第五章5.2.1三角函数的概念

1、§5.2三角函数的概念5. 2.1三角函数的概念【学习目标】1.理解三角函数的概念，会求给定角的三角函数值2掌握任意角三角函数在各象 限的符号.3.掌握三角函数诱导公式一并会应用.知识梳理梳理教材夯实底础知识点一 任意角的三角函数的定义条件如图，设a是一个任意角， a£R，它的终边0尸与单位圆 交于点尸(X, >')1定义正弦点P的纵坐标v叫做a的正弦函数，记作sin a, 即 y=sin a余弦点P的横坐标X叫做a的余弦函数，记作cos a, 即 x=cos a正切点P的纵坐标与横坐标的比值5叫做a的正切， 记作 tan a,即：=tan a(xMO)三角函

2、数正弦函数、=$mxER余弦函数3=85刀，x£R正切函数丁=111工，kGZ思考 三角函数值的大小与点P在角a终边上位置是否有关？ 答案 三角函数值是比值，是一个实数，它的大小与点尸在终边上的位置无关，只与角a的 终边位置有关，即三角函数值的大小只与角有关.知识点二正弦、余弦、正切函数值在各象限内的符号2. 口诀：“一全正，二正弦，三正切，四余弦”.知识点三公式一终边相同的角的同一三角函数的值相等. 即(sin(a + 2k7i)=sin a,cos(a+2kn)=cos a,tan(a+2%r)=tan a, 其中kCZ.思考辨析判断正误1 . sin a表示sin与a的乘积.(

3、X )2 .设角a终边上的点Px, y) ,二IOPIKO，则sin a 且y越大，sin a的值越大.(X3 .终边相同的角的同一三角函数值相等.(V )4 .终边落在.、轴上的角的正切函数值为0.( X )题型探究探究重点提升索养N一、三角函数的定义及应用例1 (1)已知角a的终边与单位圆的交点为"1,)(v<0),则 tan a=.竺总 -口汆 3解析 因为点, y)(.y<0)在单位圆上，9贝！J豆十产工1 , 44所以)'二" 5 r 所以 tan a =-y(2)(多选)若角a的终边经过点P(x, -3)且sin a=一条丽，则x的值为()A

4、. ->/3 B. -1 C. 1 D小答案BC 解析IOPI=十九解得= 1 1 /.A = ±l.延伸探究在本例中，将“sin a二-余画"改为“cos a=一求工的值.解iopi二q炉十9,x x yi5.COsa = = -j= - w ,解得工2 = 1 ,又 XV。/ Ax= - 1.(学生)反思感悟利用三角函数的定义求一个角的三角函数值有以下几种情况若已知角，则只需确定出该角的终边与单位圆的交点坐标，即可求出各三角函数值.若已知角a终边上一点P(x , y)(xX0)是单位圆上一点,贝11 sin a=y , cos a=x , tan a二£

5、人若已知角a终边上一点P(x ,刃不是单位圆上一点，则先求,二行五，再求sin a二%,X cos a =".(4)若已知角a终边上的点的坐标含参数，则需进行分类讨论.跟踪训练1角。的终边落在直线y=2r上，求sin。cos 8的值.解 方法一 设角6的终边与单位圆交于点P(x , y),矩或25 I1 5 '即点尸坐标为偿，手)或(-雪，-钓，当点尸坐标为(坐,平)时，sin 6二手,cos 6二里，当点尸坐标为(-坐，-芈)时，sin”-平，cos 6 二-方法二 若。的终边在第一象限内，设点尸3,20(>0)是其终边上任意一点，因为 r = 0P =+ 4a2 =

6、 y(5a t所以加噎琴 cos”：端等.若8的终边在第三象限内， 设点尸32,)(“<0)是其终边上任意一点，因为/二 0P = yja2 + 4a2 = - y5a(a<0),所以前6 =<亲=一乎，八X 44cos 6 二一二-=-三-曲5二、三角函数值符号的应用COS O例2 若sin atan a<0,且高匕<0,则角。是()Idll UA.第一象限角B.第二象限角C.第三象限角D,第四象限角答案C解析 由sin atan a<0可知sin a , tan a异号，从而a是第二或第三象限角.cos a由前7产°可知cos G，tan a异

7、号，从而a是第三或第四象限角综上可知，a是第三象限角.(2)(多选)下列选项中，符号为负的是()A. sin(-100°)B. cos(-220°)C.110D. cos n答案ABD解析 -100°在第三象限,故sin( - 100°)<0 ； - 220。在第二象限,故cos( - 220°)<0 ；在第三象限,故 tan 10>0 , cos n= - l<0.反思感悟判断三角函数值符号的两个步骤(1)定象限：确定角a所在的象限.(2)定符号：利用三角函数值的符号规律，即“一全正,二正弦,三正切,四余弦”来判断.跟

8、踪训练2已知点尸(由】原85团在第三象限，则角a的终边在()A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限答案C解析二点P(sin a , cos a)在第三象限，sin a<0 ,-V为第三象限角.cos a<0 ,三、公式一的简单应用例3计算下列各式的值：(l)sin(-l 395°)cos 1 1100+cos(-l 0200)sin 7500；(2)sin(4，)+cos ¥an4兀.解 (1)原式=sin( - 4X3600 + 45°)cos(3 X 360° + 30°) + cos( - 3X3600 + 60&#

9、176;)sin(2X3600 +30°)=sin 45°cos 300 + cos 60°sin 300"222 2 4 十4 -,、( 叫 /2哈7T 27r1(2)原式= sin - 2n + + cos2tt + -yJtan(47r + 0) = sin § 十 cos 亍X0 = ?.反思感悟利用诱导公式一进行化简求值的步骤定形：将已知的任意角写成2E + a的形式,其中a£0,2W , kZ.转化：根据谎导公式一，转化为求角a的某个三角函数值.求值：若角为特殊角,可直接求出该角的三角函数值.跟踪训练3计算下列各式的值：(

10、l)tan 4050-sin 450°+cos 7500：.25兀(15叫(2)sin -+tanl“J.解 (1)原式二 tan(360° + 45°) - sin(360° + 90°) + cos(2 X 360° + 30°) =tan 450 - sin 900 + cos 30°随堂演练县用巩固学以致用5121 .已知sin a=a，cos。=一伺，则角a的终边与单位圆的交点坐标是（A©，T）B.（V，答案D解析 设交点坐标为P（x , y）,512则 y = sin a =百，x = cos

11、 a = - f.,.点p（韦，部2 .已知角a的终边经过点（-4.3）,则cos a等于（）A1 B.| C. D.答案D解析 设点4,3）,贝！Ji。*二,析4/+32 = 5 ,. 一4 4as。=两二 -5-3.（多选）若 sinC cosGO,则 8在（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限答案AC解析因为sin 6 cos 3>0 ,所以 sin 0<0 , cos 6<0 或 sin &>0 , cos ,所以。在第一象限或第三象限.、3. 25ti .(17兀9兀4. 计臬 sin - 4-cosl丁 | + tan 彳=答案2解析

12、原式二sin(4兀+ 1) + cos( - 6兀+ tan(27r + 余).7T兀71=sin 不 + cos j + tan1 1 t=2+2+1=2.5.已知角a的终边过点P(-34,4“)(W0), 答案1或一 1解析 因为二 y/( - 3a)2 + (4a)2 = 5k/l r若a>Q，则r = 5，角a在第二象限.V 4a 4x 343sina-；-5</-5，cosa-；- “ - - 5，8 3所以 2sin a+ cos a二q -不二 L若</<0，则r = - 5"，角a在第四象限，4。4-3。3sin a -, cos a -545

13、-5a 58 3 所以2sin a+cos a二-彳十,二-1.课堂小结-1 .知识清单：三角函数的定义及求法.三角函数在各象限内的符号.则 2sin ct+cos a=公式一.2.方法归纳：转化与化归、分类讨论.3.常见误区：三角函数值的大小只与角的大小有关，与终边上的点无关；正切函数的定义域 为 x x + kn , kGZ .课时对点练注重双基强化落实N“基础巩固1 .点A（x, y）是60。角的终边与单位圆的交点，则的值为（） 人A.5 B.一小 C.W D.一坐 JJ答案A解析 由三角函数定义处二tan 60。二正.2 .代数式 sin（-330°）cos 390。的值为（

14、）A. B,乎 C. -| D.1答案B解析 由疏导公式-可得，sin（ - 330°）cos 390° = sin 30° X cos 30。近.近2 2 - 413 .若cosa=乎,且角a的终边经过点尸（x,2）,则P点的横坐标不是（）A. 2小 B. ±2小 C. 一2m D. 一2小答案D解析 因为cos a=-当<0 ,所以A<0 , 又二占有，由题意得二-坐，所以x= -2p4 .（多选）下列三角函数值的符号判断正确的是（）B. sin 5000>0n 53兀八D. tan -7y>0A. cos( 280°

15、;)<0C. tan(一引>0答案BCD角星析 cos( - 280°) = cos( - 360° + 80°) = cos 80°>0 ； sin 5000 = sin(360°+ 140°) = sin 140° , 90°<140°<180c r /. sin 140°>0 ；（兀，翔tan(一用= tan( - 2冗 十 = tan y , yG53 tan不兀二 tan(4?r 十 = tan ,患 £(0 , I , /. tan 招

16、>0.5.己知 sin Wos 6<0,且lcosQ=cos6,则角 6是()A.第一象限角B.第二象限角C.第三象限角D.第四象限角答案D 解析 Vsin 0cos 6<0 , Asin 6 , cos 3 是一正一负, 又Icos 例= cos 6 ,，cos 820 ,综上有 sin 8<0 , cos GO ,即8为第四象限角.6.已知角a终边与单位圆交于点一坐，y则cosa=, sin竺案一出 J解析点-坐，）满足单位圆f 2=,31则1十）= 1 ,二巧，. 这. cos a =-卞,sin a =与.7 .点尸（tan 2 020。，cos 2 020。）

17、位于第 象限.答案四解析 因为 2 020° = 5 X 360° + 220。，所以2 020。的终边与220。的终边相同，又220。是第三象限角，所以 tan 2 020°>0 , cos 2 020°<0 ,即点P位于第四象限.8 .已知角a的终边经过点（3“一9,"+2）,且cos aWO,sin a>0,则实数”的取值范围是 答案（-2,3，3"-9W0 ,解析由cos aWO , sin a>0可知Ja + 2>0 ,解得-2<a<3.9 .化简下列各式：7兀 5兀TT(1 )si

18、n +cos - 4-cos(-57r)4-tan(2krsin 8100-/?2cos 9OO°4-2tan 1 1250.解 (1)原式=sin 卷 + cos + cos n + 1=-1+0- 1 + 1= - 1.原式=Rin 90° - b2cos 180° + 2而tan 45° =a2 + b2 + lab = (a 十 b)2.10 .已知 6 终边上一点尸(x,3)(xW0),且 cos 6=祟，求 sin 6, tan 6.解 由题意知r=OP =正”,由三角函数定义得cos 6=3=7=，又因为cos 6二曙x,所以 J-7二曙x

19、.yjx2 + 91。因为xWO ,所以x=±1.此时sin 0二=普当x二-1 时，P(- 1,3),此时 sin 6 - I ?, tan 6-= - 3.q(-if? 10 -i力综合运用11 .函数y=y/sin、+，-cos x的定义域是()A. 3喋兀v.x<2归r+兀, k£Z) 9 B/x 2E+，WxW2k7r+7T, kGZ JC.x k兀+5<x或k7r+兀，kGZD. M2jbrxW2k7u+7T, kWZ) 答案B解析 由 sinxNO, - cosx>0 ,得X为第二象限角或 >'轴正半轴上的角或X轴负半轴上的角，

20、所以2E十，<£2及瓦+兀.kGZ.12.在ABC 中，若 sin Acos 次an C<0,则48。是()A.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.锐角三角形或钝角三角形 答案C解析在ABC 中，A , B , C£(0,7T),*.* sin A>0 , cos B- tan C<0 ,:B , C一个为锐角，另一个为钝角，AABC为钝角三角形.,c 7 却. sin x . Icos x , tan 九 g 包心 日, 、 3函数)'=扇M+赤+哂的值域是()A. - 101,3B. - 1,0.3C. -1,3D. - 1,1答案c 解析 依题意，角X的终边不在坐标轴上，当x为第一象限角时,y = 1 + 1 + 1 = 3 ,当Ai为第二象限角时,当V为第三象限角时,>