第24课时直角三角形和勾股定理

1、备考基础备考基础归类探究归类探究练出高分练出高分全效学习全效学习 学案导学设计学案导学设计全效学习全效学习 学案导学设计学案导学设计第第24课时课时 直角三角形和勾股定理直角三角形和勾股定理备考基础备考基础归类探究归类探究练出高分练出高分全效学习全效学习 学案导学设计学案导学设计12015淮安淮安下列四组线段中，能组成直角三角形的是下列四组线段中，能组成直角三角形的是( )Aa1，b2，c3 Ba2，b3，c4Ca2，b4，c5 Da3，b4，c52在在RtABC中，中，C90，B30，斜边，斜边AB的长为的长为2 cm，则，则AC长为长为 ( )小题热身小题热身DC备考基础备考基础归类探究归

2、类探究练出高分练出高分全效学习全效学习 学案导学设计学案导学设计32014昆明昆明如图如图241，在，在RtABC中，中，ACB90，AB10 cm，点，点D为为AB的中点，则的中点，则CD_cm5图图241备考基础备考基础归类探究归类探究练出高分练出高分全效学习全效学习 学案导学设计学案导学设计42015永康模拟永康模拟如图如图242为一圆柱体工艺品，其底面周长为一圆柱体工艺品，其底面周长为为60 cm，高为，高为25 cm，从点，从点A出发绕该工艺品侧面一周镶嵌出发绕该工艺品侧面一周镶嵌一根装饰线到点一根装饰线到点B，则该装饰线最短长为，则该装饰线最短长为_cm.图图24265备考基础备考

3、基础归类探究归类探究练出高分练出高分全效学习全效学习 学案导学设计学案导学设计一、必知一、必知3 知识点知识点1直角三角形直角三角形定义：有一个角是直角的三角形是直角三角形定义：有一个角是直角的三角形是直角三角形直角三角形性质：直角三角形性质：(1)直角三角形的两个锐角直角三角形的两个锐角_；(2)直角三角形的斜边上的中线等于斜边的直角三角形的斜边上的中线等于斜边的_；(3)在直角三角形中，在直角三角形中，30的角所对的边等于斜边的的角所对的边等于斜边的_直角三角形判定：有两个角互余的三角形是直角三角形判定：有两个角互余的三角形是_三角三角形形考点管理考点管理互余互余一半一半一半一半直角直角备

4、考基础备考基础归类探究归类探究练出高分练出高分全效学习全效学习 学案导学设计学案导学设计2勾股定理勾股定理勾股定理：如果直角三角形的两直角边分别为勾股定理：如果直角三角形的两直角边分别为a，b，斜边，斜边为为c，那么，那么a2b2_.c2备考基础备考基础归类探究归类探究练出高分练出高分全效学习全效学习 学案导学设计学案导学设计【智慧锦囊智慧锦囊】勾股定理的作用：勾股定理的作用：(1)已知直角三角形的两条边，求第三边；已知直角三角形的两条边，求第三边；(2)已知直角三角形的一边，确定另外两边的关系；已知直角三角形的一边，确定另外两边的关系；(3)证明带有平方关系的问题；证明带有平方关系的问题；(

5、4)把实际问题转化为直角三角形中应用勾股定理的问题把实际问题转化为直角三角形中应用勾股定理的问题备考基础备考基础归类探究归类探究练出高分练出高分全效学习全效学习 学案导学设计学案导学设计3勾股定理的逆定理勾股定理的逆定理勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长分别为勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长分别为a，b，c，满足满足a2b2c2，那么这个三角形是，那么这个三角形是_三角形三角形勾股数：能构成直角三角形的三条边长的三个正整数，称勾股数：能构成直角三角形的三条边长的三个正整数，称为勾股数为勾股数直角直角【智慧锦囊智慧锦囊】勾股定理逆定理的应用：勾股定理逆定理的应用：(1)判断三角形的形状；判

6、断三角形的形状；(2)证明两条线段垂直；证明两条线段垂直；(3)实际应用实际应用备考基础备考基础归类探究归类探究练出高分练出高分全效学习全效学习 学案导学设计学案导学设计二、必会二、必会2 方法方法1面积法面积法用面积法证明是常用的技巧之一，勾股定理的证明通常用用面积法证明是常用的技巧之一，勾股定理的证明通常用面积法即利用某个图形的多种面积求法或面积之间的和面积法即利用某个图形的多种面积求法或面积之间的和差关系列出等式，从而得到证明的结论差关系列出等式，从而得到证明的结论2数形结合思想数形结合思想在一些实际问题中，如解决立体图形侧面两点的距离问在一些实际问题中，如解决立体图形侧面两点的距离问题

7、，折叠问题，航海问题，梯子下滑问题等，常直接或间题，折叠问题，航海问题，梯子下滑问题等，常直接或间接运用勾股定理及其逆定理，在解决这些问题时，充分体接运用勾股定理及其逆定理，在解决这些问题时，充分体现了数形结合思想，是中考的热点考题现了数形结合思想，是中考的热点考题备考基础备考基础归类探究归类探究练出高分练出高分全效学习全效学习 学案导学设计学案导学设计三、必明三、必明3 易错点易错点1在利用勾股定理时，确定所给的边是直角边还是斜边，如在利用勾股定理时，确定所给的边是直角边还是斜边，如果题中未说明，需要分类讨论果题中未说明，需要分类讨论2在已知三角形三边的前提下，判断这个三角形是否为直角在已知

8、三角形三边的前提下，判断这个三角形是否为直角三角形，首先要确定三条边中的最大边，再根据勾股定理三角形，首先要确定三条边中的最大边，再根据勾股定理的逆定理来判定解题时，往往受思维定式的影响，误认的逆定理来判定解题时，往往受思维定式的影响，误认为如果是直角三角形，则为如果是直角三角形，则c是斜边，从而造成误解是斜边，从而造成误解3直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，这个性质定理直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，这个性质定理常用于证明一条线段是另一条线段的一半的数量关系注常用于证明一条线段是另一条线段的一半的数量关系注意直角三角形这一前提条件意直角三角形这一前提条件备考基础备考基础归类探究归类

9、探究练出高分练出高分全效学习全效学习 学案导学设计学案导学设计类型之一直角三角形的性质的运用类型之一直角三角形的性质的运用 2015黄冈黄冈如图如图243，在，在ABC中，中，C90，B30，边，边AB的垂直平分的垂直平分线线DE交交AB于点于点E，交，交BC于点于点D，CD3，则则BC的长为的长为 ( )图图243C备考基础备考基础归类探究归类探究练出高分练出高分全效学习全效学习 学案导学设计学案导学设计【解析解析】线段垂直平分线上的点到线段两端距离相等，线段垂直平分线上的点到线段两端距离相等，ADBD，可得，可得DAE30，易得，易得ADC60，CAD30，则，则AD为为BAC的角平分线，

10、由角平分线的的角平分线，由角平分线的性质得性质得DECD3，再根据直角三角形，再根据直角三角形30角所对的直角角所对的直角边等于斜边的一半可得边等于斜边的一半可得BD2DE6.所以所以BC9.备考基础备考基础归类探究归类探究练出高分练出高分全效学习全效学习 学案导学设计学案导学设计2015湖北湖北如图如图244，在，在ABC中，中，B30，BC的垂直平分线交的垂直平分线交AB于于点点E，垂足为，垂足为D，CE平分平分ACB.若若BE2，则，则AE的长为的长为( )【解析解析】在在ABC中，中，B30，BC的垂直平分线的垂直平分线交交AB于于E，BE2，BECE2，BDCE30，CE平分平分AC

11、B，图图244B备考基础备考基础归类探究归类探究练出高分练出高分全效学习全效学习 学案导学设计学案导学设计ACEDCE30，ACB2DCE60，A180BACB90.在在RtCAE中，中，备考基础备考基础归类探究归类探究练出高分练出高分全效学习全效学习 学案导学设计学案导学设计类型之二勾股定理的应用类型之二勾股定理的应用 2015常州常州如图如图245是根据某公园的平面示意图建立是根据某公园的平面示意图建立的平面直角坐标系，公园的入口位于坐标原点的平面直角坐标系，公园的入口位于坐标原点O，古塔位于，古塔位于点点A(400，300)，从古塔出发沿射线，从古塔出发沿射线OA方向前行方向前行300

12、m是盆是盆景园景园B，从盆景园，从盆景园B向左转向左转90后直行后直行400 m到达梅花阁到达梅花阁C，则点则点C的坐标是的坐标是_(400，800)图图245备考基础备考基础归类探究归类探究练出高分练出高分全效学习全效学习 学案导学设计学案导学设计【解析解析】根据题意结合全等三角形根据题意结合全等三角形的判定与性质得出的判定与性质得出AOD ACB(SAS)，进而得出，进而得出C，A，D也在一条也在一条直线上，求出直线上，求出CD的长即可得出的长即可得出C点坐点坐标标如答图，连结如答图，连结AC，由题意可得由题意可得AB300 m，BC400 m，在在AOD和和ACB中，中，例例2答图答图备

13、考基础备考基础归类探究归类探究练出高分练出高分全效学习全效学习 学案导学设计学案导学设计AOD ACB(SAS)，CABOAD，B，O在一条直线上，在一条直线上，C，A，D也在一条直线上，也在一条直线上，ACAO500 m，则，则CDACAD800 m，C点坐标为点坐标为(400，800)备考基础备考基础归类探究归类探究练出高分练出高分全效学习全效学习 学案导学设计学案导学设计2014东营东营如图如图246，有两棵树，一棵，有两棵树，一棵高高12 m，另一棵高，另一棵高6 m，两树相距，两树相距8 m一只鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的一只鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，问小鸟至少飞行树梢，

14、问小鸟至少飞行_m.【解析解析】根据根据“两点之间线段最短两点之间线段最短”可可知，小鸟沿着两棵树的树梢进行直线飞行，飞行的路程最知，小鸟沿着两棵树的树梢进行直线飞行，飞行的路程最短，运用勾股定理可将两点之间的距离求出短，运用勾股定理可将两点之间的距离求出如答图，大树高为如答图，大树高为AB12 m，小树高为，小树高为CD6 m，过过C点作点作CEAB于于E，则四边形，则四边形EBDC是矩形，连结是矩形，连结AC，10图图246备考基础备考基础归类探究归类探究练出高分练出高分全效学习全效学习 学案导学设计学案导学设计EB6 m，EC8 m，AEABEB6(m)，故小鸟至少飞行故小鸟至少飞行10

15、 m.变式跟进答图变式跟进答图备考基础备考基础归类探究归类探究练出高分练出高分全效学习全效学习 学案导学设计学案导学设计类型之三勾股定理与拼图类型之三勾股定理与拼图 2015株洲株洲如图如图247是是“赵爽弦图赵爽弦图”，ABH，BCG，CDF和和DAE是四个全等的直角三角形，四边是四个全等的直角三角形，四边形形ABCD和和EFGH都是正方形如果都是正方形如果AB10，EF2，那么，那么AH等于等于_.【解析解析】设设DE为为a，由四个直角三角形，由四个直角三角形全等可得全等可得DFDE2AE，AD2AE2DE2.a2(a2)2100a6，a8(舍去舍去)，AH6.图图2476备考基础备考基础

16、归类探究归类探究练出高分练出高分全效学习全效学习 学案导学设计学案导学设计1如图如图248是一株美丽的勾股树，其中所是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，若正方形都是直角三角形，若正方形A，B，C，D的面积分别为的面积分别为2，5，1，2，则最大的，则最大的正方形正方形E的面积是的面积是_.【解析解析】根据勾股定理的几何意义，可根据勾股定理的几何意义，可得得A，B的面积和为的面积和为S1，C，D的面积和为的面积和为S2，S1S2S3，即即S3251210.图图24810备考基础备考基础归类探究归类探究练出高分练出高分全效学

17、习全效学习 学案导学设计学案导学设计2如图如图249，四边形，四边形ABCD，EFGH，NHMC都是正方形，都是正方形，边长分别为边长分别为a，b，c，A，B，N，E，F五点在同一条直线五点在同一条直线上，则上，则c_ (用含有用含有a，b的代数式表示的代数式表示)图图249备考基础备考基础归类探究归类探究练出高分练出高分全效学习全效学习 学案导学设计学案导学设计32015烟台烟台如图如图2410，正方形，正方形ABCD的边长为的边长为2，其面积标记为，其面积标记为S1，以，以CD为斜边作等腰直角三角为斜边作等腰直角三角形，以该等腰直角三角形的一条直形，以该等腰直角三角形的一条直角边为边向外作

18、正方形，其面积标角边为边向外作正方形，其面积标记为记为S2，按照此规律继续下去，按照此规律继续下去，则则S2 015的值为的值为 ( )图图2410C备考基础备考基础归类探究归类探究练出高分练出高分全效学习全效学习 学案导学设计学案导学设计【解析解析】根据题意，第一个正方形的边长为根据题意，第一个正方形的边长为2；备考基础备考基础归类探究归类探究练出高分练出高分全效学习全效学习 学案导学设计学案导学设计【点悟点悟】勾股定理既反映了直角三角形三边关系，同时勾股定理既反映了直角三角形三边关系，同时也反映了以直角三角形三边为正方形的面积关系，是勾股也反映了以直角三角形三边为正方形的面积关系，是勾股定

19、理另一种表现形式定理另一种表现形式备考基础备考基础归类探究归类探究练出高分练出高分全效学习全效学习 学案导学设计学案导学设计类型之四平面展开最短线段问题类型之四平面展开最短线段问题 2015资阳资阳如图如图2411，透明的圆柱形容，透明的圆柱形容器器(容器厚度忽略不计容器厚度忽略不计)的高为的高为12 cm，底面周，底面周长为长为10 cm，在容器内壁离容器底部，在容器内壁离容器底部3 cm的点的点B处有一饭粒，此时一只蚂蚁正好在容器外处有一饭粒，此时一只蚂蚁正好在容器外壁，且离容器上沿壁，且离容器上沿3 cm的点的点A处，则蚂蚁吃到处，则蚂蚁吃到饭粒需爬行的最短路径是饭粒需爬行的最短路径是(

20、 )A图图2411备考基础备考基础归类探究归类探究练出高分练出高分全效学习全效学习 学案导学设计学案导学设计【解析解析】如答图，将容器侧面展开，建立如答图，将容器侧面展开，建立A关于关于EF的对的对称点称点A，根据两点之间线段最短可知，根据两点之间线段最短可知AB的长度即最短路的长度即最短路径径如答图，高为如答图，高为12 cm，底面周长为，底面周长为10 cm，在，在容器内壁离容器底部容器内壁离容器底部3 cm的点的点B处有一饭粒，处有一饭粒，此时蚂蚁正好在容器外壁，离容器上沿此时蚂蚁正好在容器外壁，离容器上沿3 cm与饭粒相对的点与饭粒相对的点A处，处，AD5 cm，BD123AE12 c

21、m，将容器侧面展开，作将容器侧面展开，作A关于关于EF的对称点的对称点A，连结连结AB，则，则AB即为最短距离，即为最短距离，例例4答图答图备考基础备考基础归类探究归类探究练出高分练出高分全效学习全效学习 学案导学设计学案导学设计12015杭州模拟杭州模拟如图如图2412是一块长、是一块长、宽、高分别是宽、高分别是6 cm，4 cm和和3 cm的长方的长方体木块一只蚂蚁要从长方体木块的一体木块一只蚂蚁要从长方体木块的一个顶点个顶点A处，沿着长方体的表面到长方体处，沿着长方体的表面到长方体上和上和A点相对的顶点点相对的顶点B处吃食物，那么它需要爬行的最短路处吃食物，那么它需要爬行的最短路径的长是

22、径的长是 ( )图图2412C备考基础备考基础归类探究归类探究练出高分练出高分全效学习全效学习 学案导学设计学案导学设计【解析解析】如答图，如答图，AB就是蚂就是蚂蚁爬的最短路线蚁爬的最短路线但有三种情况：但有三种情况：当当AD3，DB4610，变式跟进变式跟进1答图答图备考基础备考基础归类探究归类探究练出高分练出高分全效学习全效学习 学案导学设计学案导学设计22014潍坊潍坊我国古代有这样一道数学问题：我国古代有这样一道数学问题：“枯木一根直立枯木一根直立地上，高二丈，周三尺，有葛藤自根缠绕而上，五周而达地上，高二丈，周三尺，有葛藤自根缠绕而上，五周而达其顶，问葛藤之长几何？其顶，问葛藤之长

23、几何？”题意是：如图题意是：如图2413所示，把枯所示，把枯木看作一个圆柱体，因一丈是十尺，则该圆柱的高为木看作一个圆柱体，因一丈是十尺，则该圆柱的高为20尺，底面周长为尺，底面周长为3尺，有葛藤自点尺，有葛藤自点A处缠绕而上，绕五周后处缠绕而上，绕五周后其末端恰好到达点其末端恰好到达点B处则问题中葛藤的最短长度是处则问题中葛藤的最短长度是_尺尺25图图2413备考基础备考基础归类探究归类探究练出高分练出高分全效学习全效学习 学案导学设计学案导学设计【解析解析】如答图，一条直角边如答图，一条直角边(即枯木的高即枯木的高)长长20尺，另一条直角边长尺，另一条直角边长5315(尺尺)，故答案为故答

24、案为25.【点悟点悟】在求几何体表面上两点之间的在求几何体表面上两点之间的最短距离时，可以通过把立体图形展开成平面图形，利用最短距离时，可以通过把立体图形展开成平面图形，利用勾股定理求出几何体表面上两点之间的距离勾股定理求出几何体表面上两点之间的距离变式跟进变式跟进2答图答图备考基础备考基础归类探究归类探究练出高分练出高分全效学习全效学习 学案导学设计学案导学设计类型之五勾股定理中的逆定理类型之五勾股定理中的逆定理 如图如图2414，点，点E是正方形是正方形ABCD内的内的一点，连结一点，连结AE，BE，CE，将，将ABE绕点绕点B顺时针旋转顺时针旋转90到到CBE的位置若的位置若AE1，BE2，CE3，则，则BEC_.【解析解析】首先根据旋转的性质得出首先根据旋转的性质得出EBE90，BEBE2，AEEC1，进而根据勾股定理的逆定理求出，进而根据勾股定理的逆定理求出EEC是直角三角形，进