必修4311两角和与差的余弦学案

1、3.1.1 两角和与差的余弦 一中学习目标：i.经历用向量的数量积推导两角差的余弦公式的过程，体验和感受数学发现和创造的过程，体会向量和三角函数间的联系；2. 用余弦的差角公式推出余弦的和角公式，理解化归思想在三角变换中的作用;3. 能用余弦的和差角公式进行简单的三角函数式的化简、求值及恒等式证明 学习重点：余弦的差角公式的推导.学习难点：余弦的差角公式的推导.自主学习：八 TT1.已知 a = cosx, sin x , b = 1,1 ,贝V(1)利用ab =论乂2 y1 y2可得到什么？T T利用a * bcos二可得到什么1思考由(1)(2)得到的式子有何关系？b =OP2 二,T T

2、a b = X1X2 yi y2 =学习探究：i.两角差的余弦公式-严 cos cos sin ： sinC i- -i :,-i思考在直角坐标系xOy中,单位圆O与x轴交于P0,以Ox为始边分别作出角其终边分别和单位圆交于p,P2,P3,由卩0巳=P2p ,你能否导出两角差的余弦公式 ？yZ2. 两角和的余弦公式cos ： = cos： cos - sin： sin ： C - 思考”用-代替的换元方法体现在图形上具有什么几何意义？你能直接利用向量的数量积推出两角和的余弦公式吗 ？说明：（i）两角和（差）的余弦公式体现的是角 与角二之间的关系；（2） 公式中的角1具有任意性；(1) cos1

3、. 利用两角和（差）的余弦公式证明下列诱导公式 ：sin课堂练习:1.利用两角和（差）的余弦公式,求cos75°, cos15° ,sin15°,tan150 .少厂兀、3'3 n 2.已知sin_3"L严討十门求加小）的值.自主练习3coso:= -rc，求CMf Q旷一5I a丿I 3 Ji.已知34cosd + cos/J =ana+sin/J=求 cos(or0 )的值,2. 二 ：3. 求cosSO' cos35° + coslDos55*的值,自我总结：两角和与差的正弦（一）学习目标：i.能用余弦的和差角公式推导出正

4、弦的和差角公式，并从推导的过程中体会到化归思想的作用；2.能用正弦的和差角公式进行简单的三角函数式的求值学习过程：自主学习1. 两角和（差）的余弦公式2.(1) 化简:sin ： sin -cos： cos : =；(2) 化简：cos:;I'1 cos -sin ：；l;, sin : =；(3) 求值:si n100°s in-160° cos200° cos - 280° =；(4) 求值：sin 7350 =.3,求sin空亠；啲值.23. 对于上题 中的求值,能否不将其转化成两角和的余弦公式来计算？有没有两角和（差）的正弦公式？4. 两

5、角和正弦公式的推导sin 很-=sin ： cos ： cos： sin I-学习探究:52.已知COS :a'4 一 5-Dps:均为锐角，求sin的值.1.已知 sin ：3.求函数= 1sinx 仝cosx2 2的最大值.练习：y/31 .1. 函数y COS x Sin x的最小值为 _ 此时x的集合为 ；222. 函数y = 3sin x - cosx的周期为 _ 最大值为 _ 单调减区间为 ;12 53. 函数 ysinxcosx的最大值为 ；最小值；13 134. 函数 y = asin x - bcosx （ a,b均为正数）的最小值为 .5.化简 Tzcosx-yfi

6、smx选作叭恥険。芒a.已知二二3 .3 / -a=sin+ 0（4丿54严丿513 , 求 sm(+的值.自我总结两角和与差的正弦（二）学习目标：i.能用正弦的和差角公式进行简单的三角函数式的化简，求值,及恒等式证明2. 进一步体会转化与变换的数学思想.学习过程：自主学习：1.两角和（差）的余弦公式2. 两角和（差）的正弦公式学习探究1.求证:sin 2A Bsin A'-2cos A B 二sin Bsin A2.求值:2cos100 -sin 20°cos20°3.已知sin=2,sin- - - -1,求坦匚 的值35 tan 卩4.已知.二，都为锐角，si

7、n ： - 1, cos - - 513 ,求 sin :和 cos 的值714115.已知 sin 二:" sin ,cos- cos ,求 cos :的值23学习目标：两角和与差的正切（1）会由正余弦的和差角公式推导出正切的和差角公式，并从推导的过程中体会到化归 思想的作用。能用正切的和差角公式进行简单的三角函数式的化简、求值及恒等式证明。学习过程：自主学习：回顾课本95页例2中求tan 15o的过程，我们先分别求出sin15°和cos15°,再由同角三角函数的关系求出tan 15o。问：能否由tan45°和tan30°直接求出tan 15

8、o？1回答上述问题,(T ( a - 3 )。tana +tan P tan( a +3)=1-tantan ：tan( a - 3 )=旦凹1 + tanot tan P两角和与差的正切公式在结构上有什么特点?学习探究：例1已知tana ,ta n 3是方程x2+5x-6=0的两根，求tan (a + 3 )的值。例2求证:1 tan 1501 -ta n15°例3如图：三个相同的正方形相接，求证:例 4 在斜三角形 ABC 中，求证：tanA + tanB + tanC= tanA tanB tanC思考：一般的，当角 A， B，C满足什么条件时，能使等式tanA + tanB

9、+ tanC= tanA tanB tanC成立？五练习4C.二 D 一2.练习：求证3已知2tan 0-5 I -J1求* Q tan +4丿的值.sin(a + 0)sin(u - 0)卜 tan 0 sin2acos2tan%tan 2a-4已知求上亠一的值.如图，两座建筑物 AB , CD的高度分别是9m和15m，从建筑物 AB的顶部A看建筑物CD的 张角/ CAD=45°,求建筑物 AB和CD的底部之间的距离 BD。二倍角的三角函数（1）学习目标：能从和角公式推导出倍角公式，理解化归思想在公式推导中的作用。 学习过程：自主学习：1函数y=sinx与y=sin2x图象之间的位

10、置关系。2角a的三角函数与角 2 a的三角函数之间有怎样的关系? 二学生活动： 由S( a + B ) , C a + B ) , T( a + B)公式中，令3 = a可以得到的结果:sin2 a =;cos2a =;ta n2三数学建构： 倍角公式：sin2 a =(S2 a )；cos2 a =(C2 a)；tan2 a =(T 2 a ) 0学习探究：例1已知sin a :=12JTa ,二)，求 sin2 a , cos2 a , tan2 a 的值。132例2求证：1 sin 2 cos21 sin2cos2厂例3化简cos20 °cos40 °cos60 &#

11、176;cos80o;练习：1. 2sin155cos1=.2. 2sin22.5°cos22.5.31Tt3. -3sincos =88 4. 2cos2 75 ° -1 =.5. cos2 67 30' sin 267 °30 =6. 2sin2 7.5*-1=.212兀7. 2cos21 =58. 2sin215°-1=.29. 1-2sin 735° =.10. sin4112.5 -cos4112.5 =11.tan 22.5* =1 -ta n222.5 = 2tan165” 二1 -ta n2165 =_、计算:1.3已矢

12、口 sin a二一，且用三5二兀 I ,求 sin2a、cos2a、tan2a<2丿2.已知cosa = 25 '且尹，求sin2a、cos2a、tan2a已知 tana =-2,求 tan2a ,cot2a5 兀兀4 已知 sin2"i?4_2 求 sin4，cos4伽4的值二倍角的三角函数（2） 学习目标：灵活运用二倍角公式进行三角恒等变换。学习过程： 一回顾：二倍角公式学习探究例 1 化简 sin2 () sin2 () - sin 2 二.6 6例3在半圆形钢板上截取一块矩形材料，怎样截取能使这个矩形的面积最大?自主练习：1、已知1 tan:fyH亠 4：=，则

13、 tan :=5412012011A、B、C、-PiD、119119239239a1sin 二2、右 tan 则_23a1 cos211A、3B、-C、3D、-一333、已知f(x)二 ' 1-x，化简：f (sin 2) _ f (_sin 2)A、2cos1B、 2sin1C、-2cos1D、-2si n14、不用计算器求值：sinlO cos20 cos40 cos60 二5、化简:sin 2 cos：1 cos2：1 cos-，几个三角恒等式学习目标：激发数学发现的1. 通过和差化积公式和积化和差公式的推导，让学生经历数学探索和发现过程,欲望和信心2. 提高三角变换的能3了解积

14、化和差、和差化积公式，以及万能公式、半角公式自主学习问题1:在引入对数概念以后，我们还研究了它的运算，并得到了一些重要的结论,log a m + log a n = log a(mn)同样，在定义了三角函数以后，我们也应该考虑它的运算，女口sin ：亠 sin I - =?你能探索出来么？思考并解决上述问题注意证明过程中的代换与转化思想问题2:你还能发现其他类似的恒等式么？这组公式我们称为和差化积公式问题3:你能证明它们么？(可以选择其中的2个证明)问题4:前面我们探索并证明了和差化积公式，那么由它们你能发现并证明另外一组与之相对应的公式么？女口 sicos：? =?还有其他的么？（可以选择其

15、中的2个证明）和差化积公式：、Ra + P a - P(1) sin二厂卜sin ： = 2sincos2 2(2) sin : -sin :=(3) cos ：亠 cos :=(4) cos：- -cos :=积化和差公式：1(1) sin : coss in (二 "；) - si n(：-)2(2) cos： sin :=(3) cos： cos :=(4 ) sin -：:sin :=学习探究cos7 -sin 15 sin 8例 1.（ i）化简 sin7 cos15 sin 2 2例 2.已知函数 y=sin x 2sin xcosx _3cos x , x R(1) 求

16、函数的最小正周期(2) 求函数的最大值例 3.探求(1 tan 1 )(1 tan 44 )PNMQ 使例4.如图，在半径为 R、圆心角为60的扇形AB弧上任取一点P,作扇形的内接矩形 点Q在0A上，点M N在0B上，求这个矩形面积的最大值及相应的/AOP勺值.课堂练习：。 1cos101. tan70 -JI且，0 ：2 2|.'1-；2.已知 cos) :,sin(：)292求 COS(二- .-)3证明：tan仝丄=上0竺21 +cosasi na4.在厶ABC中,求证：tan A tan 旦 tanB tanC tan? tan = 12 2 2 2 2 2已知 tan A t

17、an B tan Atan B = 1，求 C 的度数。5.求值：(1 tan1 ) (1 tan2 )(1 tan44 )(1 tan45 )自我总结第三章三角恒等变换综合练习班级姓名学号得分一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的）4 3-,cos：=,则角B所在的的象限是5Q1 .已知sin =25B.第二象限TT 1TT2.已知 tan( a+ 3)=,tan( 3 )=，贝V tan( a+ )等于5444A 第一象限C.第三象限D .第四象限B . 1322A .183. 已知sin a=，则cos4a的值是5322A

18、 .25B .丄25C.1225D .25334. 已知 sin( a 3= ,sin( a+ 3= ，且55a+（石,2 ",则cos2 3的值是24 D 4A .B .25 55. ABC 三内角满足 2cosBsinA= sinC,A .等腰三角形B.等边三角形6 .- 的值是sin10 cos10则 ABC的形状为C .直角三角形D. -1D .等腰直角三角形C. 47.函数y=sinx+cosx（0叹W3 ）的值域是A . - .2, .2 B . -1, .2.1,2&1铲。的值是tan 750B . -2 3D.2门9 .sin 15°sin30

19、76;sin75° 的值等于1D.-4A .乜B .乜4810 . tan70°+tan50°- 3 tan70°tan50° 的等于A .3B .乜32 211 函数y=sin (sX-cos (g)的周期T=4 n那么常数 ®等于(1 1A -B 2C. D 42 412 .函数y=cos( - )-sin( )的单调递增区间是2 6 2 613二nrA . 4kn-, 4kn (k Z)6 611二B. 4kn, 4kn+ (k Z)6 6C . 2kn 二，2kn+£ (k Z)6 6二、填空题(本大题共4小题，每小

20、题13 .已知 sin12°=a,则 sin66°=D. 2kn 2kn n (k Z)4分，共16分，把答案填在题中的横线上3 i12314已知2 -八匸，cos(小)=新in(a+萨飞,那么sin2a=15.化简:HJIcos( 4 - a)cos( 4 + a=2JT16.设 f(x)=2cos x+ 3 sin2x+a(a R),当 x 0,时，f(x)的最大值是 4,贝U a=.三、解答题(本大题共6小题，17-21题每小题12分，22题14分，共74分，解答应写出文字说 明、证明过程或演算步骤)2cos2 卫-sin 日-117 .已知tan 9=2,求2的值4

21、1 si n(2 +日). 218 .求 y= .3 sinxcosx-cos x 的最大值.19 .已知 sin(2 a 3)=3sin 3,求 tan俭 * 卩)的值. tana20.已知前（訂）=-5,-呛，求cos29的值。1 321.若 A、B、C 是厶 ABC 的内角，cosB = - , sinC=,求 cosA 的值.2 5 ITJT22 .已知向量 OA =(cos a,sin a), OB =(-sin( a+ ),cos( o+ ),其中 O 为原点，实数 6 6|入OA-OB| >, 3|OB|,求实数 入的取值范围.入满足数学必修（4）综合练习班级姓名学号得分一

22、、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有 是符合题目要求的）1.若sinBtan O0,则B所在的的象限是A .二、四B .一、二2 .如果cosa= m 4有意义，那么m的取值范围是WmC. 一、四A . m<4B. m=423 .函数 y=2-sin x 是A .周期为n的奇函数C. m>4B .周期为（D .二、三（D . m4（ n的偶函数项)C .周期为2 n的奇函数4 .函数y=3sinx +2cosx的最小值是A.B . -35.设k Z,函数 y=sin(2 k+1) n,2(k+1)n6 .已知tan atan B是方程7.

23、要得到函数y=s inA .向右平移D 周期为2n的偶函数C. -5-,13x i x4 + )sin( 4-2 )的单调递增区间为JT1B. (k+-) n(k+1)n1C. kn,(k+?) n2 k n, (2 k+1) nx2+3 - 3 x+4=0 的两根 且 '< a<-,' <2 2 2忖则(2x寸的图象，只需将函数y=sin2x的图象B .向右平移6C .向左平移3向左平移3&已知|a|=6 .3,|b|=1, a b=-9,则a与b的夹角是0 0A. 30B. 609. 设a,b是两个非零向量，则下列说法中正确的是A . a 丄 b

24、与 a b=0 是- 一致的B.C. |a|>|b|与 a>b=0 是一致的D.10. 如图，四边形ABCD是梯形，AD / BC,则OA BC AB等于(a. Cd b. -Co c. da d. co11. 设 i=(1,0), j=(0,1), a=2i +3j,b=ki-4j若 a 丄 b,则实数 k 的值为A . -6B . -3C. 312已知 ABC的顶点A(2,3)和重心G的坐标为(2,-1),则BC边上的中点坐标为 (A . (2,-9)B . (2,-5)C. (2,-3)D . (2,0)二、填空题(本大题共4小题，每小题4分，共16分，把答案填在题中的横线上

25、 ) 13.函数y= 1 的定义域为1 tan 2xC.120°a b=|a| |b| a b= - |a| |b|D . 150°)CD. 6)(1a a14.已知sin営2"3兀那么sin严矿15 .已知|a|=3,|b|=5,且向量a在向量b方向上的投影为12，则a b=516.将函数y=cosx的图象按向量 b=(2kn+- ,1)( k Z)平移，得到函数 的图象17.证明：tan : si n = tan 二亠 si n J tan : -sin、f tan sin、t三、解答题(本大题共6小题，17-21题每小题12分，22题14分，共74分，解答应

26、写出文字说 明、证明过程或演算步骤)IjA丹Q-TT-JTG + Q18. 已知 cos(a )= -,sin(二一-)=一，且 aB (0,),求 cos 的值.29 一 3一一一JT19. 已知函数y=Asin(曲+ ©+C(A>0, C >0,|训<亍)在同一周期中最高点的坐标为(2,2)，最底点的坐标为(8,-4).(1 )求 A, C, 3, $的值；(2)作出函数的一个周期的简图，并由图象指出这个函数的单调递增区间20. 设ei,e2是两个不共线的非零向量(1) 若 tB =e 什 e2, BC =2 ei+8e2,那=3(ei-e2)，求证：A, B,

27、 D 三点共线;(2) 试求实数k的值，使向量ke计e2和S+ke2共线21.在 ABC中，设BC = a, CA=b,AB = c.(1 )若厶ABC为正三角形，求证： a b= b c=c a ;(2)若a b=b c=c a成立， ABC是否为正三角形?22.设函数 f(x)= a b,其中 a=(2cosx,1), b=(cosx, 3sin2x), x R.(1 )若 f(x)=1-、3,且 x ,求 x;m、 n3 3(2)若函数y=2sin2x的图象按向量c=(m,n)(|m<)平移后得到函数 y= f(x)的图象，求实数 2的值第二草三角恒等变换综合练习、CCBDA ; CBBCD ; CA56 65;二、13.1-2a2；14.115. 2cos2a 16 118.19.20.21. -. 1y=s in(2x- )- , ymax= _6 2 22 a+ 3=( a+ 3)+ a,护(a+ ®- a,答案为 2二 二 4 3 37-24 3sin (=sin - 0)=，故 cos2 0=661050；3