海八荒易错集)专题14直线和圆理

1、专题14直线和圆帰为黨】1 .已知圆 M x2+ y2 2ay= 0( a>0)截直线x + y= 0所得线段的长度是 2羽，则圆M与圆N： (x 1)2+ (y 1)2= 1的位置关系是()A. 内切B.相交C.外切D.相离答案 B解析 圆 M x2+ (y a)2= a2,圆心坐标为 M0 , a)，半径r1为a,圆心履到直线x+j=0的距离6=壬,V2由几何知识得;飞:+ (V2)-= 0,解得a=2.二城0丄)，n=2.又圆N的圆心坐标为半径/.j 1-0 2+ 1-2 2= ,ri + n=3, nr：=l小一?7<口為01+"，'两圆相交故选B.2 .

2、已知点A(2 , 3), B( 3, 2)，若直线kx y + 1 k= 0与线段AB相交，则k的取值范围是()3 3A. 4, 2B. ( 3 才 U 2 ,+口C. ( , 1 U 2 ,+3)D. 1,2答案 B解析直线kx y+1 k = 0恒过点P(1,1),3 1 2 13kpA=2, kpB;2 1， 3 14，3若直线kx y + 1 k 0与线段AB相交，结合图象(图略)得k< 4或k>2,故选B.3.若方程(x 2cos 0 )2+ (y 2sin 0 )2 1(0< 0 <2n )的任意一组解(x, y)都满足不等式 y，则30的取值范围是()7n

3、 B-皤，13n nC- y，答案2 2解析等式根据题意可得，方程(x 2cos 0 ) + (y 2sin 0 ) = 1(0< 0 <2n )的任意一组解(x, y)都满足不 ，表示方程(x 2cos 0 )2+ (y 2sin 0 )2= 1(0< 0 <2n )在y = #x的左上方(包括相切)，/ sin> 1,0 6 A2： 0W 0 <2n , 0 冷6/2 ?7tn ，故选D.1 114.已知点P(x, y)在直线x + 2y = 3上移动，当2 + 4取得最小值时，过点P引圆(x )2+ (y+4)2=2的则此切线段的长度为答案解析由题意可

4、知,2好平=23 23乡2寸产却=2彳严诗=4寸2,当且仅当严二2®即2v时?取得等号, 则点P到圆心石，-扌)的距离为v r u 5+5 -妃 所以切线段长为J迈 寻亨半径是5. 已知a R,方程a2x2 + (a+ 2) y2 + 4x + 8y+ 5a= 0表示圆，则圆心坐标是答案(一2, - 4)5解析由已知方程表示圆，则a2= a+ 2,解得a= 2或a=- 1.当a= 2时，方程不满足表示圆的条件，故舍去.当 a=- 1 时，原方程为 x2 + y2 + 4x + 8y- 5 = 0, 化为标准方程为(x + 2)2+ (y+ 4) 2= 25,表示以(一2, - 4)为

5、圆心，半径为5的圆.6. 设直线y = x+ 2a与圆C：x2+ y2- 2ay-2 = 0相交于A, B两点，若| AB = 2、/3，则圆C的面积为 答案 4n22222解析 圆 C： x + y -2ay-2= 0,即 C x + (y a) = a + 2，圆心为 Q0 , a) , C到直线 y = x + 2a 的距离为 |0 - a+ 2a|a|d=二又由 | AB = 2 _3，得1 a2 2= a2+ 2，解得a2 = 2,所以圆的面积为n (a2+ 2) = 4 n .27. 已知以点C(t ,-)为圆心的圆与x轴交于点Q A,与y轴交于点Q B,其中O为原点.(1)求证：

6、 QAB勺面积为定值； 设直线y=- 2x+ 4与圆C交于点M N,若|OM =|QN,求圆C的方程.,224(1)证明 由题意知圆 c过原点O,且|OC2= t2+占2 2 224则圆C的方程为(x-1) + (y-p) = t +子,4令 x= 0,得 yi= 0 , y2=-;令 y= 0 ,得 X1 = 0 , X2= 2t.亠114故 &oab= 2|OA3| OB =抨 t|3|-I = 4 ,即厶OAB勺面积为定值.(2)解|OM =|ON , |CM =|CN, OC垂直平分线段MN1 1 kMN=- 2, koC= 2 , 直线 OC勺方程为 y= x ,亍=尹解得尸

7、2或2一当F2时，圆心C的坐标为(2,6 |(%1=书，此时圆心C到直线3 = -2x+ 4的距离0=丄吕 圆C与直线v=-2x+ 4相交于两点当【=-2时, y5圆心c的坐标为(-2, -1), 0C=f此时圆心C到直线尸一2计斗的距离片卷朋，圆C与直 y5线y= 2x + 4不相交， t =- 2不符合题意，应舍去.综上，圆C的方程为(X 2)2 + (y 1)2= 5.【砍恥MM)易错起源1、直线的方程及应用例 1、已知直线 I 1： (k 3)x + (4 k)y+ 1 = 0 与 I 2： 2( k 3)x 2y+ 3= 0 平行，则 k 的值是()A. 1 或 3B. 1 或 5C

8、. 3 或 5D. 1 或 2 已知两点A(3,2)和政1,4)到直线m灶y + 3 = 0的距离相等，则 m的值为()1A. 0 或21Bp 或61 1、1C- 2 或 2D. 0 或答案(1)C(2)B解析 两直线平彳亍，则血8厂/為=0且-4iC； 或占Q 戲0护0,所以有2(上一3)-2依3)(4-)=0,解得舟=3或X且满足条件故正确答案为U(2旅题鬲得皆二咎m2± 1 彳嵌+1所以卩啟+ 5|=厢_兀所法帥+ 5尸=脚_护所以8诫+44撤一 24= 0.所以2讷+11机一 6=0.所以恥二截辦=一&【变式探究】已知直线 I仁ax+ 2y+ 1 = 0与直线12:

9、(3 a)x y + a= 0，若丨1丄12,则a的值为()A. 1B. 2C. 6D. 1 或 2答案 D解析由li丄丨2,贝U a(3 a) 2= 0,即a= 1或a= 2，选D.【名师点睛】(1) 求解两条直线的平行或垂直问题时要考虑斜率不存在的情况；(2) 对解题中可能出现的特殊情况，可用数形结合的方法分析研究.【锦囊妙计，战胜自我】1. 两条直线平行与垂直的判定若两条不重合的直线 丨1,丨2的斜率k1, k2存在，则丨1/丨2?匕=k2,丨1丄12? k1k2= 1.若给出的直线方程 中存在字母系数，则要考虑斜率是否存在.2 .求直线方程要注意几种直线方程的局限性点斜式、两点式、斜截

10、式要求直线不能与x轴垂直而截距式方程不能表示过原点的直线，也不能表示垂直于坐标轴的直线.两个距离公式(1)两平行直线l仁Ax+ By+ C = 0,l 2：Ax+ By+ G = 0 间的距离 d=1 C pA+ B点(X。，yo)到直线I : Ax+ By+ C= 0的距离公式d=CpA + B易错起源2、圆的方程及应用例2、(1)若圆C经过(1,0) , (3,0)两点，且与y轴相切，则圆 C的方程为()A.(X 2)2 + (y ±2)2 = 3B.(x 2)2+ (y±. 3)2 = 3C. (x 2)2 + (y ±2)2 = 4D.(x 2)2+ (y

11、±. 3)2 = 4 已知圆M的圆心在x轴上，且圆心在直线丨1： x = 2的右侧，若圆 M截直线I 1所得的弦长为2 3,且与直线I 2： 2x .5y 4= 0相切，则圆 M的方程为()A. (x 1)2 + y2 = 4B. (x+ 1)2+ y2= 42 2 2 2C. x + (y 1) = 4 D. x + (y+ 1) = 4答案(1)D(2)B解析 因为圆c经过（叩），仍两点，所以圆心在直线无=上，又圆与轴相切，所以半径Q2, 设圆心坐标为Q,坍,贝也-缈+扩=4,於=3, b=±Hr所以选Dq十2 :+羽：=眄Q）由已知可设圆妝的圆心坐标为（询Q-2,半径

12、为匚得2住一414+5冷=一 1,解得满足条件的一组解为.lr=2?所以圆M的方程为（x + 1）2+ y2 = 4.故选B.2 2【变式探究】（1） 一个圆经过椭圆 x + y = 1的三个顶点，且圆心在 x轴的正半轴上，则该圆的标准方程164为. 两条互相垂直的直线 2x+ y + 2= 0和ax+ 4y 2 = 0的交点为P,若圆C过点P和点M 3,2）,且圆1 一一心在直线y = 2X上，则圆C的标准方程为 .f 32 25答案（1）丫 2 丿+ y =2 2（2）（ X+ 6） + （y + 3） = 34解析 由题意知圆过（4,0） , （0,2） , （0， 2）三点，（4,0）

13、 , （0， 2）两点的垂直平分线方程为 y+ 1 = 2（x 2）,3 怡 、5令y= 0,解得x= 2圆心为（2，0 ,半径为.，一3 2225得该圆的标准方程为（x ）+ y = -4.由直线2x+y + 2=0和直线ax-+4>-2=0垂直得加+4=0,故a-2,代入直线方程，联立解得交 点坐标为P（- L0）,易求得线段田的垂直平分线的方程为x-v+3=0,设圆C的标准方程为（x-ay fx-v+3=0,十0好=月（柑那 则圆心（暫为直线x-y+3=o与直线尸L的交点，由1解得圆亠尸丹心坐标为（一乞一弘从而得到月=34,所以圆C的标准方程为戸34.【名师点睛】解决与圆有关的冋题

14、一般有两种方法：（1）几何法，通过研究圆的性质、直线和圆、圆与圆的位置关系,进而求得圆的基本量和方程；（2）代数法，即用待定系数法先设出圆的方程，再由条件求得各系数.【锦囊妙计，战胜自我】1 圆的标准方程当圆心为(a, b)，半径为r时，其标准方程为(x a)2+ (y b)2= r2,特别地，当圆心在原点时，方程 为 x2 + y2= r2.2 圆的一般方程x + y + Dx+ Ey+ F 0,其中 D+ E2 4F>0,半径的圆.易错起源3、直线与圆、圆与圆的位置关系例3、 已知直线2x + (y 3)m 4 0( m R)恒过定点 P,若点P平分圆x2+ y2 2x 4y 4 0

15、的弦MN 则弦M晰在直线的方程是()A. x + y 5 0B. x + y 3 0C. x y 1 0D. x y+ 1 0 已知Rx, y)是直线kx+ y+ 4 0(k>0)上一动点，PA PB是圆C： x2+ y2 2y 0的两条切线，A, B是切点，若四边形 PACB勺最小面积是2,贝U k的值为()A. 3C. 2 2D. 2答案(1)A(2)D解析 (1)对于直线方程2x+ (y 3)m 4 0( rriE R),取y 3，则必有x 2,所以该直线恒过定点P(2,3)设圆心是C,则易知 Q1,2),3 一 2所以心一汙1,2 1由垂径定理知 CP丄MN所以kMN= 1.又弦

16、MN过点P(2,3),故弦MN所在直线的方程为 y 3 (x 2),即 x+ y 5 0.如图，把圆的方程化成标准形式得丘+ ®-厅=1,所以圆心为半径为四边形序以的面积S=2S p叫所以若四边形PACB的最小面积是2,则S皿的最小值为L而S咖=» - PBf即闊的最小值为对此时尸亡最小，尸<7为圆心到直线,h-+i + 4=0知馆df此时d=即因为Ab所以.k-2【变式探究】 若直线3x+ 4y= b与圆x2 + y2 2x 2y+ 1 = 0相切，则b的值是()A. 2 或 12B. 2 或12C. 2 或12D. 2 或 12(2)已知在平面直角坐标系中，点A(

17、2 2, 0) , B(0,1)到直线l的距离分别为1,2，则这样的直线l共有条.答案(1)D(2)3解析 由题竜可得圆心坐标为工6半径尸1,又直线3x+4v=与圆相切，Z.=b .b =2或12,故选D.由题意得直线i为圆(工一尸=1匚为圆心与圆1)2=4(5为圆心)的公切线TM|= 7 2迈】+ 二3=1 + 2,二两圆夕卜切， 二两圆共有3条公切线.故答案为3.【名师点睛】(1) 讨论直线与圆及圆与圆的位置关系时，要注意数形结合，充分利用圆的几何性质寻找解题途径，减少运算量.(2) 圆上的点与圆外点的距离的最值问题，可以转化为圆心到点的距离问题；圆上的点与直线上点的距离的最值问题，可以转

18、化为圆心到直线的距离问题；圆上的点与另一圆上点的距离的最值问题，可以转化为圆心到圆心的距离问题.【锦囊妙计，战胜自我】1直线与圆的位置关系：相交、相切和相离，判断的方法主要有点线距离法和判别式法.(1) 点线距离法：设圆心到直线的距离为d,圆的半径为r，则d<r?直线与圆相交，d= r?直线与圆相 切，d>r?直线与圆相离.(2) 判别式法：设圆 C： (x a)2+ (y b)2= r2,直线 I : Ax+ By+ C= 0,方程组Ax+ By+ C= 0,22 2 消去y,得关于x的一元二次方程根的判别式 ，则直线与圆相离？ <0,x - ay - b = r直线与圆相

19、切？ = 0,直线与圆相交？ >0.2圆与圆的位置关系有五种，即内含、内切、相交、外切、外离.2 2 2 2 2 2 设圆C： (x-ai) + (y bi) = ri,圆C2： (x-比)+ (y b) =2，两圆心之间的距离为 d,则圆与圆的五种位置关系的判断方法如下：(1) d>ri+2?两圆外离；(2) d = ri+ r2?两圆外切；(3) | ri - r2|< d<r i+2?两圆相交；(4) d = | ri -切(ri丰2)?两圆内切；(5) 0 < d<| ri -切(ri 丰2)?两圆内含.【易错练兵虎醐险】i .设A B是x轴上的两点

20、，点 P的横坐标为2,且|PA = |PB，若直线PA的方程为x-y+ i = 0,则直线PB的方程是()A. x + y - 5= 0B. 2x-y- i = 0C. 2y- x-4 = 0D. 2x+ y- 7 = 0答案 A解析 由于直线PA的倾斜角为45°,且|PA = |PB，故直线PB的倾斜角为i35°，又由题意知 R2,3),直线PB的方程为y 3 =- (x- 2)，即x + y-5 = 0.故选A.2. 设a R,则"a=- i”是"直线 ax+ y- i = 0与直线x + ay+ 5 = 0平行”的()A.充分而不必要条件 B .必

21、要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件答案 A、a2- i = 0,解析 直线ax+ y- i = 0与直线x+ ay+ 5 = 0平行的充要条件为即a=± i,故a=- i15a+ iz 0,是两直线平行的充分而不必要条件.故选 A.3. 过只2,0)的直线l被圆(x-2)2+ (y-3)2= 9截得的线段长为2时，直线I的斜率为()A土二B. 土二4 2C.±lD.± -3-答案 A解析 由题意得直线I的斜率存在，设为空则直线/的方程为尸站-2),即kx-y 2匸0.宙巨到直线的距鳥公式得，圆心到直线J即10-得解9-2的距离- £,

22、由圆的性质可得12=77站+17尅+1y丄4 ”4若圆O： x2 + y = 4与圆C： X2 + y + 4x 4y+ 4= 0关于直线I对称，则直线I的方程是()A. x + y = 0B. x y= 0C. x y + 2= 0D. x + y+ 2= 0答案 C解析圆 x2 + y2 + 4x 4y + 4 = 0, 即(X + 2)2+ (y 2)2= 4,圆心 C的坐标为(2,2).直线I过OC的中点(1,1)，且垂直于直线 OC易知koC= 1,故直线I的斜率为1,直线I的方程为 y 1 = x+1,即卩 xy + 2 = 0.故选 C.5. 已知圆C1：(x 2) + (y3)

23、 = 1,圆C2：(x 3) + (y 4) = 9,M N分别是圆C,C2上的动点，P为x轴上的动点，贝U | PM + | PN的最小值为()A. 5 2 4B. 17 1C. 6 2 2D. 17答案 A解析 两圆的圆心均在第一象限，先求|PC| + |PC|的最小值，作点C关于x轴的对称点C'(2, 3),则(| PC| + | PC|) min= | C' C2| = 5 羽，所以(| PM + | PN) min = 2 (1 + 3) = 5 羽4.6. 已知直线I 1： ax y+ 1 = 0, I2: x+ y + 1 = 0, 1丨2，则a的值为，直线11与

24、丨2间的距离为.答案 12解析 I 1/12,. a21 = 121? a= 1,此时 I 1 ： x + y 1 = 0,丨1,丨2之间的距离为|1 12-7. 已知点 A 2,0) , B(0,2)，若点C是圆x2 2x + y2= 0上的动点，则厶ABC面积的最小值是答案 3 2解析 将圆的方程整理为标准方程得(工-厅十尸=1,二圆心坐标为(1®半径=1一7-4(- 2a0), Eg直线肋的方程为尸x十厶二圆心到直线曲的距离肝=屯=半，v2 £.AABC中，曲边上的高的最小值为却-Q牛一 1,又|0纠=仙二2, 04丄OB? r4B=2f故面积的最小值为* ABK(d 打=3_ *2&已知直线l : m灶y + 3m- 3 = 0与圆x2+ y2= 12交于A, B两点，过A, B分别作I的垂线与x轴交于C, D两点，若|AB = 2西，贝U |CD =答案 4解析 设AB的中点为M由题意知，圆的半径R= 2 3, AB=