高等数学教案-不定积分

1、高等数学教学数嗓第4章不定积分梭锦本号01教学基本指标教学课题第4章第1节不定积分的概念与性质课的类型新知识课教学方法讲授、课堂提问、讨论、启发、自学教学手段黑板多媒体结合教学重点原函数与不定积分的概念教学难点原函数的概念参考教材同济七版高等数学作业布置课后习题大纲要求1 .理解原函数概念，理解不定积分的概念。2 .掌握不定积分的基本公式，掌握不定积分的性质教学基 本 内 容一.原函数1 .定义：设E(x)J(x)是定义在区间/上的函数，若对任意的xe/,都有尸(x) = /(x),或 "(x) = f(x)dx ,则称歹(x)是/*)在区间/上的一个原函数.2 .定理：(原函数存在

2、定理)若函数/*)在区间/上连续，则在该区间上一定存在可导函数尸(x),使得 对任意xe/都有尸(x)=f(x),即区间上的连续函数一定有原函数.3 .若Fx是f(x)在区间/上的一个原函数，即F'(x)=f(x),则F(x) + C也是/(x)在区间/上的原函 数.即一个函数如果存在原函数，则其原函数有无穷多个.4 .定理：设函数尸(%)是幻在区间/上的一个原函数，那么/(X)在区间/上的任意一个原函数可以表示 为F(x) + C,其中C是任意常数.2 .不定积分的概念定义：如果尸(X)是/(x)在区间/上的一个原函数，则/(X)在区间/上带有任意常数的原函数/(x) + C 称为/

3、*)在区间/上的不定积分，记作J7(x)ck,即7(x)d/(x) + C,其中，|称为积分号，/(X)称 为被积函数，/(x)dx称为被积表达式，工称为积分变量，任意常数。称为积分常数.3 .不定积分的几何意义对于确定的常数C,尸。)+。表示坐标平面上一条确定的曲线：当C取不同的值时，尸(x) + C表示一簇曲线.由J/(x)t = F(x) + C可知，/(x)的不定积分是一簇曲线，这些曲线都可以通过一条曲线向上或向下平 移而得到，它们在具有相同横坐标的点处有互相平行的切线.四.不定积分的性质或 d /(xjdv = f (x)(iv ：性质 L (l)|J/(x)dvf = /Gv),(

4、2) J Fx)dx = F(x) + C ,或 JdF(x) = F(x) + C. 性质2. J"(x)dr = q/(x)dv ( k为非零常数).9. esc2 x dr = -cot x + C ；11. fCSCXCOtxdv = -CSCA + C :13. f, dx = arcsinx + C = -arccosx + C .六.例题讲解例1.求不定积分(1) Jx2dr： (2) 出.10. fsecxtanA dx =secx + C ：12. !-d.v = arctan.v + C = -arccotA + C ：3 + x2性质 3.土 f2 (x)dv

5、= J f Mdx± j/2(x)dv.五.基本枳分公式表1.kdx = kx + C(A 为常数)：2.=(工T )；3.fldY = lnlxl+C； J X4. ard.¥ = + C；5.JeAcb: = eA +C ：6. sinxdA =-cosx + C ：7.cos.«ir = sinx + C ：8. sec2 xdx=tanx + C ：例2.若池塘结冰的速度由母=k给出，其中y是自结冰起到时刻，冰的厚度，攵是正常数，求结冰厚度 dZy关于时间/的函数.例3.已知某曲线经过点(0.1),并且该曲线在任意一点处的切线的斜率等于该点横坐标的平方，试

6、求该曲线 的方程.例4.距离地而与处，一质点以初速度%铅直上抛，不计阻力，求它的运动规律.例 5.求 Je3&.例6.求例 7.求 J yjx (x2 一 3) dr .例8 ,求ch： J X.4 r 1 + x + 厂.例 9 求;-d. v .J x( + x2)例 11.求 : djJ 1 +厂例 12.求卜an，xdx .例 13.求 Jsin? dr .例14.求，、J sin- xcos x例 15.求 f!dv.Slip-cos-22例 16,设ra)= 2IM+3,且“2) = 15,求/3).渡作图号02教学基本指标教学课题第4章第2节换元积分法课的类型新知识课教学

7、方法讲授、课堂提问、讨论、启发、自学教学手段黑板多媒体结合教学重点第一换元积分法与第二换元积分法教学难点第二换元积分法参考教材同济七版高等数学上册作业布置课后习题大纲要求掌握换元积分法教学基 本 内 容一.第一换元积分法1 .定理：(第一换元积分法)设/(«)有原函数/()，且u =(p(x)是可导函数，则 J f(p(x')g)x)dx = F(px)+C ,该公式称为第一换元公式.2 .几种常用的凑微分求解的积分形式：(1) J f(au+b)du = J f (an +b)d(au+b), (a W 0);(2) f f (an" +)"-&

8、/=-i- f+Z?)d(" +/?), (a H 0.n * 0);JnaJ(3) j fau + b)al,du = Jf f(au + 3d(a" + b), (a > 0,a W1);(4) Jf(y/u)-=du = 2j/(w)d(>/w);(5) f/(-)4- = 4/(-)d(-)； J u irJ u u(6) J/(Inzz)d« =|/(lnw)d(ln/);(7) J/(sin )cosd = J /(sin )d(sin )；(8) J/(cosw)sinwdw = -j/(cos)d(cosN);(9) J/(tanit)

9、sec2=J/(tan)d(tanm);(10) |/(arcsinu) , 1，- du =| f (arcsinw)d(arcsin)；12(11) f /(arctan -du = f /(arctan )d(arctan ), (a > 0);Ja a+厂 craa(12)J 器 d=ln|/()| + C二.第二换元积分法1 .定理：（第二换元积分法）设工=是单调的可导函数，且'（，）00,又设/1«）'（7）的一个原函 数为。），则7（x）dx=7（x） + C,该公式称为第二换元公式.2 .常用的第二换元积分法：（1）含有根式根a + 时,令Rax

10、 + b =1 ;（2）同时含有根式可7和根式版（叫.小wZ+）时，令x = ，其中?是叫.八的最小公倍数;（3）含有根式3>0）时,令x = asinf；（4）含有根式&（4>。）时，令x = atanf:(5)含有根式-(a >0)时,令x = asecr；（6）当被积函数的分母次耗较高时，还有经常用倒代换.三.例题讲解例 1.求 jsin2xdr.例 2.求 J(2 + 3x)2(k.例 3 .求 J x，4-k 2 dx .例 4.求ck .例 5.求 J tan x ctv , Jcotxdx.例 6 .求-/'+6 - dx.J x2+3x-4例

11、7,求1. 1、dx , J / J ,小(00).J *+r J-例 8.求J 、山:,J 一厂 厂一(广例 9.求 Jcsca cIa- , secxdv .例 10.求 jcos? xdx.例 11.求 J sin 'x ch"例 12.求 J cos ' xsin5 x dv .f列 13. Jsinxsin3xdv .例 14.求 J tan3 xsec.vd¥ .例15.求(1)(432)7'(/)心；(2) J Z (ln v)cLv - V例16.求 f 一!-= d v .J 1 + Vx例17.例18.例19.求 J -x2dv

12、(a > 0).例20.例21.J J、dx (a > 0) x1a2 +x2求J(</>o).J yjX2 - (R例22.J ' dx(x0).四.基本积分公式表14.xdx = arcsin + C ：-X15. J1,1 x-dv = arctan + C ：cr +r16- b二 dx 二 一厂17.J km xdx = -ln Icosxl +C ；18. cot xdr = In |sinx| + C；19. j sec axIx = In | sec x + tan x | + C ：20. J esc xdx = In | esc- cotx|

13、 + C：21. r dr = In x + Jx2 ±a2 +C ;22. Jja2-x2dx =舁arcsin 亦 + ±/a2-x2 + C.梭锦泽号03教学基本指标教学课题第4章第3节分部积分法课的类型新知识课教学方法讲授、课堂提问、讨论、启发、自学教学手段黑板多媒体结合教学重点教学难点参考教材同济七版高等数学上册作业布置课后习题大纲要求掌握分部枳分法教学基 本 内 容一.分部积分法1 .定理：设 ="(X), V = v(x)在区间/上都有连续的导数，则有J"(x)M(xWx = (x)心)一，简记为= 一J“'ydx ,或，(拄=1，

14、一卜出/,称为分部积分公式.2 .分部积分法应用的基本步骤可归纳为：J f (a>Ly = Juvdx = J/dv = i/vJvdu = uv- Ji/vdx .3.分部积分法的关键是合理选取“(x)与y*), 一般来说有下列结论：(1)形如,£y也，取(x) = x”, v(x) = ear.(2)形如 J xn sin “xdx 或 J x" cos axdx ,取 (x) = x1', v(x) = sin cix 或 cos ax .(3)形如 j x" In'" xdx,取 u(x) = lnH, x , v(x) =

15、 xn .(4)形如 Jx" arctanxdx , j x" arc cot xdx,卜"arcsinxdv 或 Jx" arccosxdx ,取 (x)为反三角函数， v(a) = xn.(5)形如 je"'sin/zvdx , Je"'cos/udx ,取(x) = sin版或cosbx, i，(x) = e"；也可以取(x) = e"', v(x) = sin bx 或 cosbx.二.例题讲解例 L 求 fxcosxdx.例 2.求 j xerdv .例 3.求Vcosxdx .例

16、 4.求 Jxlnxdr .例 5,求 J x arctan .vdv.例 6.求 j arcsin xdx .例 7.求el cosxch .例 8 求 J sin yfx dx.例9.建立递推公式/ =、1( = 1,2,).J (广+”)"毅薛本号04教学基本指标教学课题第4章第4节有理函数的积分课的类型新知识课教学方法讲授、课堂提问、讨论、启发、自学教学手段黑板多媒体结合教学重点有理函数、三角函数有理式和简单无理函数的积 分教学难点有理函数、三角函数有理式和简 单无理函数的积分参考教材同济七版高等数学上册作业布置课后习题大纲要求会求有理函数、三角函数有理式和简单无理函数的积分

17、.教学基 本 内 容一.有理函数的积分1 .有理函数的相关概念(1)两个多项式函数的商也 称为有理函数，也称为有理分式,有理分式的一般表达式为尸(x) _+qxT + + _x +0(x) boxn, + bxxmx + + bm_xx + bm其中为自然数；aQ, %,，%及, 4，2都是实数，并且0。0,%00.(2)在有理分式中，当(机时，称之为真分式；当时，称之为假分式.根据多项式的除法，任意 一个假分式都可以化为一个多项式和一个真分式的和，因此有理函数的积分可以转化为多项式或真分式的枳 分，多项式的积分比较简单，所以只需要讨论其分式的积分.2 .真分式的积分(1)任一多项式在实数范围

18、内都可分解为一次因式和二次质因式的乘积：(2)分解原理：分母。(x)在实数范围内能分解成如下形式Q(x) = /?0 (a - )a (x-b)P (x2 +12 +百 + S)”,其中p24q<0,，/一4s0,则真分式如 可以被分解为如下最简分式的和，。)汽幻 a ,&,.4,d,b2 ., bp=1- 1 1 ' ' 1_ 1 ' ' , 11. 1 +QM x-a (丫_)(1-4)x-b(x-/?)pM、x+ N、M.x + N)Max + Na+ d ；1:+ H:,v + px + q 2 + px + qj(炉 + px + q)R

19、/ + S&x + S? .) ， / (*)x +rx + s (x2 +rx + sy(x2 +rx+5)其中A,，4,，囱，跖，M,，M，品S”等为待定常数,利用待定系数 法可以将所有的系数确定.若不计求和次序时，分解式(4. 3)是唯一的.3.假设真分式能够分解成如式(*)的分解式，则真分式的枳分最终归结为如下面两种部分分式的积分： Ar Mx+ Ni |-dx ： (2) -，-4q<0).J (x-)J (r + px + q)二.三角有理函数的积分1 .所谓三角有理函数，是指由sinx、cosx与常数经过有限次的四则运算构成的函数，记作R(sinKcosx).2 .三角函数有理式的积分jR(sinx,cosx)&(1)若火(sin x,cosx)满足条件 H(-sin x,c