最大值为极大值和 f(a) 、f(b)中最大的一个。最小值为极小值和f(a) 、f(b)中最小的一个。2. 函数在定义域上只有一个

11、极值，则它对应一个最值(极大值对应最大值；极小值对应最小值)13、 注意：极大值不一定比极小值大。如f(x) x 的极大值为 2，极小值为2。x注意：当X=X0时，函数有极值f /(X0)= 0。但是，f (X 0) = 0不能得到当X=X0时，函数有极值；判断极值，还需结合函数的单调性说明。题型一、求极值与最值题型二、导数的极值与最值的应用题型四、导数图象与原函数图象关系导函数原函数f'(X)的符号f (x)单调性f '(x)与X轴的交点且交点两侧异口号f (X)极值f '(x)的增减性f (x)的每点的切线斜率的变化趋势(f (X)的图象的增减幅度)f '(

12、X)的增f (x)的每-一点的切线斜率增大(f (X)的图象的变化幅度快)f '(X)减f (x)的每点的切线斜率减小(f (X)的图象的变化幅度慢)例 1.已知 f(x)=e 又 g(x)门，当 x 0 时，g(x) 0 ,-ax-1.(1) 求f(x)的单调增区间；(2)若f(x )在定义域R内单调递增，求a的取值范围；(3)是否存在a,使f(x)在(-g, 0上单调递减，在0, +8)上单调递增若存在，求出a的值；若不存在，说明理由.解：f (x)=ex-a.(1)若 a< 0, f (x) =ex- a>0 恒成立，即 f(x)在 R上递增.若 a>0,e x

13、- a>0,二 ex >a,x >Ina. f(x)的单调递增区间为(Ina,+ g).(2) v f ( x)在R内单调递增， f (x)0在R上恒成立./ex-a>0,即卩 a<ex在 R上恒成立. a<( ex) min,又Te x>0,.a<0.(3) 由题意知，x=0为f(x)的极小值点. f (0) =0,即e0- a=0, a=1.例2.已知函数f(x)=x 3+ax2+bx+c,曲线y=f(x )在点x=1处的切线为l:3x-y+仁0 ，若x=-时，y=f(x )有极值.(1)求 3a,b,c的值； (2)求y=f(x )在-3

14、, 1 上的最大值和最小值.322解 (1)由 f(x)=x +ax +bx+c,得 f (x) =3x+2ax+b,当x=1时，切线I的斜率为3,可得2a+b=0当x= 2时，y=f(x)有极值，则f 2 =0,可得4a+3b+4=0 1+a+b+c=4. c=5.33令 f (x) =0,得 x=-2,x= 2 .3由解得a=2,b=-4.由于切点的横坐标为x=1, f(1)=4.x变化时，y,y'的取值及变化如下表：x-3(-3,-2)-222323,1/y+0-0+单调递增单调递减95单调递增y81327/y=f (x)在】-3 , 1 上的最大值为 13,最小值为迸.273.

15、当x0,证明不等式xln (1x) x.(2)由(1)可得 f(x)=x 3+2x2-4x+5, f (x) =3x2+4x-4,1 x14证明：f (x)x(1 x)2xln(x 1), g(x) In(x 1) x，贝U f (x)1 x当x 0时。 f (x)在0,内是增函数,f (x)f (0)，即 ln(1 x)内是减函数,g(x)在 0,g(x) g(0)，即 ln(1 x) x 0，因此，当x0时，不等式ln(1 x)x成立.点评：由题意构造出两个函数xf (x) ln(x 1), g(x) ln(x 1) x.1 x利用导数求函数的单调区间或求最值，从而导出是解决本题的关键七定

16、积分求值b1定积分的概念nim设函数f(x)在区间a,b上连续，则 f(x)dx2.用疋义求疋积分的般方法是:分割：n等分区间a, b ；取极限:bnf (x)dx liman.i 1f ibna3.曲边图形面积：fx 0,Sbf x dx ； f x 0, Sa在x轴上方的面积取正，下方的面积取负变速运动路程St2t v(t)dt ；t1变力做功 W4.定积分的性质性质1ba kf (x)dxbk f (x)dx (其中ak是不为0的常数)性质2bbbaf1(x)f2(x)dxf1(x)dxaa f2(x)dxbcb性质3f (x)dxaf(x)dxaf(x)dxc(其中a c b)5.定理

17、 函数F(x)是a,b上f (x)的一个原函数，即 f (x)n b a近似代替：取点ixi ,，x :求和：f( i)；i i nbf x dxabF(r)dra(定积分对积分区间的可加性)bbF (x)则 f(x)dx F(x)|b F(b) F(a)a导数各种题型方法总结(一) 关于二次函数的不等式恒成立的主要解法：1、分离变量；2变更主元；3根分布；4判别式法5、二次函数区间最值求法：(1)对称轴(重视单调区间)与定义域的关系(2)端点处和顶点是最值所在(二) 分析每种题型的本质，你会发现大部分都在解决“不等式恒成立问题”以及“充分应用数形结 合思想”，创建不等关系求出取值范围。(三)

18、 同学们在看例题时，请注意寻找关键的等价变形和回归的基础一、基础题型：函数的单调区间、极值、最值；不等式恒成立；1、此类问题提倡按以下三个步骤进行解决：第一步：令f'(x)0得到两个根；第二步：画两图或列表；第三步：由图表可知；其中不等式恒成立问题的实质是函数的最值问题,2、常见处理方法有三种：第一种：分离变量求最值-用分离变量时要特别注意是否需分类讨论(>0,=0,<0) 第二种：变更主元(即关于某字母的一次函数) (已知谁的范围就把谁作为主元)；例1：设函数y f (x)在区间D上的导数为f (x)，f (x)在区间D上的导数为g(x)，若在区间D上, g(x) 0恒成

19、立，则称函数y f (x)在区间D上为“凸函数”，已知实数m是常数，f (x)-123 c 2mx 3xT(1)若y f (x)在区间0,3上为“凸函数”，求m的取值范围;(2)若对满足m解：由函数f (x)2的任何一个实数 m，函数f (x)在区间a,b上都为“凸函数”43x mx，求b a的最大值.g(x) x211(i) y12 6mx 3f (x)在区间3x220,3上为则 g(x) x2mx 30x3(x) 3“凸函数”2 mx3x2在区间0,3解法一：从二次函数的区间最值入手：等价于上恒成立g max (x)g(0)g(3)9 3m 3 0解法二：分离变量法：当 x 0 时， g(

20、x)x 3 时，g(x) x2 32x mx2x mx等价于m30恒成立,0恒成立而 h(x)的最大值x(0x3 )恒成立,x3 )是增函数，贝 y hmax(x)h(3)m 2/当m 2时f (x)在区间则等价于当m 2时g(x)变更主元法再等价于F (m) mx x2a,b上都为2 x“凸函数”mx0恒成立2恒成立2)-2例2:设函数f(x)(i)求函数f132x 2ax3(x)的单调区间和极值;(n)若对任意的 x a 1, a(二次函数区间最值的例子)解: (i) f (x)x2 4ax 3af (x)F(F(2)b3a2x b(0(视为关于22x x 3x232x1,bR)2,不等式

21、 f (x)a恒成立，求am的一次函数最值问题)的取值范围.x 3a x aa3a令f (x)0,得f(x)的单调递减区间为(一3.当 x=a 时，f (x) 极小值=a 3 b；4(n)由| f (x) | wa,得：对任意的x,8)和(3a，+)当 x=3a 时，f (x) 极大值=b.22a 1,a 2, a x 4ax 3a a恒成立则等价于g(x)这个二次函数gmax(x) agmin(x) a29I Ig(x) x4ax 3a 的对称轴 x 2a ( 0 a 1,a 1 a a 2a (放缩法)即定义域在对称轴的右边，g (x)这个二次函数的最值问题：单调增函数的最值问题。2 2g

22、(x) x 4ax 3a在a 1,a 2上是增函数g(x)max g(a 2) 2a 1.g(x) min g(a 1) 4a 4.于是，对任意x a1,a2，不等式恒成立，等价于g(a2)4a4a,4彳解得a 1g(a1)2a1a54又 0 a 1, a 1.5点评：重视二次函数区间最值求法：对称轴(重视单调区间)与定义域的关系第三种：构造函数求最值题型特征：f (x) g(x)恒成立 h(x) f (x) g(x) 0恒成立；从而转化为第一、二种题型例3 ；已知函数f(x) x3 ax2图象上一点P(1,b)处的切线斜率为3 ,3 t 6 2 g(x) x3 x2 (t 1)x 3 (t

23、0)(i)求a, b的值；(9(出)解:x 1,4时，求f (x)的值域；x 1,4时，不等式f(x) g(x)恒成立，求实数t f/(1)3b 1 a '(i) f/(x) 3x22ax 解得ab的取值范围。(n)由(i)知,f (x)在1,0上单调递增，在0,2上单调递减，在2,4上单调递减又 f( 1)4, f (0) f (x)的值域是0, f (2)4,164, f (4)16新(t1)x 3思路1：要使f(x) g(x)恒成立，只需h(x) 0,即(川)令 h(x) f (x) g(x)x 1,4t(x2 2x) 2x 6分离变量思路2： 二次函数区间最值二、已知函数在某个

24、区间上的单调性求参数的范围解法1转化为f'(x) 0或f'(x) 0在给定区间上恒成立，回归基础题型解法2:利用子区间(即子集思想)；首先求出函数的单调增或减区间，然后让所给区间是求的增或减 区间的子集；做题时一定要看清楚“在(m,n)上是减函数”与“函数的单调减区间是(a,b )”，要弄清楚两句话的区 别：前者是后者的子集13 a 12例 4:已知 a R，函数 f(x) xx (4a l)x .12 2(I)如果函数 g(x) f (x)是偶函数，求f(x)的极大值和极小值；(n)如果函数 f(x)是(，)上的单调函数，求 a的取值范围.1 2解：f (x) x (a 1)

25、x(4a1).41 3 1 2(i)： f (x)是偶函数，二 a 1. 此时 f(x)x3 3x， f (x) x 3 1 2例 5、已知函数 f (x) x (2 a)x (1 a)x(a 0).3 2(I )求f(x)的单调区间；(II )若f (x)在0，1上单调递增，求a的取值范围。 子集思想 (I) f(x)x2(2 a)x 1 a(x 1)(x1a).1、当 a0时,f (x) (x1)20恒成立，当且仅当x 1时取“=”号，f (x)在(,)单调递增。 3，124令 f (x)0，解得：x 2,3.列表如下:x(-a, - 2 J3)-2亞( -2 yf3 23 )243(2

26、/3，+a)f (x)+00+f(x)递增极大值递减极小值递增可知：f (x)的极大值为f( 2.3) 4.3，f (x)的极小值为f(2i3)4.3.(n)：函数f (x)是(，)上的单调函数，二f (x) 1x2 (a 1)x (4a 1) 0，在给定区间R上恒成立判别式法 42 1 2贝U(a 1)2 4 - (4a 1) a2 2a 0, 解得：0 a 2.4综上，a的取值范围是a0 a 2.2 、当a 0时，由f (x) 0,得Xi1,x2a 1,且为x?,2、0,1 a 1, a单调增区间：(，1),(a1,)单调增区间：(1,a 1)(II )当n f (x)在0,1上单调递增，

27、贝U 0,1是上述增区间的子集:I1、a 0时，f(x)在(，)单调递增 符合题意1 0a 1综上，a的取值范围是0，1。三、根的个数问题提型一函数f(x)与g(x)(或与x轴)的交点=即卩方程根的个数问题解题步骤第一步：画出两个图像即“穿线图”(即解导数不等式)和“趋势图”即三次函数的大致趋势“是先增 后减再增”还是“先减后增再减”；第二步：由趋势图结合交点个数或根的个数写不等式(组)；主要看极大值和极小值与0的关系； 第三步：解不等式(组)即可；1 (k 1)1例6、已知函数f (x)x3x2， g (x)kx，且f (x)在区间(2,)上为增函数.3 23(1) 求实数k的取值范围；(2

28、) 若函数f (x)与g(x)的图象有三个不同的交点，求实数k的取值范围.解：(1)由题意f (x) x2 (k 1)x / f(x)在区间(2,)上为增函数，二f (x) x(k 1)x 0在区间(2,)上恒成立(分离变量法)即k 1 x恒成立，又x 2 , k 12，故k 1 k的取值范围为k 1(2)设 h(x) f (x) g(x) -x2 kx -,3232h (x) x (k 1)x k (x k)(x 1)令h (x)0得x k或x 1由(1 )知k 1 ,当k 1时，h (x) (x 1)20 , h(x)在R上递增，显然不合题意当k 1时，h(x), h (x)随x的变化情况

29、如下表:x(,k)k(k,1)1(1,)h(x)00h(x)/极大值.3. 2.kk1623极小值k 12/k 1由于k一1 0,欲使f(x)与g(x)的图象有三个不同的交点，即方程h(x) 0有三个不同的实根，故需2即(k 1)(k2 2k 2)0 k2 1，解得 k 1.3k2 2k 2 0综上，所求k的取值范围为k 1<31例7、已知函数f (x) ax3 x2 2x c2(1)若x 1是f (x)的极值点且f (x)的图像过原点，求f (x)的极值;(2)1 2右g(x) bx x d，在(1)的条件下，是否存在实数 b，使得函数2g(x)的图像与函数f (x)的图像恒有含1的三

30、个不同交点若存在，求出实数b的取值范围；否则说明理由。解:(1)v f(x)的图像过原点，贝yf(0) 0f (x)c 23 ax又x 1是f (x)的极值点，则f ( 1) 3af (x) 3x2x 2(3x2)(x 1)f极大值(x)f (232f极小值3(2)设函数g(x)的图像与函数f (x)的图像恒存在含1)3227x 1的三个不同交点,x32xbx22即:x3 】(b 1)x：21(b(计算难点来了：)等价于f (x) g(x)有含x1的三个根，即：f (丄1)整理得:21)0恒有含1的三个不等实根1) g( 1) d312h(x) x3(b 1)x2l(b 1)0有含x 1的根,

31、2则h(x)必可分解为(x 1)(二次式)0 ,故用添项配凑法因式分解,x3 x2 x2 l(b 1)x2-(b 1)x22丄(b 1)x22x2(xx2(x1)1)十字相乘法分解:x2(x 1) 1(b1)x (b 1)(x1)x2 丄(b 1)x2如 1)x2 xi(b1)0恒有含x等价于x2 如 1)xi(b1x -(b 1)21x -(b 1)22x (b 1)1尹1)1的三个不等实根1)0有两个不等于-1的不等实根。1 2 14(b 1)2 4 2(b 1) 04 彳/b (, 1)( 1,3)(3,)(1)2 (b 1) 2(b 1) 0题型二：切线的条数问题=二以切点X。为未知数

32、的方程的根的个数32例7、已知函数f (x) ax bx cx在点Xo处取得极小值一4,使其导数f'(x) 0的x的取值范围为(1,3)，求：(1)f (X)的解析式；(2)若过点P( 1,m)可作曲线y f(x)的三条切线，求实数 m的取值范围.(1)由题意得：f'(x) 3ax2 2bx c 3a(x 1)(x 3),( a 0)在(，1)上 f '(x) 0 ；在(1,3)上 f'(x) 0 ；在(3,)上 f '(x) 0因此f (x)在x01处取得极小值4 a b c4，f '(1) 3a2bc 0，f '(3)27a 6b c

33、 0 a1由联立得:b6 , f(x)x3 6x29xc9(2)设切点Q(t,f(t), y f(t) f ,(t)(x t)y ( 3t2 12t9)(xt) ( t3 6t29t)(3t212!t 9)xt(3t2 12t9) t(t2 6t9)( 3t2 12t9)xt(2t26t)过(1,m)m(3t212t9)(1) 2t3 6t2g(t)2t32t212!t 9 m 0 令 g '(t) 6t26t 126(t2 t2)0 ,求得:t1,t2 ,方程g(t) 0有三个根。需：g( 1)02 3 12 9 m 0m 16g(2)016 12 24 9 m 0m 11故：11

34、m 16;因此所求实数m的范围为：(11,16)题型三：已知f(x)在给定区间上的极值点个数则有导函数 =0的根的个数解法：根分布或判别式法例8、已知函数/(町二扌兀3 -m +3)x2 + (m(砒为常数)*(I 当皿=4时，求函数/&)的单调区间;(11)若函数在区间(1)上有两个极值点，求实数皿的取值范1 37 2解：函数的定义域为 R (I)当m= 4时，f (x) = §x 2x + 10x,f (x) = x2 7x + 10,令 f (x)0 ,解得 x 5,或 x 2.令f (x)0 ,解得2x5可知函数f(x)的单调递增区间为(，2)和(5,+)，单调递减区

35、间为2,5 .2(n) f (x) = x ( m 3)x+ m+ 6,要使函数y= f (x)在(1 ,+s)有两个极值点， f (x) = x2 (m+ 3)x + m+ 6=0根分布问题:(m 3) 2 4(m 6)0;则 f 1 (m 3) m 60;,解得m>3例9、已知函数f(x)(2)令 g(x) = -x4+ f (x) (x R4a 3 i 2x x , (a R,a 0) (1)求f (x)的单调区间;3有且仅有3个极值点，求a的取值范围.解: (1) f (x) ax2 x x(ax 1)1 ' 1 当a 0时，令f (x)0解得x 或x 0，令f (x)0

36、解得x 0 ,aa11所以f (x)的递增区间为(，丄)(0,)，递减区间为(丄,0).'aa11当a 0时，同理可得f (x)的递增区间为(0,)，递减区间为(，0)(,).aa1a1(2) g(x)x而当a2或a 2时可证函数y g(x)有且仅有3个极值点x方程x ax 1 0有两个非零实根，所以a 4 0,a 2 或 a 2x2有且仅有3个极值点4 323222g (x) x ax x x(x ax 1) =0 有 3 个根，则 x 0 或 x ax 10 , a 2其它例题:(一) 最值问题与主元变更法的例子已知定义在R上的函数f(x) ax3 2ax2 b(a 0)在区间2,

37、1上的最大值是5,最小值是一11.(I)求函数f (x)的解析式；(n)若t 1,1时，f (x) tx 0恒成立，求实数x的取值范围解：(I)* f (x) ax 2ax b, f (x) 3ax 4ax ax(3x 4)4令 f (x) =0,得 Xr 0,X22,13因为a 0,所以可得下表:x2,000,1f'(x)+0-f(x)/极大因此 f (0)必为最大值， f (0) 5因此 b 5 , f( 2)16a 5,f(1) a 5, f(1) f( 2),即 f( 2)16a 511 , a 1 , f(x) x3 2x2 5.(n)r f (x) 3x24x, f (x)

38、 tx 0等价于 3x2 4x tx 0,令g(t) xt 3x 4x,则问题就是g(t) 0在t 1,1上恒成立时，求实数 x的取值范围，为此只需g( 1) 0，即3x2 5x 0,g (1) 0x2 x 0解得0 x 1，所以所求实数x的取值范围是0 , 1.(二) 根分布与线性规划例子例：已知函数f(x) 2x3 ax2 bx c3(I )若函数f (x)在x 1时有极值且在函数图象上的点(0, 1)处的切线与直线3x y 0平行,求f (x)的解析式；(n )当f (x)在x (0, 1)取得极大值且在 x (1, 2)取得极小值时,设点M(b 2, a 1)所在平面区域为 S,经过原

39、点的直线 L将S分为面积比为1:3的两部分，求直线L的方程.2解：(I ).由f (x) 2x 2ax b ,函数f (x)在x 1时有极值， 2a b 2 0f (0)1 c 1又 f(x)在(0, 1)处的切线与直线3x y 0平行,f (0) b 3 故 f (x)1 2x33)2 3x(n)解法一：由f (x)2x2 2ax bf(x)在x (0,1)取得极大值且在x(1,2)取得极小值，f (0)f (1)f令 M(x, y),b即 2a4a易得A( 2,0),2y4y故点M所在平面区域S为如图ABC,B( 2,1),C(2,2),D(0,1),E(0,I),S ABC 2同时DEA

40、BC的中位线,S DEC S四边形 ABED3所求一条直线L的方程为：S分为面积比为L方程为y kx ,它与AC,BC分别交于F、G,则k0,S四边形DEGF 1由ykx得点F的横坐标为xF2yx20由ykx得点G的横坐标为Xg4yx6013s四边形DEGFS OGES OFD224k另一种情况设不垂直于x轴的直线L也将的两部分,设直线1:3-1 1-1 即 16k2 2k 5 012 2k 11解得：k或2k 5(舍去)故这时直线方程为8.12分(n)解法由 f (x)22x 2ax b及f (x)在x (0,1)取得极大值且在 x(1, 2)取得极小值f (0) 0f (1)0 即f (2) 0b 02a b 204a b 80令 M (x, y),x 202y x 20 故点M所在平面区域 S为如图 ABC,4y x 60易得 A( 2,0), B( 2,1),C(2,2),D(0,1)，E(0,3)，S ABC 2同时ABC的中位线， S DECS四边形ABED3所求一条直线L的方程为：x 0另一种情况由于直线BO方程为：B0与AC交于H ,由y2y1x2x 2得直线L与AC交点为：H (