理论力学第14章

1、第十四章第十四章 虚位移原理虚位移原理第十四章第十四章 虚位移原理虚位移原理 14-1 14-1 约束约束 虚位移虚位移 虚功虚功 14-2 14-2 虚位移原理虚位移原理限制质点或质点系运动的条件称为限制质点或质点系运动的条件称为约束约束表现这些限制条件的数学方程称为表现这些限制条件的数学方程称为约束方程约束方程 限制质点或质点系在空间的几何位置的条件限制质点或质点系在空间的几何位置的条件称为称为几何约束几何约束（1 1）几何约束和运动约束）几何约束和运动约束 14-1 约束约束 虚位移虚位移虚功虚功1.1.约束及其分类约束及其分类 几何约束方程的一般形式：几何约束方程的一般形式：222ly

2、x例如：平面单摆例如：平面单摆约束方程：约束方程： 点点A作圆周运动；点作圆周运动；点B与点与点A间的距离始终保持间的距离始终保持为杆长为杆长l ；点；点B始终沿滑道作直线运动：始终沿滑道作直线运动：2220BABABxxyyly222ryxAA约束方程：约束方程：曲柄滑块机构曲柄滑块机构限制质点系运动情况的运动学条件称限制质点系运动情况的运动学条件称运动约束运动约束0rvA0rxA或或运动约束方程的一般形式：运动约束方程的一般形式：例如：车轮沿直线轨道作纯滚动时例如：车轮沿直线轨道作纯滚动时几何约束：几何约束：ryA运动约束：运动约束：2220 xylvt（2 2）定常约束和非定常约束）定常

3、约束和非定常约束约束条件随时间变化的称约束条件随时间变化的称非定常约束非定常约束不随时间变化的约束称不随时间变化的约束称定常约束定常约束约束方程中显含时间约束方程中显含时间t t（3 3） 其它分类其它分类约束方程中包含坐标对时间的导数约束方程中包含坐标对时间的导数, ,且不可且不可能积分成有限形式的约束称能积分成有限形式的约束称非完整约束非完整约束. . 约束方程中不包含坐标对时间的导数，或者约束方程中不包含坐标对时间的导数，或者约束方程中的积分项可以积分为有限形式的约束约束方程中的积分项可以积分为有限形式的约束为为完整约束完整约束. .0rxA例如：车轮沿直线轨道作纯滚动时例如：车轮沿直线

4、轨道作纯滚动时微分形式微分形式CrxA积分积分完整约束完整约束约束方程是等式的，称约束方程是等式的，称双侧约束双侧约束（或称（或称固执约束固执约束）. .约束方程为不等式的，称约束方程为不等式的，称单侧约束单侧约束（或称（或称非固执单非固执单侧约束侧约束）本章只讨论本章只讨论定常的双侧、完整、几何约束定常的双侧、完整、几何约束. . 在某瞬时在某瞬时, ,质点系在约束允许的条件下质点系在约束允许的条件下, ,可能实现可能实现的任何无限小的位移称为的任何无限小的位移称为虚位移虚位移。与约束条件有关。与约束条件有关。实位移实位移: :d , d , drx等等 实位移实位移是质点系真实实现的位移，

5、它与约束条是质点系真实实现的位移，它与约束条件、时间、主动力以及运动的初始条件有关件、时间、主动力以及运动的初始条件有关 . . 2.2.虚位移虚位移虚位移用变分符号虚位移用变分符号 表示表示, ,rx虚位移虚位移: : 虚位移是假想的，实位移是实际发生的。虚位移是假想的，实位移是实际发生的。 虚位移是瞬时的，实位移是有时间经历的。虚位移是瞬时的，实位移是有时间经历的。 虚位移可朝约束允许的任意方向运动，实位移只虚位移可朝约束允许的任意方向运动，实位移只朝某一方向运动。朝某一方向运动。 质点系静止时，可有虚位移，而无实位移。质点系静止时，可有虚位移，而无实位移。 虚位移与运动的初始条件无关，而

6、实位移与运动虚位移与运动的初始条件无关，而实位移与运动的初始条件有关。的初始条件有关。 定常约束中，实位移是所有虚位移中的一个，对定常约束中，实位移是所有虚位移中的一个，对于非定常约束，某瞬时的虚位移是指将时间固定，于非定常约束，某瞬时的虚位移是指将时间固定，约束所允许的无限小位移，而实位移是不能固定时约束所允许的无限小位移，而实位移是不能固定时间的，所以虚位移不是实位移中的一个。间的，所以虚位移不是实位移中的一个。实位移与虚位移的区别实位移与虚位移的区别WFr力在虚位移上作的功称力在虚位移上作的功称虚功虚功WM3.3.虚功虚功OABxyArBrMF力力F的虚功：的虚功：力偶力偶M的虚功：的虚

7、功：负功负功正功正功例如：例如：注意：虚功也是假想的注意：虚功也是假想的如果在质点系的任何虚位移中如果在质点系的任何虚位移中, ,所有约束力所有约束力所作虚功的和等于零，称这种约束为所作虚功的和等于零，称这种约束为理想约束理想约束. .NNN0iiiWWFr 光滑固定面约束、光滑铰链、无重刚杆，不光滑固定面约束、光滑铰链、无重刚杆，不可伸长的柔索、固定端等约束为理想约束可伸长的柔索、固定端等约束为理想约束. .4.4.理想约束理想约束即即0iiFr设质点系处于平衡设质点系处于平衡, ,有有: :0NiiFF或或: :0FiWN0iiiiFrFrN0iiiiFrFr对于具有理想约束的质点系对于具

8、有理想约束的质点系, ,其平衡的充分必其平衡的充分必要条件是要条件是: :作用于质点系的所有主动力在任何虚位作用于质点系的所有主动力在任何虚位移中所作的虚功的和等于零移中所作的虚功的和等于零解析式为：解析式为：0 xiiyiiziiFxFyFz0 0 14-2 虚位移原理虚位移原理已知：如图所示已知：如图所示, ,在螺旋压榨机的手柄在螺旋压榨机的手柄AB上作用一上作用一在水平面内的力偶在水平面内的力偶( ( ),),其力矩其力矩 , ,螺螺杆的导程为杆的导程为. .FF,FlM2h求：机构平衡时加在被压物体上的力求：机构平衡时加在被压物体上的力. .例例14-114-1因因 是任意的是任意的由

9、：由： ，可得：，可得：解解: :N4lFFh以手柄、螺杆和压板组成的系统为研究对以手柄、螺杆和压板组成的系统为研究对象，受力如图。约束为理想约束。象，受力如图。约束为理想约束。N202F hFl 给系统以虚位移，将手柄按螺纹方向转过极给系统以虚位移，将手柄按螺纹方向转过极小角小角 ，于是螺杆和压板得到向下的位移，于是螺杆和压板得到向下的位移 。 sN20FWFsFl 虚功方程：虚功方程：2shN202FF hWFl已知：图中所示结构已知：图中所示结构, ,各杆自重不计各杆自重不计, ,在在点作点作用一铅直向上的力用一铅直向上的力F FlGEDGCBCDCEAC求：支座求：支座的水平约束力的水

10、平约束力. .例例14-2 14-2 解除解除B 端水平约束端水平约束, ,以力代替以力代替. . 2 sin3 cos0BxFlFl cot23FFBx代入虚功方程，得：代入虚功方程，得： 问题：问题：如图在如图在CG 间加一弹簧间加一弹簧, ,刚度刚度k , ,且已有伸长量且已有伸长量 , ,仍求仍求 . .0BxF解解: :虚功方程：虚功方程： 0cos3cos3cos)sin2(00lFlklklFBxcotcot230kFFBx00FBxBCCGGGWFxFyFyFy2 cos,sin,3 sin2 sin ,cos ,3 cosBCGBCGxlylylxlylyl 在弹簧处也代之以

11、力在弹簧处也代之以力, ,如图：如图：0CGFFk求：主动力求：主动力 与与 之间的关系。之间的关系。 已知：如图所示椭圆规机构中已知：如图所示椭圆规机构中, ,连杆连杆AB长为长为l, ,滑滑块块A , ,B与杆重均不计与杆重均不计, ,忽略各处摩擦忽略各处摩擦, ,机构在图机构在图示位置平衡示位置平衡. .BAFF例例14-3 14-3 由虚功方程由虚功方程 , ,有：有：(1)(1)几何法几何法代入虚功方程代入虚功方程, ,有：有：tanBAFF 由由cossinBArr( ( 在在 A , ,B 连线上投影相等连线上投影相等) ),ABrr0AABBFrFrcotABBBFrFr, ,

12、ABrr给虚位移给虚位移0iiFr解解: :根据：根据： 得：得： (2) (2) 解析法解析法0 xiiyiiziiFxFyFz建立坐标系如图建立坐标系如图. .0BBAAFxFysin,coslylxABtanBAFF sinBxl cosAyl A,BA,B点的坐标为：点的坐标为： (3) (3) 虚速度法虚速度法定义定义: : ,ddABABrrvvtt为虚速度为虚速度 代入到代入到0,iiFr中 得0BBAAvFvF由速度投影定理由速度投影定理, ,有：有：cossinBAvvtanBAFF 已知：如图所示机构已知：如图所示机构, ,不计各构件自重与各处不计各构件自重与各处摩擦摩擦. .求：机构在图示位置平衡时求：机构在图示位置平衡时, ,主动力偶矩主动力偶矩 与与主动力主动力 之间的关系之间的关系. .例例14-414-40cFrFMWeasinrrea2 ,sinsinChhrOBrr2sinFhM 给虚位移给虚位移Cr ,解解: :几何法：几何法：虚速度法虚速度法: :ea2,sinsinChhvOBvv2sin0FhMFvMC解析法：解析