高等代数北大版教案-第6章线性空间

1、第六章线性空间§ 1集合映射一授课内容：§ 1集合映射二 教学目的：通过本节的学习，掌握集合映射的有关定义、运算，求和号 与乘积号的定义.三教学重点：集合映射的有关定义.四教学难点：集合映射的有关定义.五教学过程：1 .集合的运算，集合的映射(像与原像、单射、满射、双射)的概念定义：(集合的交、并、差)设S是集合，A与B的公共元素所组成的 集合成为A与B的交集，记作A B ;把A和B中的元素合并在一起组成 的集合成为A与B的并集,记做A B ;从集合A中去掉属于B的那些元 素之后剩下的元素组成的集合成为 A与B的差集，记做A B.定义：(集合的映射)设A、B为集合.如果存在

2、法则f,使得A中任意 元素a在法则f下对应B中唯一确定的元素(记做f(a),则称f是A到B 的一个映射，记为f : A B, a f (a).如果f (a) b B ,则b称为a在f下的像，a称为b在f下的原像.A 的所有元素在f下的像构成的B的子集称为A在f下的像，记做f (A),即 f(A) f (a)|a A .若a a' A,都有f(a) f(a'),则称f为单射.若 b B,都存在 a A,使彳# f(a) b,则称f为满射.如果f既是单射又是满射，则称f为 双射,或称一一对应.2 .求和号与求积号(1)求和号与乘积号的定义为了把加法和乘法表达得更简练，我们引进求和号

3、和乘积号设给定某个数域K上n个数ai ,a2, ,a0，我们使用如下记号：aia2当然也可以写成a1a2(2)求和号的性质 容易证明，nnaiai ,i 1i 1事实上，最后一条性质nanai ,aa2i 1an ai , aa2 1 i nnnn(ai bi)aiIi 1i 1i 1J证明只需要把各个元素！anai .i 1an ai.1 i nn mm n , a。a。.i 1 j 1j 1 i 1I卜成如下形状 ：a11a12a1ma21a22a2man1an2a nm授课内容 教学目的 教学重点 教学难点分别先按行和列求和，再求总和即可§ 2线性空间的定义与简单性质§

4、; 2线性空间的定义与简单性质通过本节的学习，掌握线性空间的定义与简单性质.线性空间的定义与简单性质.线性空间的定义与简单性质.五教学过程：1 .线性空间的定义（1）定义4.1 （线性空间）设V是一个非空集合,且V上有一个二元运 算“+”（V V V）,又设K为数域,V中的元素与K中的元素有运算数量 乘法“？”（K V V）,且“+”与“？”满足如下性质：1、加法交换律，V，有；2、加法结合律一 V ,有（）（）；3、存在“零元”，即存在0 V,使得 V,0；4、存在负元，即 V ,存在 V ,使得 0 ；5 、“1 律” 1?;6、数乘结合律k,l K, V,都有（kl） k（l ） l（k

5、 ）；7、分配律 k,l K, V,都有（k l） k l ；8、分配律 k K, , V,都有k（ ） k k ,则称V为K上的一个线性空间，我们把线性空间中的元素称为 向量.注意: 线性空间依赖于“ +”和“？ ”的定义，不光与集合V有关.（2）零向量和负向量的唯一性，向量减法的定义，线性空间的加法和数 乘运算与通常数的加、乘法类似的性质命题4.1 零元素唯一，任意元素的负元素唯一.证明：设0与0'均是零元素，则由零元素的性质，有0 0' 0 0;V,设，都是的负向量，则0（ '）' （）0,于是命题得证.由于负向量唯一，我们用 代表 的负向量.定义4.2（

6、减法）我们定义二元运算减法"-”如下：定义为 （）.命题4.2线性空间中的加法和数乘满足如下性质1、加法满足消去律；2、可移项；3、可以消因子k 且k 0,则 -；k4、0?0,k?0 0,（ 1）.（3）线性空间的例子例4.1令V表示在（a,b）上可微的函数所构成的集合，令K ?,V中加 法的定义就是函数的加法，关于K的数乘就是实数遇函数的乘法，V构成K 上的线性空间.4.1.2线性空间中线性组合和线性表出的定义，向量组的线性相关与 线性无关的定义以及等价表述，向量组的秩，向量组的线性等价；极大线性 无关组.定义4.3（线性组合）给定V内一个向量组1, 2,L , s,又给定数域K

7、 内s个数k1,k2,L ,ks,称k1 1 k2 2 L ks s为向量组1, 2,L , s的一个 线性组合.定义4.4（线性表出）给定V内一个向量组1, 2,L, s,设 是V内的 一个向量，如果存在K内s个数k1,k2,L ,ks,使得k11k2 2 L ks s,则称向量可以被向量组1, 2,L , s线性表出.定义4.5 （向量组的线性相关与线性无关）给定V内一个向量组1, 2,L , s,如果对V内某一个向量 ，存在数域 K内不全为零的数 k1,k2,L,ks,使得k11k22 Lkss0,则称向量组1,2,L, s线性相关；若由方程k11k22 Lkss0必定推出k1k2L k

8、s 0,则称向量组1, 2,L , s线性无关.命题4.3 设1, 2,L s V,则下述两条等价：1） 1, 2,Ls线性相关；2）某个i可被其余向量线性表示.证明同向量空间.定义4.6 （线性等价）给定V内两个向量组1, 2 ,L , r（I ）,1, 2,L , s（H）,如果（i）中任一向量都能被（n ）线性表示，反过来，（n）中任一向量 都能被（I）线性表示，则称两向量组线性等价.定义4.7（极大线性无关部分组）给定V内一个向量组1, 2,l , s,如果它有一个部分组h, i2,L , ir满足如下条件：（i）、ii, i2,L , ir 线性无关；（ii）、原向量组中任一向量都能

9、被i1, i2,L , ir线性表示，则称此部分组为原向量组的一个极大线性无关部分组.由于在向量空间中我们证明的关于线性表示和线性等价的一些命题 中并没有用到Kn的一些特有的性质，于是那些命题在线性空间中依然成 立.定义4.8（向量组的秩）一个向量组的任一极大线性无关部分组中均 包含相同数目的向量，其向量数目成为该向量组的 秩.例4.2求证：向量组e1x,e2x的秩等于2（其中i 2）.证明：方法一：设k1,k2c R,满足kie1xk2e2x0,则 Ke1xk?e2x,假若ki,k2不全为零，不妨设k10,则有e（1 2）xk2,而由于12,等号左k1边为严格单调函数，矛盾于等号右边为常数.

10、于是匕k2 0.所以e1x,e2x线性无关，向量组的秩等于2.证毕.方法二：若在（a,b）上 k1e1x k2e 2x 0,两端求导数，得k11e1x k2 2e 2x 0,c (a,b)代入，有k1e 1ck2e 2cic2ck1 1e2ck2 2e0,0.ie2c2e2ce( 1 2)c( 2i) 0,于是kik20.证毕.§ 3维数、基与坐标一 授课内容：§ 3维数、基与坐标二 教学目的：通过本节的学习，掌握线性空间的基与维数，向量的坐标 的有关定义及性质.三 教学重点：基与维数、向量坐标的有关定义.四 教学难点：基与维数、向量坐标的有关定义.五教学过程：1.线性空间

11、的基与维数，向量的坐标设V是数域K上的线性空间，则有：定义4.9(基和维数)如果在V中存在n个向量1, 2,L , n,满足：1) 1, 2,L , n线性无关；2)V中任一向量在K上可表成1, 2,L , n的线性组合，则称1, 2,L , n为V的一组基.基即是V的一个极大线性无关部分组.基的个数定义为线性空间的维命题4.4 设V是数域K上的n维线性空间，而1, 2,L , n V.若V 中任一向量皆可被1, 2,L , n线性表出，则1, 2,L , n是V的一组基.证明：由1, 2,L , n与V的一组基线性等价可以推出它们的秩相等.命题4.5 设V为K上的n维线性空间，1, 2,L

12、, n V,则下述两条 等价：1) 1, 2,L , n线性无关；2)V中任一向量可被1, 2,L, n线性表出.定义4.10(向量的坐标)设V为K上的n维线性空间，1, 2,L , n是它 的一组基.任给V,由命题4.4,可唯一表示为1, 2,L , n的线性组合，即！ai K, (i 1,2,L ,n),使得a11a2 2 L 烝n ,于是我们称q,a2,L ,an为在基1, 2,L , n下的坐标.易见，在某组基下的坐标与V/K中的向量是一一对应的关系.§ 4基变换与坐标变换一 授课内容：§ 4基变换与坐标变换二 教学目的：通过本节的学习，掌握基变换与过渡矩阵的定义、

13、运算， 坐标变换公式.三教学重点：基变换与过渡矩阵的定义、运算，坐标变换公式. 四教学难点：坐标变换公式的应用.五教学过程：1 .线性空间白基变换，基的过渡矩阵设V/K是n维线性空间，设1, 2,L , n和1, 2,L , n是两组基，且1t11 1 t21 2 L tn1 n ,2t12 1 t22 2 Ltn2 n,LLLLLLLLLLLnt1n 1 t2n 2 L tnn n.将其写成矩阵形式t11t12 Ltln(1, 2，L，n)1, 2，L，n)t2i12nMtn1tn2 L tnn定义4.11 我们称矩阵t11t12Lt1nt21t22 Lt2 nMM Mtn1tn2Ltnn为

14、从1, 2,L , n到1, 2,L , n的过渡矩阵.命题4.6 设在n维线性空间V/K中给定一组基1, 2,L , n.T 是 K上一个n阶方阵.命(1, 2,L , n)( 1, 2,L , n)T.则有1, 2,L , n是V/K的一组基，当且仅当T可逆.证明：若1, 2,L , n是线性空间V/K的一组基，则1, 2,L , n线性无关.考察同构映射：V Kn, 在1, 2, ,下的坐标，构造方程k1 ( 1)k2 ( 2) L(k1 1 k2 2 Lkn ( n) 0,其中 kiK,(i 1,2,L ,n),kn n) 0k1 1 k2 2 L K n 0,k1k2 L kn 0(

15、 1), ( 2),L , ( n)线性无关.(1), ( 2),L , ( n)构成了过渡矩阵的列向量，所以过渡矩阵可逆;反过来,若过渡矩阵可逆，则构造方程k1 1k2 2 Lkn n 0,其中 K K,(i 1,2,L ,n),两边用 作用，得到k1 ( 1) k2 ( 2) Lkn ( n) 0,k1k2 Lkn 0.证毕.2 .向量的坐标变换公式；Kn中的两组基的过渡矩阵(1)向量的坐标变换公式设V/K有两组基为1, 2,L , n和1, 2,L , n,又设 在1, 2,L , n下 的坐标为3Ha2,L ,an，即( 1, 2,Ln)32 Man在1, 2,L , n下的坐标为(b

16、1,b2,L ,bn),即(1, 2,Ln)b2Mbn现在设两组基之间的过渡矩阵为即(1, 2,L , n) ( 1, 2,L , n)T.32b2M,YManbn于是(1, 2,L , n)X ( 1, 2,L , n)Y ( 1, 2,L , n)TY ( 1, 2,L , n)(TY).于是，由坐标的唯一性，可以知道X TY,这就是坐标变换公式.(2) Kn中两组基的过渡矩阵的求法 我们设Kn中两组基分别为1(all , a12 ,L , a1n ),2(a21, a22 , L , a2n ),LLLLLLLL1(b11, b12 , L , bln ),2(b21,b22,L ,b2

17、n),LLLLLLLL( an1, an2 ,L , ann ).n(bn1,bn2,L ,bnn).而按定义,T的第i个列向量分别是( 1, 2,L , n)( 1, 2 ,Ln)T.i在基1, 2,L , n下的坐标.将12 L n 和12 L1,2, n , 2, jn看作列向量分别排成矩阵a11a2L垢a21a22La2 nMMMan1an 2Lannb11b12Lb21b22LM Mbn1bn 2Lb1n b2nMbnn则有B人将人和8拼成口2n分块矩阵A|B，利用初等行变换将左边矩阵A化为单位矩阵E,则右边出来的就是过渡矩阵T,示意如下: (A|B)行初等变换 (E|T).

18、7; 5线性子空间一授课内容：§ 5线性子空间二 教学目的：通过本节的学习，掌握线性子空间的定义、判别定理 三教学重点：线性子空间的定义、判别定理.四教学难点：线性子空间白判别定理.五教学过程：1 .线性空间的子空间的定义定义4.12 (子空间)设V是数域K上的一个线性空间,M时V的一个非 空子集.如果M关于V内的加法与数乘运算也组成数域 K上的一个线性空 问，则称为V的一个子空间.命题4.7 设V是K上的线性空间,又设一个非空集合 W V ,则W是 子空间当且仅当下述两条成立：1) W对减法封闭；ii) W对于K中元素作数乘封闭.证明:必要性由定义直接得出；充分性:各运算律在V中已

19、有，所以W满足运算彳t的条件.只需要证明0 W且对于任意W, W,且对加法封闭即可.事实上，由于W关于数乘封闭，则0?0 W; ( 1)?W,于是对于 ， W ,() W ,W关于加法封闭.于是W是V的一个子空间.证毕.事实上,W关于加法和数乘封闭也可以得出上述结论.命题4.8 设W是V的一个有限维子空间，则W的任一组基可以扩充 为V的一组基.证明：设dimV n, dimW r, (r n),若r n,则命题为真；若r n,对n r作归纳：设1, 2,L ,r为 W的一组基，取1 V W, 则1, 2,L , r, r 1线性无关.于是令W' k r 1 | W,k K,易 见,W

20、是 V的一个子空间，且dimW' r 1,止匕时n dimW' n r 1 ,对 其用归纳假设即可.§ 6子空间的交与和一授课内容：§6子空间的交与和二 教学目的：通过本节的学习，掌握子空间的交与和的定义、性质及维 数公式.三 教学重点：子空间的交与和的定义及维数公式.四 教学难点：子空间的交与和的性质及维数公式.五教学过程：1 .子空间的交与和，生成元集定义 4.13 设 1, 2,L , t V,则ki i k2 2 Lkt t 国 K,i 1,2,L ,t是V的一个子空间，称为由1, 2,L , t生成的子空间，记为L( 1, 2,L , t).易见，

21、生成的子空间的维数等于1, 2,L , t的秩.定义4.14(子空间的交与和)设V1,V2为线性空间V/K的子空间，定义V1IV2 v M且v V2,称为子空间的交；V1 V2 V1 V2IV1 V1,v2 V2,称为子空间的和.命题4.9V1 I V2和V1 V2都是V的子空间.证明：由命题4.7,只需要证明V1I V2和V1 V2关于加法与数乘封闭即可.事实上,V 1I V2,则，V1,空间，则V 1,V2,于是V 1 IV 1 IV2 , kK , kv V1,kv V2 ,于是 kvV2.由于V1,V2均是V的子V2 , V1I V2关于加法封闭；V 1 I V2 , V1 I V2关

22、于数乘封闭.V 1V2 ,则由V1V2的定义,1, 1V 1,2,2V2 ,使得2,12,而 1V2,则(12)( 12)1)V 1 V2关于加法封闭；由于 k 1 V1,k 2 V2，则 kV 1V2,kk( 1V 1,2)V1V2,V2,使得12,M V2, V1 V2 关于数乘封闭.证毕.V的子空间，则V1 I V2 I L I Vm和命题 4.10 设 V1,V2,L ,Vm 是V1 V2LVm均为V的子空间.2.维数公式.定理4.1 设V为有限维线性空间,Vi,V2为子空间,则dim(M V2) dim V1 dim V2 dim(V11 V2).这个定理中的公式被称为维数公式.证明

23、：设dim V1 s ,dim V2 t , dim(V1 V2) n , dim(V1 I V2) r ,取V1 I V2的一组基扩充为V1,V2的基1,2,L ,（若 Vi I V2=0，则 r0 ,基为空集）,将此基分别只需要证明即可.首先，易1, 2,L ,r , 1, 2 ,L12,其中11k1 12 I1 11 , 2, L , r , 1,1 , 2, L ,2,L ,V1,k22,L2, L ,2,L1,V1 V2中的任I2 2于是 12可被只要再证明向量组V2,而Lkr rL lr r2, L ,2 ,L ,2,L , t r 是 VV2的一组基向量都tr线性表出.事实上,k

24、r 1 1 krlr 1 1 lr 22,L ,2,L , l1,V1V2,则2 ,L ,It t r. ki,lj2,L , t r线性表出. t r线性无关即可.设 k1 1 k2 2其中 ki ,aj, bh1 a22 Las r srbi1b22 Lbtr t r 0,k1 1 k2 2于是k1K.则kr r1k2k2 2 Lkrbia2 2kr r1b2a1 1Las r sra2 21 b2r t r (*)a2 2bt r tas rsrV1,L asr sr MI V2, 记为则可被i, 2,L ,线性表示，设hl 1h2 2 L hr r,代入(*),有hi 1 h2 2 L

25、hr rbi 1b2 2 L Rrtr 0,hrb1b2 Lbt r 0,aa2Las r 0,由于1, 2,L , r, i, 2,L , t r是V2的一组基，所以线卜t无关，则h1h2L代回(*),又有k1k2L kr于是向量组1, 2,L , r, 1, 2,L , sr, 1, 2,L , tr线性无关.证毕.推论2.1设V1M,L ,Vt都是有限为线性空间V的子空间，则:dim(V1 V2 LVt) dim V1 dim V2 L dim Vt.证明：对t作归纳.§ 7子空间的直和一授课内容：§ 7子空间的直和二 教学目的：通过本节的学习，掌握子空间的直和与补空

26、间的定义及性 质.三 教学重点：子空间的直和的四个等价定义.四 教学难点：子空间的直和的四个等价定义.五教学过程：1.子空间的直和与直和的四个等价定义定义 设V是数域K上的线性空间，M,V2,L ,Vm是V的有限为子空间.m若对于Vi中任一向量，表达式i 1m,Vi,i 1,2,L ,m.m是唯一的，则称Vi为直和，记为i 1 mVl V2 L Vm 或 Vi.2i 1定理设V1,V2,L ,Vm为数域K上的线性空间V上的有限为子空间，则下 述四条等价：1)V1 V2 L Vm 是直和；2)零向量表示法唯一；3)ViI (VLV?LVm) 0, i 1,2,L ,m；4) dim(V1V2LV

27、m) dim V1dimV2 L dim Vm.证明：1)2)显然.2)1)设 12 L m 12 L m,则(11) ( 22) L ( mm) 0.由2)知，零向量的表示法唯一，于是i i, i 1,2,L ,m,即 的表示法唯一.由直和的定义可知，V1 V2 LVm是直和.2) 3)假若存在某个 i,1 im,使得VJ (V1 L V? LVm) 0,则存在向量0且 V I (V1 L V? LVm),于是存在j Vj,使得1 L ? L m.由线性空间的定义，Vi I (V1 L? LVm),则1 L () L m () 0,与零向量的表示法唯一矛盾，于是ViI (V1 L V? LV

28、m) 0, i 1,2,L ,m.3) 2)若2)不真，则有01 L ，L m,其中 j Vj(j 1,2,L ,m)且 i 0.于是1 1 L ? L m Vi I (Vi L V? LVm),与3)矛盾,于是2)成立.3) 4)对m作归纳.m=2时，由维数公式得到dim(V1V2)dim V1dim V2 dim(V1 I V2) dim V1dim V2.设m 1(m 3)已证，则对于m,dimM V2 LVm)dimVmdim" V2 L %1)dimVml (VV2 L%，)dimVm dimM V2 L %1)，而i,1 i m 1 ,都有ViI(V1L 谟 LVmJVJ

29、(MLViLVm)0;由归纳假设，可以得到 dim(V1 V2 L Vm) dimV1 dimV2 L dim Vm.4) 3) i,1 i m,都有dimVI(V L 渣LVm)dimV) dimV L V L Vm) dimVV2L Vm)0,于是 V"(V1 L V?LVm) 0, i 1,2,L ,m.证毕.推论 设V1,V2为V的有限维子空间，则下述四条等价：i) V1 V2是直和；ii)零向量的表示法唯一；iii) V11 V2 0;iv) dim(V1 V2) dim V1 dim V2.2 .直和因子的基与直和的基命题设V V V2 LVm,则V1,V2,L ,Vm的

30、基的并集为 V的一组基.证明：设i2,L , i是Vi的一组基，则V中任一向量可被 12rimmUi1,i2,L ,ir线性表出.又 dim Vdim Vir1r2Lrm ,由命题 4.5,i 1,i 1它们线性无关，于是它们是V的一组基. 证毕.3 .补空间的定义及存在性定义设Vi为V的子空间，若子空间V2满足V Vi V2,则称为Vi的补空间.命题 有限维线性空间的任一非平凡子空间都有补空间.证明：设Vi为K上的n为线性空间V的非平凡子空间，取Vi的一组基1, 2,L , r ,将其扩为 V 的一组基 i, 2,L , r, ri, r 2,L , n 取V2L(ri,2,L , n),则

31、有V V| V2,且 dimV| dim V2 n dim(Vi V2),于是V Vi V2,即2是2的补空间.证毕.§ 8线性空间的同构一授课内容：§ i线性空间的同构二 教学目的：通过本节的学习，掌握线性空间同构的有关定义及线性空 问同构的判定.三教学重点：线性空间同构的判定.四教学难点：线性空间同构的判定.五教学过程：1 .线性映射的定义定义 设U,V为数域K上的线性空间，：U V为映射，且满足以下两个条件：i) ()( )( ),(, U)；ii) (k ) k ( ), ( U,k K), 则称为(由U到V的)线性映射.由数域K上的线性空间U到V的线性映射的全体记为 HomK (U ,V),或 简记为Hom(U ,V).定义中的i)和ii)二条件可用下述一条代替：(k l ) k ( ) k ( ),(, U,k,l K).例Mmn(K)是K上的线性空间，Msn(K)也是K上线性空间，取定一 个K上的s m矩阵A,定义映射:Mmn(K) Msn(K),xa AX.则 是由Mmn(K)到Msn(K)的线性映射.例 考虑区间(a,b)上连续函数的全体，它是R上的线性空间，令U L(1,sin x,sin 2x,L ,sin nx),V L(1,cosx,cos 2x,L ,cosn