第三章概率与统计

1、第三章 概率与统计一 随机变量（6课时）重点知识：1. 离散型随机变量的分布列：（1）随机变量：如果随机试验的结果可以用一个变量来表示。离散型随机变量：随机变量的取值能按一定次序一一列出。连续型随机变量：随机变量可以取某一区间内的一切值。 （2）离散型随机变量的概率分布列： a. . 具有如下性质：(i)， b. 二项分布（独立重复试验）一次实验中，则在次独立重复试验中事件恰好发生次的概率为： 二项分布列 0 1 2····· ······ ···

2、3;······2. 离散型随机变量的期望与方差：（1） 数学期望：（2） 方差（均方差）： 标准差：注： 若，则， 若，则 ，基本题例：1. 设随机变量的概率分布为，为常数，则4.2. 设离散型随机变量可能的取值为1，2，3，4，又的数学期望为，则等于3. 设，若有，则之值分别为18，4. 若为非负数，随机变量的概率分布为 0 1 2 则的最大值为，的最大值为1 .5.设为平面上过点的直线，的斜率等可能地取，用表示坐标原点到直线的距离，则随机变量的数学期望=。6.一个均匀小正方体的六个面中，三个面上标以数字0，两个面上标以数1，一个

3、面上标以数2，将这个小正方体抛掷2次，则向上的数之积的数学期望是。7.设等差数列的公差为，若的方差为1，则=8.若的方差为3，则的方差为27.9.在一个盒子中，放有标号分别为，的三张卡片，现从这个盒子中，有放回地先后抽得两张卡片的标号分别为、，记（1）求随机变量的最大值，并求事件“取得最大值”的概率；（2）求随机变量的分布列和数学期望解：（1）、可能的取值为、，且当或时， 因此，随机变量的最大值为 有放回抽两张卡片的所有情况有种， （2）的所有取值为 时，只有这一种情况， 时，有或或或四种情况，时，有或两种情况 ， 则随机变量的分布列为： 因此，数学期望 10.某一汽车前进途中要经过个红绿灯路

4、口。已知汽车在第一个路口，遇到红灯和遇到绿灯的概率都是；从第二个路口起，若前次遇到红灯，则下一次遇到红灯的概率是，遇到绿灯的概率是；若前一次遇到绿灯，则下一次遇到红灯的概率是，遇到绿灯的概率是。求：（1）汽车在第二个路口遇到红灯的概率是多少？（2）汽车在经过三个路口过程中，所遇到红灯的次数的期望是多少？11.甲、乙两人玩投篮游戏，规则如下：两人轮流投篮，每人至多投2次，甲先投，若有人投中即停止投篮，结束游戏，已知甲每次投中的概率为，乙每次投中的概率为求： （1）乙投篮次数不超过1次的概率；1.3.5 （2）记甲、乙两人投篮次数和为，求的分布列和数学期望.【方法与技巧】有些问题的模型显得较为隐蔽

5、，这时我们可以多做一点尝试，弄清其模型，再设计相应的答题策略。在解答过程中，需注意答题的规范性。12.袋中有20个大小相同的球，其中记上0号的有10个，记上号的有个（=1,2,3,4）.现从袋中任取一球.表示所取球的标号.（）求的分布列，期望和方差；（）若, ,试求a,b的值.【方法与技巧】在计算离散型随机变量的期望与方差时，首先要搞清其分布特征和分布列，然后要准确运用公式，特别是充分利用性质解题，能避免繁琐的运算过程，提高运算速度和准确度.13. 甲盒有标号分别为1、2、3的3个红球；乙盒有标号分别为1、2、n（n2）的n个黑球，从甲、乙两盒中各抽取一个小球，抽取的标号恰好分别为1和n的概率

6、为 （1）求n的值； （2）现从甲、乙两盒各随机抽取1个小球，抽得红球的得分为其标号数；抽得黑球，若标号数为奇数，则得分为1，若标号数为偶数，则得分为零，设被抽取的2个小球得分之和为，求的数学期望E.【方法与技巧】有些问题的模型显得较为隐蔽，这时我们可以多做一点尝试，弄清其模型，再设计相应的答题策略。在解答过程中，需注意答题的规范性。14. A、B两队进行篮球决赛，共五局比赛，先胜三局者夺冠，且比赛结束。根据以往成绩，每场中A队胜的概率为，设各场比赛的胜负相互独立. （1）求A队夺冠的概率；（2）设随机变量表示比赛结束时的场数，求E.【方法与技巧】恰当地回归到相应的概率模型中去，是解答概率与统

7、计应用问题的突破口，只有找到合适的概率模型，才能迅速抓住问题的本质，进而设计相应的解题策略。在解答过程中，需注意答题的规范性。15.某家具城进行促销活动，促销方案是：顾客每消费满1000元，便可以获得奖券一张，每张奖券中奖的概率为，若中奖，则家具城返还顾客现金1000元，某顾客购买一张价格为3400元的餐桌，得到3张奖券，设该顾客购买餐桌的实际支出为元（I）求的所有可能取值II）求的分布列；（III）求的期望E. 【方法与技巧】有些问题的模型显得较为隐蔽，这时我们可以多做一点尝试，弄清其模型，再设计相应的答题策略。在解答过程中，需注意答题的规范性。16.2008年中国北京奥运会吉祥物由5个“中

8、国福娃”组成，分别叫贝贝、晶晶、欢欢、迎迎、妮妮.现有8个相同的盒子，每个盒子中放一只福娃，每种福娃的数量如下表：福娃名称贝贝晶晶欢欢迎迎妮妮数量11123 从中随机地选取5只.（I）求选取的5只恰好组成完整“奥运吉祥物”的概率；（II）若完整地选取奥运会吉祥物记10分；若选出的5只中仅差一种记8分；差两种记6分；以此类推. 设表示所得的分数，求的分布列及数学期望.17.为防止风沙危害，某地决定建设防护绿化带，种植杨树、沙柳等植物。某人一次种植了n株沙柳，各株沙柳成活与否是相互独立的，成活率为p，设为成活沙柳的株数，数学期望，标准差为。（）求n,p的值并写出的分布列；（）若有3株或3株以上的沙柳未成活，则需要补种，求需要补种沙柳的概率 或 18.某大学开设甲、乙、丙三门选修课，学生是否选修哪门课互不影响. 已知某学生只选修甲的概率为0