全等三角形证明题(含答案版)

1、1、如图，四边形 ABCD 是边长为 2 的正方形，点 G 是BC 延长线上一点，连结 AG,点 E、F 分别在 AG上，连接 BE、DF，/ 仁 / 2 ,/ 3= / 4.(1)证明： ABE DAF ;(2)若/ AGB=30，求 EF 的长.【解析】(1)v四边形 ABCD 是正方形,【解析】(1)ADBADC、/ AB=AD， 2 1丿AB = DAN4=N3在厶 ABE 和厶 DAF 中，L/ ABEDAF.(2)v四边形 ABCD 是正方形，/Z1 +/4=90VZ3=/4,/Z1 +/3=90ABDABE、AFDAFE、BFD BFE、ABEACD(写出其中的三对即可).(2)

2、以ADB AD(为例证明.证明：7 AD _ BC, ADB ADC =90/ZAFD=90在正方形 ABCD 中，AD / BC,/Z1 =ZAGB=30/ AF=3, DF =1,由得厶 ABEADF,/ AE=DF=1,在 RtADB和 RtADC中，TAB二AC, AD = AD,RtADB幻 RtADC3、 在厶 ABC 中,AB=CB,ZABC=90,F 为 AB 延长线上 一点，点 E 在 BC 上,且 AE=CF.(1) 求证：Rt AB E 幻 Rt CBF;(2) 若ZCAE=30o,求ZACF 度数./ EF=AF-AE= i3T2、如图，AB=AC,AD_BC 于点 D

3、，AD =AE，AB 平分.DAE 交 DE 于点 F，请你写岀图中三对全等三角形， 并选取其中一对加以证明.在 Rt ADF 中，ZAFD=90AD=2,即/ ACE 艺 BCD,【解析】(1)v/ABC=90/ CBF=/ABE=90在 Rt ABE 和 Rt CBF 中/ AE=CF, AB=BC/ Rt ABE 幻 Rt CBF(HL)TAB=BC,/ABC=90/CAB=/AC B=45/ZBAE=/CAB-/CAE=45-30=15.由(1)知 RtAABE 幻 RtACBF,/-ZBCF=ZBAE=15/Z ACF=ZBCF+ZACB=45+15=604、已知：如图，点 C 是线

4、段 AB 的中点，CE=CDZACD=ZBCE,求证：AE=BDAC = BC在厶ACE和厶 BCD 中，諾ACE= . BCD,CE = CD ACE BCD ( SAS),/ AE=BD.5、如图 10 ,已知RtABC三RU A D E,ABC ADE二90,BC与DE相交于点F，连接CD, EB.(1) 图中还有几对全等三角形，请你一一列举；(2) 求证：CF = EF.【解析】(1)ADC三ABE,CDF三EBF(2)证法一：连接CE题 20 图【解析】/点 C 是线段 AB 的中点,/ AC=BC ,/ZACD=/ BCE,/ZACD+ZDCEZBCEZDCE,Rt ABC三Rt

5、ADE/ AC二AE/ ACE =/AEC又/Rt ABC二Rt ADE/ACBAED第 22 题图.ACE一. ACB = . AEC - AED即BCE =/DEC：CF = EF证法二：RtABC三RtADEAC =AE,AD =AB, . CAB EAD:.ABCAED: AB=AE(2) BE 丄 AF,BE/CD,AF 平分 BE7、如图 I，已知正方形于点 0,E 是 垂足为 M，(1)求证：OE=OF.CAB - DAB = EAD - DAB即一CAD = - EAB：.ACD二.AEB(SAS):CD = EB, ADC = ABEADE ABC:.CDF EBF又：DFC

6、 = BFE:.CDF二.EBF (AAD):CF = EF6、如图，点 F 是 CD 的中点，且 AF 丄 CD , BC =ED，/BCD= ZEDC.(1) 求证：AB=AE ;(2) 连接 BE,请指出 BE 与 AF、BE 与 CD 分别有怎样的关系？(只需写岀结论，不必证明).【解析】(1)证明：联结 AC、ADT点 F 是 CD 的中点，且 AF 丄 CD，：AC=AD：ZACD=/ADCvZBCD= ZEDC：ZACB=ZADE(2)如图 2,若点 E 在 AC 的延长线上，AM _ BE 于点M，交 DB 的延长线于点 F，其它条件不变，则结论“OE=OF 还成立吗？如果成立

7、，请给出证明；如果不 成立，请说明理由.(1)证明：v四边形 ABCD 是正方形.:BOE= AOF = 90. OB = OA又vAM _ BE，MEA+ / MAE =90 = AFO+ MAEMEA = AFO: Rt BOE 幻 Rt AOFvBC=DE，AC=ADBD 相交-BE，: OE=OF(2)0E = OF 成立证明：T四边形 ABCD 是正方形，.上BOE= AOF = 90. OB = OA又/ AM _ BE , E F+ MBF =90 = . B+ . OBE又：MBF = . OBE乙F= ZE/ RtBOE 幻 RtAAOF/ OE=OF8 如图 1，点 P、Q

8、 分别是边长为 4cm 的等边？ABC 边AB BC 上的动点，点 P 从顶点 A，点 Q 从顶点 B 同 时出发，且它们的速度都为1cm/s，(1) 连接 AQ CP 交于点 M 则在 P、 Q 运动的过 程中，/ CMC 变化吗？若变化，则说明理由， 若不变，则求岀它的度数；(2) 何时？PBQ 是直角三角形？(3) 如图 2，若点 P、Q 在运动到终点后继续在射线 AB BC 上运动，直线 AQ CP 交点为 M, 则/CMQ 变化吗？若变化，则说明理由，若 不变，则求岀它的度数；又由条件得 AP=BQ，/.：ABQ幻CAP(SAS)二BAQ二/ACP4当第秒或第 2 秒时，？PBQ 为

9、直角三角形3(3)CMQ =120。不变。(1)CMQ =60不变。【解析】A-600等边三角形中，AB二AC, B = . CAP二600.CMQ ACP . CAM BAQ . CAM BAC二60(2)设时间为 t，贝 U AB=BQ=t PB=4-t当004PQB=9O0时，常B=6O0, PB=2BQ,得4-t=2t,t3当BPQ =90时，B = 600rBQ=2PQ,得2t = 2(4 - t),t = 2PCB二MCQ二CMQ二PBC = 120029、如图：ACB 与丄 DCE 是全等的两个直角三角形，其中 N ACBN DCE=90, AC=4 BC=2 点 D C、B 在

10、同一条直线上，点 E 在边 AC 上.（1） 直线 DE 与 AB 有怎样的位置关系？请证明你的结论；（2） 如图（1 ）若. DCE 沿着直线 DB 向右平移多少距离时，点 E 恰好落在边 AB 上,求平移距离 DD；（3） 在 DCE 沿着直线 DB 向右平移的过程中，使二 DCE 与二 ACB 的公共部分是四边形，设平移过程1丁0wtw2二当t时，S的值最大.2(3) 存在.设经过 t 秒时，NB=t, OM= 2t 则CN =3_t，AM =4-2t . BCA=.MAQ=45若.AQM =90：，则PQ是等腰 RtMQA中的平移距离为x，这个四边形的面积为y，求y底边MA上的高D D

11、 C若.QMA =D9o：，此时QM用咅QP重合（1）图QM = QP = MA-1 t = 42t【解析】解：（1）点 M(2)经过 t 秒时，NB=t，OM =2t则CN =3-t,AM =4 -2tABCA=MAQ=45二t = 1/点M的坐标为(2, 0)10、如图，A, F,E,E四点共线，AC_ CEBD_DF,AE=BF,AC=BD。求证：MC A BD E/.QN二CN =3 -tPQ =1 t1 1二SAAMQMAMLPQ =3(4-2t)(1 t)-t2t 2与x的函数关系式，并写岀它的定义域PQ是底边MA的中线- St2t 2A【解析】.ADF二/ADB . EDF一AC

12、 _CE,BD _DF.ACE =. BDF =90，在Rt ACE与Rt BDF中AE =BFAC = BD二Rt. ACE三Rt. BDF(HL)EA=/B一AE =BF.AE -EF =BF -EF, 即AF =BE在ACF与BDE中AF =BE. : ZA ZB IAC二BD. ACF三BDE(SAS)11、如图，D是.ABC的边BC上的点，且CD =AB,.ADB =/BAD,AE是ABD的中线。求证：AC =2AE。.ADC二/BAD . B又一ADB=/BADADF = ADC一AB二DF,AB二CDDF二DC在ADF与ADC中AD =AD:比ADFADCDF =DC.ADF二.:ADC(SAS)AF二AC又一AF =2AEAC=2AE。III12、已知：AC 平分/ BAD CE AB, / B+ZD=180,【解析】延长AE至点F,使EF =AE，连接DF在ABE与FDE中AE =FE AEB = FEDIBE =DEABE二FDE(SAS)ZB ZEDF求证：AE=