圆锥曲线与方程知识点总结

1、圆锥曲线与方程考纲导读1掌握椭圆的定义、标准方程、简单的几何性质、了解椭圆的参数方程2掌握双曲线的定义、标准方程、简单的几何性质3掌握抛物线的定义、标准方程、简单的几何性质4了解圆锥曲线的初步应用知识网络椭圆椭圆定义标准方程几何性质a、b、c 三者第二定义间的关系圆锥双曲线双曲线定义标准方程几何性质统曲一线定第二定义义抛物线抛物线定义标准方程几何性质直线与圆锥曲线的位置关系高考导航圆锥曲线是高中数学的一个重要内容， 它的基本特点是数形兼备，兼容并包，可与代数、三角、几何知识相沟通，历来是高考的重点内容。纵观近几年高考试题中对圆锥曲线的考查，基本上是两个客观题，一个主观题，分值 21分24 分，

2、占 15%左右，并且主要体现出以下几个特点：1圆锥曲线的基本问题，主要考查以下内容：圆锥曲线的两种定义、标准方程及 a、b、c、e、p 五个参数的求解圆锥曲线的几何性质的应用2、求动点轨迹方程或轨迹图形在高考中出现的频率较高， 此类问题的解决需掌握四种基本方法：直译法、定义法、相关点法、参数法.3有关直线与圆锥曲线位置关系问题， 是高考的重热点问题，这类问题常涉及圆锥曲线的性质和直线的基本知识以及线段中点、弦长等，分析这类问题时，往往要利用数形结合思想和 “设而不求”的方法、对称的方法及韦达定理，多以解答题的形式出现4求与圆锥曲线有关的参数或参数范围问题， 是高考命题的一大热点，这类问题综合性

3、较大，运算技巧要求较高；尤其是与平面向量、平面几何、函数、不等式的综合，特别近年出现的解析几何与平面向量结合的问题，是常考常新的试题，将是今后高考命题的一个趋势第1课时椭圆基础过关1椭圆的两种定义(1) 平面内与两定点 F1，F2 的距离的和等于常数 (大于 F1 F2 )的点的轨迹叫椭圆，这两个定点叫做椭圆的，之间的距离叫做焦距注：当 2a|F1F2|时，P 点的轨迹是当 2a|F1F2|时，P 点的轨迹不存在(2)椭圆的第二定义：到的距离与到的距离之比是常数 e ，且 e的点的轨迹叫椭圆定点 F 是椭圆的，定直线 l是，常数 e 是2椭圆的标准方程(1)焦点在 x 轴上，中心在原点的椭圆标

4、准方程是： x 2y 21 ，(>>0，且 a 2a 2b 2(2)焦点在 y 轴上，中心在原点的椭圆标准方程是 y 2x 21 ，其中 a，b 满a 2b 2足：3椭圆的几何性质 (对 x 2y 2 1 ,a > b >0 进行讨论)a 2b 2(1)范围：x ，y (2)对称性：对称轴方程为；对称中心为(3)顶点坐标：，焦点坐标：，长半轴长：，短半轴长：；准线方程：(4)离心率： e(与的比)， e， e 越接近 1，椭圆越；e 越接近 0，椭圆越接近于;.(5) 焦半径公式：设 F1 ,F2 分别为椭圆的左、右焦点， P( x0 , y 0 ) 是椭圆上一点，则P

5、F1， PF2 2a PF1 =(6) 椭圆的参数方程为4焦点三角形应注意以下关系：(1) 定义： r1r22a(2)余弦定理： r12 r22 2r1r2cos(2c)2(3)面积：SPF F1r1r2 sin1·2c| y0，|PF2|(其中 P( x0, y0 )为椭圆上一点， |PF1|r12|122r2，F1PF2)典型例题例 1. 求适合下列条件的椭圆的标准方程：（1）两个焦点的坐标分别是（4，0），（4，0），椭圆上一点 P 到两焦点距离之和等于 10；（2）两个焦点的坐标分别是（ 0，2）、（0，2），并且椭圆经过点 (3,5 ) ；22（3）长轴长是短轴长的 3 倍

6、，并且椭圆经过点 A（-3，3 ）变式训练 1：根据下列条件求椭圆的标准方程(1)和椭圆 x2y21 共准线，且离心率为 1 24202(2)已知 P点在以坐标轴为对称轴的椭圆上，点 P 到两焦点的距离分别为 45 和 25 ，33过 P 作长轴的垂线恰好过椭圆的一个焦点例 2. 点 P(3, 4)是椭圆 x2y 2 1 (a>b>0) 上的一点， F1、F2 是它的两焦点，若 PF1PF2a2b2求：(1) 椭圆的方程； (2) PF1F2 的面积解：（1）法一：令 F1(C，0)，F2(C，0). PF1PF2， kPF1kPF 21即 4c41 ，解得 c533c22 y2

7、椭圆的方程为 x2251aa 点 P（3，4）在椭圆上，9ab251a 22解得 a245 或 a25又 ac， a25 舍去.故所求椭圆的方程为 x 2y 21 .4520法二：利用 PF1F2 是直角三角形，求得 c5(以下同方法一 )（2）由焦半径公式：| PF1 |aex35 5×34 535| PF2 |aex35 5×32 535 S PF1F2 1 | PF1| |·PF2| 1 ×4 5 ×2 5 2022变式训练 2：已知 P（x）是椭圆 x2y21（a b0）上的任0,y02b 2a意一点， F1、F2 是焦点，求证：以 P

8、F2为直径的圆必和以椭圆长轴为直径的圆相内切 .证明设以 PF2 为直径的圆心为 A，半径为 r.F1、 F2 为焦点，所以由椭圆定义知 |PF1|+|PF2|=2a，|PF2|=2r|PF1|+2r=2a，即|PF1|=2（a r）连结 OA，由三角形中位线定理，知|OA|= 1 | PF1 |12(ar )ar .22故以 PF2 为直径的圆必和以长轴为直径的圆相内切 .评注运用椭圆的定义结合三角形中位线定理，使题目得证。例 3. 如图，椭圆的中心在原点，其左焦点 F1 与抛物线 y 2 4x 的焦点重合，过 F1 的直线 l 与椭圆交于 A、B 两点，与抛物线交于 C、D 两点当直线 l

9、 与 x 轴垂直时，CD 2 2 AB（1）求椭圆的方程；;.2OF13F2A F2B1F1 ( 1,0)x2y 21( a b 0)a2b2y24xC-12 D1-2x1x| FC1|CD |2 2 |F1A|2A(1, 2 ) 2 |F1A |AB|22111 a2b 2c21a22b2111b21a22b21 2b2x2y21 4 22a2, b1,c1OF11Mx2M (1 , t),2.r ( 1) ( 2)3.22OMr ,( 1 )2t 23 ,t2.22( x1) 2( y2) 29 . 8243点F1(1,0), F2 (1,0)ABxA(1,2),B(1,2 )22F2A

10、( 2,2), F2B ( 2,2 )22F2 A F2B417 922AB xABkAByk( x1)yk( x1)22222 y22 0(1 2k ) x4k x 2(k1) 0x28k 280A(x1, y1 ) B(x2 , y2 ) .x1x24k 22 ,x1 x22(k 21)2k1 2k2111F2 A ( x11, y1 ), F2 B (x21, y2 );.F2A F2 B( x11)( x21)y1 y2(x1 1)( x21) k 2 ( x1 1)( x21)(1 k 2 ) x1 x2(k 21)( x1x2 ) 1 k 2(1 k22( k 21)(k21)(4

11、k 22 ) 1 k2)2k22k117k 2179=2k222(12k 2 )1k 20,1 2k 21,01112k 2F2 A F2B1, 7 ，所以当直线 l 垂于 x 轴时， F2 A F2 B 取得最大值722当直线 l 与 x 轴重合时， F2 A F2 B 取得最小值1变式训练 3：在平面直角坐标系 xOy 中，已知点 A(-1, 0)、B(1, 0), 动点 C 满足条件：ABC的周长为 22 2.记动点 C 的轨迹为曲线 W.(1)求 W 的方程；(2)经过点（ 0,2）且斜率为 k 的直线 l 与曲线 W 有两个不同的交点 P 和 Q，求 k 的取值范围；（3）已知点 M

12、（ 2，0），N（0, 1），在()的条件下，是否存在常数 k，使得向量 OPOQ与 MN 共线？如果存在，求出 k 的值；如果不存在，请说明理由 .解：() 设 C（x, y）, ACBCAB222,AB 2, ACBC 222, 由定义知，动点 C 的轨迹是以 A、B 为焦点，长轴长为 22的椭圆除去与 x 轴的两个交点. a2, c=1 . b2a2c21 . W: x2y21( y0 ).22(2) 设直线 l 的方程为 ykx2 ，代入椭圆方程，得 x(kx 2) 21.2整理，得 (1k 2 ) x222kx10 .2因为直线 l 与椭圆有两个不同的交点 P 和 Q 等价于8k 2

13、4( 1k2 )4k220 ，解得 k2 或 k2 .222 满足条件的 k的取值范围为 k（,2 ) (2 ,)22（3）设 P（x1,y1）,Q(x2,y2),则 OPOQ （x1+x2，y1+y2),由得 x1x242k2 .12k又 y1y2k (x1x2 ) 2 2因为M(2, 0) ，N(0, 1) ， 所以 MN(2, 1).所以 OPOQ 与 MN 共线等价于 x1x2 =-2 ( y1y2 ) .将代入上式，解得 k2 .2所以不存在常数 k，使得向量 OP OQ 与 MN 共线.例 4. 已知椭圆 W 的中心在原点，焦点在 x 轴上，离心率为6 ，两条准线间的距离为 6.3

14、;.椭圆 W 的左焦点为 F ，过左准线与 x 轴的交点 M 任作一条斜率不为零的直线 l 与椭圆 W交于不同的两点 A 、 B ，点 A 关于 x 轴的对称点为 C .（1）求椭圆 W 的方程；（ ）求证： CFFB；2(R )（3）求MBC 面积 S 的最大值.x2y21，由题意可知解：（1）设椭圆 W 的方程为b2a2设点 A ， B 的坐标分别为 (x1, y1 ) ， ( x2 , y2 ) ,18k227k26 ， y1则 x1 x22 ， x1x22k ( x1 3) ， y2 k( x2 3) 13k13k因为 F ( 2,0)， C( x1 ,y1) ，所以 FC( x 2,

15、y ) ， FB ( x2, y2) .112又因为 ( x12) y2( x2 2)(y)1( x1 2)k ( x23) ( x22)k (x13)c6 ,yAk2 x1 x25( x1x2 )12a3B2a2b2,解得 a6 ， c2 ， b2 ，FOx22cM54k1290k2122k22a6,C13k13kck(54 k 212 90k 212 36k2 )x2y21 4 分13k20，所以椭圆 W 的方程为26所以 CFFB 10 分a2（2）解法 1：因为左准线方程为 xc 3 ，所以点 M 坐标为 ( 3,0) .于是可设直 解法 2：因为左准线方程为 x a2 3 ，所以点

16、M 坐标为 ( 3,0) . c线 l的方程为 y k (x3) 于是可设直线 l 的方程为 y k( x3) ，点 A ， B 的坐标分别为 ( x1 , y1) ， ( x2 , y2 ) ,yk( x 3),x2y2得 (13k 2 ) x218k 2 x27k260 .则点 C 的坐标为 ( x1 ,y1) ， y1k ( x13) ， y2 k( x2 3) 612由椭圆的第二定义可得由直线 l 与椭圆 W 交于 A、 B 两点，可知|FB |x23| y2|FC |x13,2| y1 |(18k 2 )24(1 3k 2 )(27 k26)0 ，解得 k2FB 10 分3所以 B，

17、F ，C三点共线，即 CF(3)由题意知;.S1 | MF | y1 |1 | MF | y2 |221|MF | y1y2 |21 | k (x1x2 ) 6k |23 |k|3233，13k21323| k | k |当且仅当 k 21时 “ =成”立，33所以MBC 面积 S 的最大值为22变式训练 4：设 F1 、 F2 分别是椭圆 x+ y= 1的左、右焦点 .54（1）若 P 是该椭圆上的一个动点，求 PF1PF2 的最大值和最小值；（2）是否存在过点 A（5，0）的直线 l 与椭圆交于不同的两点 C、D，使得 |F2C|=|F2D|？若存在，求直线 l 的方程；若不存在，请说明理

18、由 .解：（1）易知 a5,b2, c 1,F1(1,0), F2 (1,0)设 P（x，y），则( 1,)(1 ,)221PF2xyxy xyPF1x244 x 211 x2355x5,5 ，当 x0 ，即点 P 为椭圆短轴端点时， PF1PF2 有最小值 3；.当 x5 ，即点 P 为椭圆长轴端点时， PF1 PF2 有最大值 4（2）假设存在满足条件的直线 l 易知点 A（ 5，0）在椭圆的外部，当直线 l 的斜率不存在时，直线 l 与椭圆无交点，所在直线 l 斜率存在，设为 k直线 l 的方程为 yk( x5)x2y21 ，得 (5k 24) x250k2 x 125k 220 0由方

19、程组 54yk( x5)依题意20(1680k 2 )0，得5k55555时，设交点 C ( x1 , y1 )、 D ( x2 , y2 ) ，CD 的中点为 R( x0 , y0 ) ，当k55则 x1x250k 2, x0x1x225k 25k 2425k 24y0k ( x05)k(25k 245)20k .5k 25k 24又|F2C|=|F2D|F2 Rlk kF2R10(20 k)20k2k kF2 Rk5k 24125k 24 20k 215k 2420k224，而 20k224 不成立，所以不存在直线 l ，使得 |F22=20k=20kC|=|FD|综上所述，不存在直线 l

20、，使得 |F2C|=|F2D|小结归纳1在解题中要充分利用椭圆的两种定义，灵活处理焦半径，熟悉和掌握 a、b、c、e 关系及几何意义，能够减少运算量，提高解题速度，达到事半功倍之效2由给定条件求椭圆方程， 常用待定系数法步骤是：定型 确定曲线形状；定位;.确定焦点位置；定量 由条件求 a、b、c，当焦点位置不明确时，方程可能有两种形式，要防止遗漏3解与椭圆的焦半径、焦点弦有关的问题时， 一般要从椭圆的定义入手考虑；椭圆的焦半径的取值范围是 ac, ac 4“设而不求”，“点差法”等方法，是简化解题过程的常用技巧，要认真领会5解析几何与代数向量的结合，是近年来高考的热点，应引起重视第2课时双曲线

21、基础过关1双曲线的两种定义(1) 平面内与两定点 F1，F2 的常数(小于)的点的轨迹叫做双曲线注：当 2a|F1F2|时，p 点的轨迹是2a|F1F2|时，p 点轨迹不存在(2) 平面内动点 P 到一个定点 F 和一条定直线 l (F 不在 上)的距离的比是常数 e，当 e 时动点 P 的轨迹是双曲线设 P 到 F1 的对应准线的距离为 d ，到 F2对应的准线的距离为 d2 ，则PF1PF2d1ed22双曲线的标准方程(1) 标准方程：x2y2轴上；y2x 21 ，焦点在轴上其中：a0，a22 1，焦点在a2b2bb 0， a 2(2) 双曲线的标准方程的统一形式：mx2ny21(nm 0

22、)3双曲线的几何性质 (对 x2y20, b 0 进行讨论 )221, aab(1)范围： x， y(2)对称性：对称轴方程为；对称中心为(3)顶点坐标为，焦点坐标为，实轴长为，虚轴长为，.准线方程为，渐近线方程为(4) 离心率 e =，且 e， e 越大，双曲线开口越， e 越小，双曲线开口越，焦准距 P(5) 焦半径公式，设 F1，F2 分别是双曲线的左、右焦点，若 P( x0 , y0 ) 是双曲线右支上任意一点，PF，PF，若 P( x , y) 是双曲线左支上任意一点， PF，12001PF2(6)具有相同渐近线 yb x 的双曲线系方程为a(7)的双曲线叫等轴双曲线，等轴双曲线的渐

23、近线为，离心率为(8)x 2y21 的共轭双曲线方程为a 2b2典型例题例 1根据下列条件，写出双曲线的标准方程(1) 中心在原点，一个顶点是 (0，6)，且离心率是 1.5(2) 与双曲线 x22y22 有公共渐近线，且过点 M(2，2)解： (1)顶点为(0，6)，设所求双曲线方程为 y 2x 21 a 6a 2b 2又 e 1.5 c a e b 1.5 9故所求的双曲线方程为 y 2 x 2136 45(2) 令与双曲线 x22y22 有公共渐近线的双曲线为 x22y2 k 双曲线过 M（2，2） 42×4k得 k4 x2 2y24 即 y 2x 2124变式训练 1：根据下

24、列条件，求双曲线方程。22（1）与双曲线 xy1 有共同渐近线，且过点（ -3， 23 ）；916;.（2）与双曲线 x 2y 21 有公共焦点，且过点（ 32 ，2）1642解：法一：（1）双曲线 x 24 xy1 的渐近线为 y9163令 x=-3，y=±4，因 23 4 ，故点（-3， 2 3 ）在射线 y4 x （x0）及 x 轴负半轴之3间， 双曲线焦点在 x 轴上设双曲线方程为x 2y 21 ，（a>0，b>0）a 2b 2b4a3( 3)2( 23 ) 21a 2b 2解之得：a29b244 双曲线方程为 x 2y 21944（2）设双曲线方程为 x 2y2

25、1 （a>0，b>0）a2b 2a2b220则 (32) 2221a2b2解之得：a212b28 双曲线方程为 x 2y 21128法二：（1）设双曲线方程为 x 2y 2（ 0）916.( 3)2(2 3)29 16 1422 双曲线方程为 xy19 442216k0（1）设双曲线方程为xy16k 4 k1k04(32) 22 2116k4 k解之得： k=4 双曲线方程为 x 2y 21128评注：与双曲线x 2y 21 共渐近线的双曲线方程为x 2y 2（0），当 >0时，a 2b 2a2b 2焦点在 x 轴上；当 <0时，焦点在 y 轴上。与双曲线 x2y2共焦

26、点的双曲线为1y 2a2b 2x 2122a2kb 2（a +k>0，b -k>0）。比较上述两种解法可知，引入适当的参数可以提k高解题质量，特别是充分利用含参数方程的几何意义，可以更准确地理解解析几何的基本思想。例 2 双曲线型自然通风塔的外形，是双曲线的一部分绕其虚轴旋转所成的曲面，它的最小半径为 12 m，上口半径为 13 m，下口半径为 25 m，高 55 m.选择适当的坐标系，求出此双曲线的方程（精确到 1m） .解：如图 817，建立直角坐标系 xOy，使 A 圆的直径 AA在 x 轴上，圆心与原点重合 .这时上、下口的直径 CC、BB平行于 x 轴，且 CC =13&

27、#215;2 (m)， BB =25×2 (m).设双曲线的方程为 x2y 21 （a>0,b>0）令点 C 的坐标为（13，y），则点 B 的坐标为（25，ya2b255） .因为点 B、C 在双曲线上，所以 252( y 55) 21, 132y 21.12 2b212 2b 2;.252( y 55) 21(1)解方程组 12 2b 25 b （负值舍去） .代入y 2由方程（ 2）得 y1321(2)12122b 22( 5b55) 2方程（1）得2512b 21, 化简得 19b2+275b18150=0（3）122解方程（3）得b25 (m)所.以所求双曲线方

28、程为： x2y21.144625变式训练 2：一炮弹在某处爆炸，在 A 处听到爆炸声的时间比在 B 处晚 2 s.（1）爆炸点应在什么样的曲线上？（2）已知 A、B 两地相距 800 m，并且此时声速为 340 m/s，求曲线的方程 .解（1）由声速及 A、B 两处听到爆炸声的时间差，可知 A、B 两处与爆炸点的距离的差，因此爆炸点应位于以 A、B 为焦点的双曲线上 .因为爆炸点离 A 处比离 B 处更远，所以爆炸点应在靠近 B 处的一支上 .（2）如图 814，建立直角坐标系 xOy，使 A、 B 两点在 x轴上，并且点 O 与线段 AB 的中点重合.设爆炸点 P 的坐标为（ x,y），则

29、PA PB 3402680,即 2a=680,a=340.又 AB800, 2c=800,c=400,b2=c2a2=44400. PAPB 6800, x>0.所求双曲线的方程为：x2y21(x>0).11560044400例 3.ABC 中，固定底边 BC，让顶点 A 移动，已知 BC4 ，且 sin C sin B1 sin A ，求2顶点 A 的轨迹方程解：取 BC 的中点 O 为原点，BC 所在直线为 x 轴，建立直角坐标系，因为 BC4 ，所以142，即 ABAC2由双曲线B( 2,0 )， c(2,0) 利用正弦定理，从条件得 c b2定义知，点 A 的轨迹是 B、C

30、 为焦点，焦距为 4，实轴长为 2，虚轴长为 23的双曲线右.支，点 (1，0)除外，即轨迹方程为 x2y 21 ( x1 )3变式训练 3：已知双曲线 x2y 21( a0, b0) 的一条渐近线方程为 y3x ，两a2b 2条准线的距离为 l.（1）求双曲线的方程；（2）直线 l 过坐标原点 O 且和双曲线交于两点 M、N，点 P 为双曲线上异于 M、N 的一点，且直线 PM，PN 的斜率均存在，求 kPM·kPN 的值.b3,a2a2（1）解：依题意有：c1,a2b 2c2 ,解得 a 21, b23.可得双曲线方程为 x 2y 21.3（2）解：设M ( x0 , y0 ),

31、由双曲线的对称性,可得 N(x0 , y0 ).设P(xP , yP ),则k PMkPNyPy0yPy0yP2y02xPx0xPx022 .xPx0又 x02y021,3所以 y023x023,同理 yP23xP23,;.3xP233x0233.所以 k PM kPNxP2x02例 4. 设双曲线 C： x2y 21的左、右顶点分别为 A 1、A 2，垂直于 x 轴的直线 m 与双2曲线 C 交于不同的两点 P、Q。（1）若直线 m 与 x 轴正半轴的交点为 T，且 A1PA2 Q 1，求点 T 的坐标；（2）求直线 A1P与直线 A 2Q 的交点 M 的轨迹 E 的方程；（3）过点 F（1

32、，0）作直线 l 与（）中的轨迹 E 交于不同的两点 A 、B，设 FAFB ，若 2, 1, 求 |TATB |（T 为（）中的点）的取值范围。解：（1）由题，得 A (2 ,0), A(2 ,0) ，设P(x0 , y0 ), Q( x0 , y0 )12则 A1P( x02 , y0 ), A2 Q( x02,y0 ).由 A1PA2 Q1x02y0221,即x02y023.又 P(x0 , y0 ) 在双曲线上，则 x02y021.2联立、，解得x02由题意， x00,x02.点 T 的坐标为（ 2，0） 3分（2）设直线 A1P与直线 A 2Q 的交点 M 的坐标为（ x，y）由 A 1、P、M 三点共线，得( x02) yy0 ( x2) 1分由 A 2、Q、M 三点共线，得( x02) yy