【人教A版】高中数学必修5同步辅导与检测：第一章章末复习课(含答案)

1、第一章章末复习课提纲挈领复习知识整合网络构建警示易错提醒1 .三角形解的个数的确定(易错点)已知两边和其中一边的对角不能唯一确定三角形， 解这类三角形 问题可能出现一解、两解、无解的情况，这时应结合“三角形中大边 对大角”，此时一般用正弦定理，但也可用余弦定理.a b(1)利用正弦定理讨论：若已知a、b、A,由正弦定理Sira = SibB，得 sin B = bsin A.若 sin B > 1,无解；若 sin B = 1, 一解；若 sin B< 1, a两解.(2)利用余弦定理讨论：已知a、b、A.由余弦定理a2 = c2+ b2 -2cbcos A,即 c2-(2bcos

2、 A)c+b2a2 = 0,这是关于 c 的一元二次方程.若方程无解或无正数解，则三角形无解；若方程有唯一正数解，则三角形一解；若方程有两不同正数解，则三角形有两解.2 .三角形形状的判定方法判定三角形形状通常有两种途径：一是通过正弦定理和余弦定理，化边为角（如：a = 2Rsin A, a2 +b2c2= 2abcos C等），利用三角变换得出三角形内角之间的关系进行判断.此时注意一些常见的三角恒等式所体现的角之间的关系.如：sin A = sin B? A=B; sin （A B） = 0? A = B; sin 2A = sin 2B? A兀 =8或人+8=万等；二是利用正弦定理、余弦定

3、理化角为边，如:sin A=2R(R 为乙ABC外接圆半径），cos A=b2+ c2 a22bc等，通过代数恒等变换求出三条边之间的关系进行判断.3 .解三角形应用题的基本思路解三角形应用题的关键是将实际问题转化为解三角形问题来解决.其基本解题思路是：首先分析此题属于哪种类型的问题（如测量距离、高度、角度等），然后依题意画出示意图，把已知量和未知量 标在示意图中（目的是发现已知量与未知量之间的关系），最后确定用 哪个定理转化，哪个定理求解，并进行作答.解题时还要注意近似计 算的要求.|总结归纳专题突破专题一 利用正、余弦定理解三角形（自主研析）例1 AABC中，内角A, B, C对边的边长分

4、别是a, b, c.一心一 兀已知 c= 2, C= 了.（1）若AABC的面积等于J3,求a, b;(2)若 sin B=2sin A,求 ABC 的面积.自主解答(1)由余弦定理得a2 + b2 ab= 4.又因为4ABC的面1积等于镉，所以2absin C = ,得ab= 4.a2+ b2 ab= 4,联立方程组b = 2a,解得 a=2, b= 2.(2)由正弦定理已知条件可化为 b = 2a,a2+ b2 ab= 4,联立方程组b = 2a,解得 a=233, b=¥，所以 ABC 的面积 S=1absin C=3. 23A归纳升华正、余弦定理应用需注意的三个方面(1)正弦

5、定理和余弦定理提示了三角形边角之间的关系，解题时要根据题目条件恰当地实现边角的统一.(2)统一为“角”后，要注意正确利用三角恒等变换及诱导公式 进行变形；统一为“边”后，要注意正确利用配方、因式分解等代数 变换方法进行变形.(3)求值时注意方程思想的运用.变式训练4ABC的内角A, B, C的对边分别为a, b, c,asin A+ csin C &asin C= bsin B.(1)求角B的大小；(2)若 A=75 , b=2,求 a, c.解：(1)由正弦定理得a2+c2-V2ac=b2.由余弦定理得 b2= a2 + c2 - 2accos B.2 ,故 cos B = -2&q

6、uot;,因此 B=45 .(2)sin A = sin(30 斗 45 ) = sin 30 cos45 4cos 30 sin 45 =2+ 64.4 sin A故 a=bXsin=1 + 03.由已知得，C=180 -45 -75 = 60 ;c= bxsin C sin B2Xsin 60一=76.sin 45专题二 判断三角形的形状问题例2已知 ABC中，内角A, B, C所对的边分别为a, b, c,a3 + b3 c3 一 =c2,且 acos B = bcos A,试判断 ABC 的形状.a+bca3+b3- c3解：由=c2,a + b c得 a3 + b3 c3= c2(a

7、 + b) c3,所以 a2+ b2ab=c2,一、，1所以 cos C=2>0,又因为C6(0 ,180 ),所以C= 60 .由 acos B = bcos A,得 2Rsin Acos B=2Rsin Bcos A(R 为AABC 外接圆的半径)，所以 sin(A B) = 0,又因为 AB6 (180 ,180 ),所以 A B = 0 ,所tA=B = C=60° ,所以 ABC为等边三角形.»归纳升华利用正、余弦定理判断三角形形状的方法主要有两种方法：方法一，通过边之间的关系判断形状；方法二， 通过角之间的关系判断形状.利用正、余弦定理可以将已知条件中的边

8、、角互化，把条件转化 为边的关系或转化为角的关系.变式训练 在4ABC 中，若(a2+b2) sin(A B) = (a2b2)sin(A + B),请判断三角形的形状.解：因为(a2 + b2)sin(A B) = (a2 b2)sin(A + B),所以(a2+ b2)(sin Acos B -cos Asin B)=(a2 b2)(sin Acos B + cos Asin B),所以 2b2sin Acos B 2a2cos Asin B = 0,a2所以匠=sin Acos Bcos Asin Ba2 sin2A又由正弦7E理可得 y = sn吊,所以sin Acos B sin2A

9、cos Asin B sin2B'cos B sin A r所以co*=srB，所以sin 2A=sin 2B.又因为AS （0,兀），B6（0,兀）,所以2A = 2B或2A+2B=兀，兀即 A=B 或 A+B = 2,所以 ABC为等腰三角形或直角三角形.专题三 正、余弦定理的实际应用例3航空测量组的飞机航线和山顶在同一铅直平面内，已知 飞机的高度为海拔10 000 m,速度为180 km/h,飞机先看到山顶的俯角为15°,经过420 s后又看到山顶的俯角为45°,求山顶的海拔高度(取应=1.4, 731.7).解：如图所示，根据题意可得/A=15°,

10、 /DBC = 45°,所以 / ACB = 30 ;420AB = 180X 3-600= 21(km) = 21 000(m).所以在 ABC中,BC _ AB sin A sinCB所以 BC = 21 000 sin 15 M0 500(76，2)(m).2因为CDXAD,所以 CD = BCsin/CBD =210 500(76-) X-= 10 5003- 1户10 500X(1.7 1)=7 350(m),所以，山顶的海拔高度=10 000 7 350= 2 650(m).»归纳升华正、余弦定理与三角函数的综合应用(1)以三角形为载体，以正、余弦定理为工具，以

11、三角恒等变换为手段来考查三角形问题是近年高考的一类热点题型.在具体解题 时，除了熟练使用正、余弦定理外，也要根据条件合理选用三角函数公式，达到化简问题的目的.(2)解三角形问题的实质是将几何问题转化为代数问题.在高考中，出题者有时会利用平面向量等知识给出问题的某些条件，这些知识一般只起到“点缀”作用，难度较小.变式训练(1)如图所示，某住宅小区的平面图呈扇形 AOC.小 区的两个出入口设置在点 A及点C处，小区里有两条笔直的小路 AD, DC,且拐弯处的转角为1200.已知某人从C沿CD走到D用了 10分 钟，从D沿DA走到A用了 6分钟.若此人步行的速度为每分钟50米, 求该扇形的半径OA的

12、长（精确到1米）.120；(2)在4ACB中，内角A, B, C的对边分别为a, b, c,且 a>c,已知 BABC=2, cos B = 1, b=3,求： 3a和c的值；cos(B C)的值.(1)解：法一：设该扇形的半径为米，由题意，得CD =500 米，DA = 300 米，/CDO = 60 .在 ACDO 中，CD2 + OD2-2 CD OD cos 60 =OC2,1 c即 5002+ (r 300)2 2x 500x (r-300)X2= r2,4 900 rz解得= %丁=445 (米).法二：连接AC,作OH ±AC,交AC于点H ,12(FA由题意，得

13、CD = 500米,AD = 300 米,/CDA = 120 :在 AACD 中，AC2 = CD2 + AD2 2 CD AD 1 ccos 120 -5002+ 3002 + 2X500X 300X2 = 7002,所以AC = 700（米）.AC2 + AD2 CD2 11 cos /CAD = 7j.2AC AD 14在 RtzHAO 中，AH =350（米），,八 11cos /HAO =14，AH 4 900所以 OA=U=445（米）.cos/HAO11（2）解：由BA 删=2,彳导 c acos B = 2,又 cos B=1,所以 ac 3=6.由余弦定理，得 a2 + c

14、2=b2+ 2accos B.又 b=3,所以 a2+c2=32+2x 6X1=13.3ac6）a2）a3）解得 或a2+c2=13,c=3c=2.因为a>c,所以a= 3, c= 2.在AABC中,sin B=、 1 - cos2 B =由正弦定理，得 c c 25 2 4 2 sin C=bsin B=3X 3 = 9.因a=b>c,所以C为锐角,因此cos C=一sine 管 2=7.11于是 cos(B C) = cos Bcos C + sin Bsin C =1X72V2><4J2_233X9+ 3 X 9 27.专题四三角函数的综合应用例 4 在zABC

15、中，已知 A>B>C,且 A = 2C, b = 4, a+ c = 8, 求a, c的长.解:由正弦定理得a _ c sin A sin C'因为A = 2C,所以a _ csin 2C _sin C'所以 a=2ccos C.8 c又因为a+c=8,所以cos C= 22 c由余弦定理及a+c = 8,得cos C2aba2 + b2c2 a2 + 42 c28a(8 c) 2+42-c28 (8-c)10 2c8 c8- c 10 2c由知，整理得 5c2 36c+64= 0.-16 ,人、所以c= "5或c=4（舍去）. 、24所以 a=8-c=-5-.2416故2="5"，C=y.A归纳升华与函数思想相联系的就是方程思想.所谓方程思想，就是在解决 问题时，用事先设定的未知数沟通问题所涉及的各量间的制约关系, 列出方程（组），从而求出未知数及各量的值，使问题获得解决.方程 可以看做未知量与已知量相互制约的条件， 它架设了由已知探索未知 的桥梁.本章在利用正弦、余弦定理求角或边长时，往往渗透着函数 与方程思想.变式训练4在4ABC中，角A, B, C所对的边分别为a, b, c,已知a = 5, b= 5超 A=30