2016新课标三维人教B版数学选修4-5章末小结

1、知识整合与阶段检测对应学生用书P36 对应学生用书P36利用柯西不等式证明不等式(1)柯西不等式取等号的条件实质上是：.这里某一个bi为零时，规定相应的ai为零(2)利用柯西不等式证明的关键是构造两个适当的数组(3)可以利用向量中的|·|的几何意义来帮助理解柯西不等式的几何意义例1若n是不小于2的正整数，求证：1.证明12，所以求证式等价于.由柯西不等式，有(n1)(n2)2nn2，于是，又由柯西不等式，有 .例2设a，b，cR，且满足abc1，试证明：.证明abc1，则所求证的不等式变为.又(abbcca)22(acbc)(abac)(babc)，(acbcab)·3，当

2、且仅当abc1时等号成立原不等式得证.利用柯西不等式求最值利用不等式解决最值，尤其是含多个变量的问题，是一种常用方法特别是条件最值问题，通常运用平均值不等式、柯西不等式、排序不等式及幂平均不等式等，但要注意取等号的条件能否满足例3若5x16x27x34x41，则3x2x5xx的最小值是()ABC3 D解析(3x2x5xx)2(5x16x27x34x4)21，3x2x5xx.答案B例4等腰直角三角形AOB的直角边长为1.如图，在此三角形中任取点P，过P分别引三边的平行线，与各边围成以P为顶点的三个三角形(图中阴影部分)，求这三个三角形的面积和的最小值，以及达到最小值时P的位置解分别取OA，OB所

3、在的直线为x轴、y轴，建立如图所示的直角坐标系则AB的方程为xy1，记P点坐标为P(xP，yP)，则以P为公共顶点的三个三角形的面积和S为Sxy(1xPyP)2，2Sxy(1xPyP)2.由柯西不等式，得xy(1xPyP)2(121212)xPyP(1xPyP)2，即2S×36S1，所以S.当且仅当时，等号成立，即xPyP时，面积和S最小，且最小值为.从而P点坐标为时，这三个三角形的面积和取最小值.例5已知实数x、y、z满足x24y29z2a(a>0)，且xyz的最大值是7，求a的值解由柯西不等式：x2(2y)2(3z)22.因为x24y29z2a(a>0)，所以a(xy

4、z)2，即xyz.因为xyz的最大值是7，所以7，得a36，当x，y，z时，xyz取最大值，所以a36.排序不等式的应用(1)用排序不等式证明不等式的关键是根据问题的条件和结论构造恰当的序列，如何排好这个序列是难点所在(2)注意等号成立的条件例6在ABC中，试证：.证明不妨设abc，于是ABC.由排序不等式，得aAbBcCaAbBcC，aAbBcCbAcBaC，aAbBcCcAaBbC.相加，得3(aAbBcC)(abc)(ABC)(abc)得，又由0bca,0abc,0acb，有0A(bca)C(abc)B(acb)a(BCA)b(ACB)c(ABC)a(2A)b(2B)c(2C)(abc)

5、2(aAbBcC)得.由、得原不等式成立.利用平均值不等式求最值1求函数的最值在利用平均值不等式求函数最值时，一定要满足下列三个条件：(1)各项均为正数(2)“和”或“积”为定值(3)等号一定能取到，这三个条件缺一不可2解决实际问题由于受算术平均与几何平均定理求最值的约束条件的限制，在求最值时常常需要对解析式进行合理的变形对于一些分式结构的函数，当分子中变量的次数不小于分母中变量的次数时，通常采用分离变量(或常数)的方法，拼凑出和的形式，若积为定值则可用平均值不等式求解例7已知0x，求函数yx(13x)的最大值解yx(13x)×3x×(13x)，0x，13x0，x0.yx(

6、13x)×3x×(13x)×2.当且仅当3x13x即x，y有最大值.例8若a>b>0，则代数式a2的最小值为()A2 B3C4 D5解析依题意得ab>0，所以代数式a2a2a224，当且仅当即a，b时取等号，因此a2的最小值是4，选C.答案C例9某种商品原来每件售价为25元，年销售8万件(1)据市场调查，若价格每提高1元，销售量将相应减少2 000件，要使销售的总收入不低于原收入，该商品每件定价最多为多少元？(2)为了扩大该商品的影响力，提高年销售量公司决定明年对该商品进行全面技术革新和营销策略改革，并提高定价到x元公司拟投入(x2600)万元作

7、为技改费用，投入50万元作为固定宣传费用，投入x万元作为浮动宣传费用试问：当该商品明年的销售量a至少应达到多少万件时，才可能使明年的销售收入不低于原收入与总投入之和？并求出此时商品的每件定价解(1)设每件定价为t元，依题意，有t25×8，整理得t265t1 0000，解得25t40.要使销售的总收入不低于原收入，每件定价最多为40元(2)依题意，x>25时，不等式ax25×850(x2600)x有解，等价于x>25时，ax有解x210(当且仅当x30时，等号成立)，a10.2.当该商品明年的销售量a至少达到10.2万件时，才可能使明年的销售收入不低于原收入与总投

8、入之和，此时该商品的每件定价为30元一、选择题1若为锐角，则的最小值为()A23 B32C2 D3解析：22(1)232.答案：B2已知xy1，那么2x23y2的最小值是()A BC D解析：2x23y2(2x23y2)··2(xy)2.答案：B3设x、y、z，满足x22y23z23，则x2y3z的最大值是()A3 B4C. D6解析：构造两组数：x，y，z和1，由柯西不等式得x2(y)2(z)212()2()2(x2y3z)2，(x2y3z)218，x2y3z3，当且仅当xyz时取等号答案：A4某班学生要开联欢会，需要买价格不同的礼品3件、5件及2件，现在选择商店中单价为

9、3元、2元和1元的礼品，则至少要花()A17元 B19元C21元 D25元解析：由排序原理可知：花钱最少为：1×52×33×217(元)答案：A二、填空题5n个正数与这n个正数的倒数的乘积的和的最小值为_解析：设0<a1a2a3an，则0<，反序和乱序和顺序和，最小值为反序和a1·a2·an·n.答案：n6有4人各拿一只水桶去接水，设水龙头注满每个人的水桶分别需要5 s,4 s,3 s,7 s，每个人接完水后就离开，则他们等候的总时间最短为_s.解析：由题意知，等候的总时间最短为3×44×35×

10、;27×141.答案：417函数y的最小值为_解析：y2x(12x)225，当且仅当x时取等号答案：258已知a，b，x，y0，且 ab4，xy1，则(axby)·(bxay)的最小值为_解析：()2()2·()2()2(··)2(·x·y)2ab(xy)2ab4，当且仅当ab2时取等号答案：4三、解答题9求实数x，y的值使得(y1)2(xy3)2(2xy6)2取到最小值解：由柯西不等式得(122212)×(y1)2(3xy)2(2xy6)21×(y1)2×(3xy)1×(2xy6)2

11、1，即(y1)2(xy3)2(2xy6)2，当且仅当，即x，y时等号成立，此时最小值为.10设a、b、c为正数，且a2b3c13，求的最大值解：(a2b3c)2()2.()2.当且仅当时取等号又a2b3c13，a9，b，c.有最大值.11若不等式|a1|x2y3z对满足x2y2z21的一切实数x，y，z恒成立，求实数a的取值范围解：根据柯西不等式，有(x2y2z2)(149)(x2y3z)2，(x2y3z)21×1414，则x2y3z.又|a1|x2y3z恒成立，|a1|.则a1或a1，即a1或a1.所以a的取值范围为(，11，)对应学生用书P51(时间90分钟，总分120分)一、选

12、择题(本大题共10个小题，每小题5分，共50分)1已知a，b均为正实数，且a2b10，则a2b2的最小值为()A5B10C20 D30解析：根据柯西不等式有(a2b2)(122)(a2b)2100.a2b220，当且仅当a2时取等号答案：C2已知x>0，y>0，且4x3y12，则xy的最大值是()A1 B2C3 D4解析：由4x3y2，6，xy3，故选C.答案：C3函数ylog2(x1)的最小值为()A3 B3C4 D4解析：x1x10，ylog2log2log2(26)log283.答案：B4设x1，x2，x3取不同的正整数，则m的最小值是()A1 B2C D解析：设a1，a2，

13、a3是x1，x2，x3的一个排列且满足a1a2a3.a11，a22，a33，又1，x11当且仅当x11，x22，x23时取等号答案：C5已知(x1)2(y2)24.则3x4y的最大值为()A1 B10C11 D21解析：(x1)2(y2)2(3242)3(x1)4(y2)2，即(3x4y11)2100.3x4y1110,3x4y21.当且仅当时取等号答案：D6已知不等式(xy)a对任意正实数x，y恒成立，则实数a的最大值为()A2 B4C D16解析：因为(xy)(11)24，当且仅当xy1时等号成立，因此若不等式(xy)a对任意正实数x，y恒成立，则a4，故应选B.答案：B7已知x3y5z6

14、，则x2y2z2的最小值是()A BC D6解析：由柯西不等式，得x2y2z2(123252)·(x2y2z2)·(1×x3×y5×z)2×62×当且仅当x时取等号答案：C8已知3x22y22，则3x2y的取值范围是()A0， B，0C， D5,5解析：|3x2y|·3x2y.答案：C9设a，b，c为正数，ab4c1，则2的最大值是()A BC2 D解析：1ab4c()2()2(2)2()2()2(2)2·(121212)(2)2·，(2)23，即所求最大值为.答案：B10若a>0，b&g

15、t;0，c>0，且a(abc)bc42，则2abc的最小值为()A1 B1C22 D22解析：a(abc)bc(ab)(ac)42，且ab>0，ac>0，2abc(ab)(ac)2222(1)(当且仅当abac，即bc时等号成立)，2abc的最小值为22，故选D.答案：D二、填空题(本大题共有4小题，每小题5分，共20分)11函数y2的最大值是_解析：y× ，当且仅当x时取等号答案：12(湖南高考)已知a，b，cR，a2b3c6，则a24b29c2的最小值为_解析：由柯西不等式，得(a24b29c2)·(121212)(a·12b·13

16、c·1)236，故a24b29c212，从而a24b29c2的最小值为12.答案：1213已知x22y21，则x2y41的最大值是_解析：x22y21，x2y2y21.又x2·y41x2·y2·y21，x2·y2·y23，x2y411.即x2y41当且仅当x2y2时取等号x2y41的最大值是.答案：14函数y2的最大值是_解析：根据柯西不等式，知y1×2× ×.答案：三、解答题(本大题共有4小题，共50分)15(本小题满分12分)设a，b，cR，求证：.证明：设abc>0，则a3b3，a3b3a2·ab2·ba2bb2aab(ab)，同理：b3c3bc(bc)，c3a3ac(ca)，·.16(本小题满分12分)已知x22y23z2，求3x2yz的最小值解：(x22y23z2)2(3x2yz)2，(3x2yz)2(x22y23z2)12.23x2yz2.当且仅当x，y，z时3x2yz取最小值，最小值为2.17(本小题满分12分)(福建高考)已知定义在R上的函数f(x)|x1|x2|的最小值为a.(1)求a的值；(2)若p，q，r是正实数，且满足pqra，求证：p2q2r23.解：(1)因为|x1|x2|(x1)(x2)|3，当