归纳推理(递推法)

1、第十二讲 归纳推理人们在探索某一类事物的性质或它们之间的关系的时候，经常从观察具体事物入手，通过分析、猜测、验证，找出这类事物的一般属性。这种“从特殊到一般的推理方法”，叫做归纳法。在研究某个问题的过程中，经过对若干次出现的现象的观察，有的人经过分析思考能很快地找到其中的某种规律，有的人却熟视无睹。这就反映他们的归纳能力不同。希望小同学们养成细观察、勤思考的习惯，不断提高归纳能力。例1 把11993这1993个自然数，按顺时针方向依次排列在一个圆圈上，如图121，从1开始沿顺时针方向，保留1，擦去2；保留3，擦去4；（每隔一个数，擦去一个数），转圈擦下去。求最后剩的是哪个数？分析：如果依照题意

2、进行操作，直到剩下一个数为止，实在是很困难。我们先从简单情况研究，归纳出解决问题的规律，再应用规律解题。如果是2个数1、2，最后剩下1；如果是3个数1、2、3，最后剩3；如果是4个数1、2、3、4，最后剩1；如果是5个数1、2、3、4、5，最后剩的是3；如果是6个数1、2、3、4、5、6，最后剩的是5；如果是7个数1、2、3、4、5、6、7，最后剩的是7；如果是8个数18，最后剩的是1。我们发现当数的个数是2，4，8时，最后剩的都是1（操作的起始数）。这是为什么呢？以8个数为例，数一圈，擦掉2，4，6，8，就相当于从1开始，还有4个数的情况，4个数时，从1开始，数一圈，又擦掉2个，还剩从1开始

3、的两个数，擦掉1以外的数，最后剩1。这样，数的个数是16，32，64，2n时，最后剩的都是起始数1。当数的个数是3时，擦去2，就剩2个数，最后应剩下一步的起始数3；数的个数是5时，擦去2，剩4个数，最后也应剩下一步的起始数3。根据以上规律，如果有18个数，擦去2、4，剩下16个数，再擦下去，最后还应剩下一步的起始数5。就是说，擦去若干个数后，当剩的数的个数是2”时，下一步起始数就是最后剩下的数。解：因为1024=210，2048=211，21101993211，1993-1024=969，就是说，要剩210个数，需要擦去969个数，按题意，每两个数擦去一个数，当擦第969个数时，最后擦的是：9

4、69×2=1938下一个起始数是1939，那么最后剩的就应该是1939。练习 按照例1的操作规则（1）如果是1900这900个自然数，最后剩的是哪个数？（2）如果是11949这1949个自然数，最后剩的是哪个数？说明：这道例题的解题思路是：特 殊 一 般 特 殊（简单情况） （一般规律） （较复杂情况）一般规律：把1n这n个自然数，按顺时针方向依次排列在一个圆圈上，从1开始，顺时针方向，隔过1，擦去2，隔过3，擦去4，（每隔一个数，擦去一个数）。最后剩下的数x是哪个数？解： 设2kn2k+1，k是自然数。x=（n-2k）×2+1例2 在平面上，有10条直线，问它们最多把平面

5、分割成多少部分？分析：我们还是从简单的情况入手，归纳出一般结论。一条直线，显然把平面分割成2部分（情况是唯一的）。2条直线，如果重合，还是把平面分成2部分，如果平行，把平面分成3部分，如果相交，把平面分成4部分，相交时平面被分的部分数最多，3条直线呢？实验的结果是两者相交，并且交点不重合时：平面被分成的部分数最多。（如图122）共有7部分。下面我们来看这其中的规律。一条直线把平面分成2部分，两条直线相交，第二条直线被第一条直线截成两段，每一段把原有的一部分“一分为二”，因此，增加2部分。三条直线两两相交，并且交点不重合，第三条直线被前两条直线分成三部分（一条线段和两条射线），每部分把原来的平面

6、中的某一部分“一分为二”，因此，增加3部分。依次类推，每增加一条直线，平面增加的部分数依次是4，5，6，。n条直线把平面分割成的部分数最多是： 答：10条直线最多把平面分成56部分。练习（1）平面上有15条直线，最多把平面分成多少部分？（2）平面上两两不重合的4条直线，最少把平面分割成多少部分？例3 平面上10个圆，最多把平面分成多少部分？分析：一个圆把平面分割成内、外两部分；两个圆（不重合）可能把平面分割成3部分或4部分。如图123，三个圆最多把平面分割成8部分。如图124。如果我们设n个圆，最多把平面分成an部分。a1=2，a2=4，a3=8。能不能肯定a4=16，a5=32呢？如图125

7、，数的结果是a4=14。一个圆把平面分成2部分。两个圆相交，第二个圆c2被第一个圆c1（图123）相交后分成两部分（两个交点）。每一段圆弧把原来一部分“一分为二”，增加2部分。三个圆两两相交，第三个圆c3被前两个圆c1，c2最多分成四段圆弧（四个交点），每段圆弧把原来某一部分“一分为二”，增加4部分。同样道理，第四个圆c4，被前三个圆c1、c2、c3分为6段圆弧（六个交点），每段圆弧把原来平面的某一部分“一分为二”，增加6部分。依次类推，以后每增加一个圆，增加的部分数是：4×2，5×2，6×2，。an=2+1×2+2×2+3×2+4&

8、#215;2+（n-1）×2解：2+1×2+2×2+9×2答：平面上10个圆，最多把平面分成92部分。练习（1）平面上15个圆，最多把平面分成多少部分？（2）平面上x个圆，最多把平面分成212个部分，求x。例4 在平面上有5个三角形，最多把平面分割成多少部分？分析：一个三角形把平面分成内、外两部分。两个三角形（不重合）可以把平面分成3、4、5、6、7、8部分（如图126）。把平面分割的部分最多的情况是经二个三角形每边与第一个三角形的两条边相交且交点均不在三角形顶点。一个三角形把平面分成内、外两部分。第二个三角形每边被分成三段，中间一段把原来的一部分“一分

9、为二”，多出一块，三边共多出1×3块。每边的两端的部分又构成三个“角”，又多出3部分。2+1×3+3=8三个三角形，把平面分成部分数最多的情况，是第三个三角形每边和前两个三角形中每个三角形两条边相交（且均不在顶点处相交）。如图127，两个三角形把平面最多分成了8部分。第三个三角形每边被前两个三角形分成5段，中间三段，每段把原来的某一部分“一分为二”，多出3部分，3边共多出3×3部分，再加上第三个三角形的三个角，又多出3部分。8+3×3+3=20同理，四个三角形把平面分割的部分数最多是：20+5×3+3=38。依次类推，n个三角形最多把平面分成x

10、部分；x=2+1×3+3+3×3+3+5×3+3+（2n-3）×3+3=2+3×1+3+5+（2n-3）+3（n-1）（n大于1）解：2+（1×3+3）+（3×3+3）+（5×3+3）+（7×3+3）=2+6+12+18+24=62答：平面上5个三角形，最多把平面分成62部分。练习（1）平面上10个三角形，最多把平面分割成多少部分？（2）平面上2个四边形，最多把平面分割成多少部分？例5 用“1×2”纸牌（如图128）若干张，放在一个图形上，要求“不空、不超、不重叠”，满足这种条件的叫做一种“完全

11、覆盖”。例如，用“1×2”纸牌覆盖“2×2”图形（如图129），有两种方法。问用“1×2”纸牌，覆盖“2×10”图形（如图1210）有多少种覆盖方法？分析：直接画出所有“完全覆盖”方法，是很困难的。我们还是从简单情况入手，归纳规律。用“1×2”纸牌覆盖“2×1”图形，只有一种覆盖方法；用“1×2”纸牌覆盖“2×2”图形，有两种覆盖方法。用“1×2”纸牌覆盖“2×3”图，有3种方法，如图1211。“竖、竖、竖”，“竖、横、横”，“横、横、竖”。通过分析发现，“2×3”的覆盖方法数正好等于

12、“2×1”与“2×2”的覆盖方法数之和。这是为什么呢？当第一张牌竖放时，剩下“2×2”图，有两种方法；当第一张横放时，第二张也必须横放，剩下“2×1”图形，有一种放法，这说明“2×3”图形可以转化为“2×2”或2×1”图形。同理，“2×4”图形可转化成“2×3”图形（第一张竖放）或“2×2”图形（第一、二张横放），依此类推。设“2×n”图形用“1×2”纸牌覆盖有an种方法。那么有an=an-2+an-1。根据这个规律，不难计算n=10（“2×10”图形）的覆盖数。解

13、：设用“1×2”纸牌，覆盖“2×n”图形有an种方法。根据an=an-2+an-10。a1=1，a2=2，a3=1+2-3，a4=2+3=5，a5=3+5=8，a6=5+8=13，a7=8+13=21，a8=13+21=34，a9=21+34=55，a10=34+55=89。答：用“1×2”纸牌，覆盖“2×10”图形，有89种方法。练习（1）用“1×2”纸牌，覆盖“2×12”图形，有多少种方法？（2）用“1×2”纸牌，覆盖“2×15”图形，有多少种方法？结束语 这一讲主要让大家初步熟悉归纳推理。当解决一个比较复杂问题时，可先从最简单的若干情况入手，寻找一般规律，再运用规律解决较复杂情况。习题十二1.在一个圆圈上，逆时针标上1、2、3、19，从某个数起取走该数，然后沿逆时针方向每隔一个数取走一个数，如果最后剩下数1。求从哪个数起？2.把11992为1992个数，按逆时针方向排在一个圆圈上，从1开始逆时针方向，保留1，涂掉2；保留3，涂掉4，。（每隔一个数涂去一个数），求最后剩下哪个数？3.把11987这1987个数，均匀排成一个大圆圈。从1开始数，隔过1，划掉2，3；隔过4，划掉5，6；，（每隔一个数，划掉两个数）一直划