常微分方程课程设计》指导书

1、第4章 线性多步法4.1 线性多步法的一般公式前面给出了求解初值问题(1.2.1)的单步法，其特点是计算 时只用到 的值，此时 的值均已算出.如果在计算 时除用 的值外，还用到 的值，这就是多步法.若记,h为步长，则线性多步法可表示为(4.1.1)其中为常数，若(即不同时为零)，称(4.1.1)为线性k步法.计算时用到前面已算出的k个值.当时，(4.1.1)为显式多步方法，当则称(4.1.1)为隐式多步法.隐式方法与梯形方法一样，计算时要用迭代法求.多步法(4.1.1)的局部截断误差定义也与单步法类似.举例来说，对于初值问题，步数k=2时，线性多步法表示为当时，格式为显示的：，而时，格式为隐式

2、的：。定义4.1设y(x)是初值问题(1.2.1)的精确解，线性多步法(4.1.1)在处的局部截断误差定义为(4.1.2)若，则称线性多步法(4.1.1)是p阶的.1 / 15如果我们希望得到的多步法是p阶的，则可利用Taylor公式展开，将在处展开到阶，它可表示为(4.1.3)注意，(4.1.2)式按Taylor展开可得经整理比较系数可得(4.1.4)若线性多步法(4.1.1)为p阶，则可令于是得局部截断误差 (4.1.5)右端第一项称为局部截断误差主项.称为误差常数.要使多步法(4.1.1)逼近初值问题(1.2.1),方法的阶p1,当p=1时，则，由(4.1.4)得 (4.1.6)称为相容

3、性条件.公式(4.1.1)当k=1时即为单步法，若,由(4.1.6)则得2 / 15式(4.1.1)就是，即为Euler法.此时，方法为p=1阶.若，由得,为确定及，必须令,由(4.1.4)得及此时(4.1.1)就是,即为梯形法.由故p=2,方法是二阶的，与3.1节中给出的结果相同.实际上，当k给定后，则可利用(4.1.4)求出公式(4.1.1)中的系数及，并求得的表达式(4.1.5).4.2 Adams显式与隐式方法形如(4.2.1)的k步法称为 Adams 方法，当 时为 Adams 显式方法，当时，称为Adams隐式方法.对初值问题(1.2.1)的方程两端从到积分得显然只要对右端的积分用

4、插值求积公式，求积节点取为即可推出形如(4.2.1)的多步法，但这里我们仍采用Taylor展开的方法直接确定(4.2.1)的系数.对比(4.1.1)可知，此时，只要确定即可.现在若k=4且，即为4步的Adams显式方法3 / 15其中为待定参数，若直接用(4.1.4)，可知此时自然成立，再令可得解此方程组得 .由此得到于是得到四阶Adams显式方法及其余项为(4.2.2) (4.2.3)若，则可得到p=4的Adams隐式公式，则k=3并令，由(4.1.4)可得解得，而，于是得到四阶Adams隐式方法及余项为(4.2.4) (4.2.5)4 / 15一般情形，k步Adams显式方法是k阶的，k=

5、1即为Euler法，k=2为k=3时，.k步隐式方法是(k+1)阶公式，k=1为梯形法，k=2为三阶隐式Adams公式k步的Adams方法计算时必须先用其他方法求出前面k个初值才能按给定公式算出后面各点的值，它每步只需计算一个新的f值，计算量少，但改变步长时前面的也要跟着重算，不如单步法简便.例4.1 用四阶显式Adams方法及四阶隐式Adams方法解初值问题,步长h=0.1用到的初始值由精确解计算得到.解 本题直接由公式(4.2.2)及(4.2.4)计算得到.对于显式方法，将直接代入式(4.2.2)得到其中.对于隐式方法，由式(4.2.4)可得到直接求出，而不用迭代，得到计算结果如表所示.表

6、4-1 Adams方法和Adams隐式方法的数值解与精确解比较5 / 154.3 Adams预测-校正方法上述给出的Adams显式方法计算简单，但精度比隐式方法差，而隐式方法由于每步要做迭代，计算不方便.为了避免迭代，通常可将同阶的显式Adams方法与隐式Adams方法结合，组成预测-校正方法.以四阶方法为例，可用显式方法(4.2.2)计算初始近似，这个步骤称为预测(Predictor)，以P表示，接着计算f值(Evaluation),，这个步骤用E表示，然后用隐式公式(4.2.4)计算，称为校正(Corrector)，以C表示，最后再计算，为下一步计算做准备.整个算法如下：(4.3.1)公式

7、(4.3.1)称为四阶Adams预测-校正方法(PECE). 其matlab程序如下function y = DEYCJZ_adms(f, h,a,b,y0,varvec,type)format long;N = (b-a)/h;y = zeros(N+1,1);x = a:h:b;y(1) = y0;y(2) = y0+h*Funval(f,varvec,x(1) y(1);y(3) = y(2)+h*Funval(f,varvec,x(2) y(2);y(4) = y(3)+h*Funval(f,varvec,x(3) y(3);for i=5:N+1 v1 = Funval(f,varv

8、ec,x(i-4) y(i-4); v2 = Funval(f,varvec,x(i-3) y(i-3); v3 = Funval(f,varvec,x(i-2) y(i-2); v4 = Funval(f,varvec,x(i-1) y(i-1); t = y(i-1) + h*(55*v4 - 59*v3 + 37*v2 - 9*v1)/24; ft = Funval(f,varvec,x(i) t); y(i) = y(i-1)+h*(9*ft+19*v4-5*v3+v2)/24;endformat short;6 / 15利用(4.2.2)和(4.2.4)的局部截断误差(4.2.3)和

9、(4.2.5)可对预测-校正方法(4.3.1)进行修改，在(4.3.1)中的步骤P有对于步骤C有两式相减可得于是有若用代替上式,并令显然比更好，但注意到的表达式中是未知的，因此改为下面给出修正的预测-校正格式(PMECME). (4.3.2)经过修正后的PMECME格式比原来PECE格式提高一阶. 4.4 Milne方法与 Hamming方法 与Adams显式方法不同的另一类四阶显式方法的计算公式形如7 / 15 (4.4.1)这里为待定常数，此公式也是k=4步方法，即计算时要用到4个值.为了确定，当然可以利用公式(4.2.1)直接算出，但下面我们直接利用Taylor展开式确定,使它的阶尽量高

10、.方法(4.4.1)的局部截断误差为将它在点展成Taylor级数，得要使公式的阶尽量高，要令前3项系数为0.即解得,代入公式，的系数为0，故(4.4.2)于是得四阶方法(4.4.3)称为Milne公式，它的局部截断误差为(4.4.2).与(4.4.3)配对的隐式方法为k=3的多步法，它的一般形式可表示为8 / 15要求公式的阶p=4，可直接用(4.2.1)，并令,可得 (4.4.4)若令，可解出，于是得到下列四阶方法(4.4.5)称为Simpson公式，它的局部截断误差为 (4.4.6)用Simpson公式与Milne公式(4.4.3)相匹配，用(4.4.3)做预测，(4.4.5)做校正，由于

11、(4.4.5)的稳定性较差，因此通常较少使用.为了改善稳定性，可重新选择四阶的隐式公式，Hamming通过试验，发现在(4.4.4)中若令,得到的公式稳定性较好，此时(4.4.4)的解为,于是得四阶多步法(4.4.7)称为Hamming公式，它的局部截断误差为 (4.4.8)用Milne公式(4.4.3)与Hamming公式(4.4.7)相匹配，并利用截断误差公式(4.4.2)与(4.4.8)改进计算结果. (4.4.7)该算法称为Hamming预测-校正法。类似Adams预测-校正格式(4.3.2)，可得以下的修正的milne-Hamming预测-校正格式：9 / 15 (4.4.9)附 h

12、amming程序function y = DEYCJZ_hm(f, h,a,b,y0,varvec,type)format long;N = (b-a)/h;y = zeros(N+1,1);x = a:h:b;y(1) = y0;y(2) = y0+h*Funval(f,varvec,x(1) y(1);y(3) = y(2)+h*Funval(f,varvec,x(2) y(2);y(4) = y(3)+h*Funval(f,varvec,x(3) y(3);if type = 1 %hamming预测校正法 for i=5:N+1 v1 = Funval(f,varvec,x(i-3)

13、y(i-3); v2 = Funval(f,varvec,x(i-2) y(i-2); v3 = Funval(f,varvec,x(i-1) y(i-1); t = y(i-4) + 4*h*(2*v3 - v2 + 2*v1)/3; ft = Funval(f,varvec,x(i) t); y(i) = (9*y(i-1) -y(i-3) +3*h*(2*v3 + ft-v2)/8; endelse %修正的hamming预测校正法 p0 = 0; c = 0; for i = 5:N+1 v1 = Funval(f,varvec,x(i-3) y(i-3); v2 = Funval(f

14、,varvec,x(i-2) y(i-2); v3 = Funval(f,varvec,x(i-1) y(i-1); p = y(i-4)+4*h*(2*v3 - v2 + 2*v1)/3; M = p - 112*(p0 - c)/121; F = Funval(f , varvec, x(i) ,M); c = (9*y(i-1) -y(i-3) +3*h*(2*v3 + F-v2)/8; y(i) = c + 9*( p - c)/121; p0 = p; endendformat short;10 / 15例4.2 用四步四阶显式Milne公式及三步四阶隐式Hamming公式解初值问题

15、,步长h=0.1初值仍由精确解给出，要求计算到为止，给出计算结果及误差，并与例4.1结果比较.解 直接用公式(4.4.3)及(4.4.7)计算.用Milne法计算公式为其中误差用Hamming方法(4.4.7)计算公式为可解得 ，n=2,3,411 / 15误差从所得结果可见Milne方法误差比显式Adams方法误差略小，而Hamming方法与隐式Adams方法误差相当.例4.3 将例4.2的初值问题用修正的Milne-Hamming预测-校正公式计算及，初值，仍用已算出的精确解，即，给出计算结果及误差.解根据修正的Milne-Hamming预测-校正公式(4.4.9)得从结果看，此方法误差比

16、四阶Adams隐式法和四阶Hamming方法小，这与理论分析一致.讲解：线性多步法（4.1.1）的局部截断误差定义为与单步法相似，可表示为（4.1.2），即12 / 15只要直接将右端各项在处展成Taylor公式，根据公式阶数为阶，即按的幂整理，令各项系数为0，则可求得相应的线性多步法及其局部截断误差，这里只用到一元函数的Taylor展开.因此不必记系数满足的公式（7.5.4），只要直接展开即可，它不但可以求出Adams显式与隐式公式以及Milne公式，Hamming公式等，还可以求出任何需要的多步法公式，下面再给出两个例题，说明如何直接用Taylor展开的方法.例4.4 解初值问题用显式二步

17、法，其中.试确定参数使方法除数尽可提高.并求局部截断误差.解 本题仍根据截断误差定义，用Taylor展开确定参数满足的方程，由于为求参数使就地介数尽量高，可令及得方程组解得此时公式为三阶，而且13 / 15即为所求局部截断误差.而所得二步法为 例4.5 证明线性多步法存在的一个值，使方法是四阶的.证明只要证明局部截断误差,则方法为四阶.仍用Taylor展开，由于当时，故方法是四阶的.4.5 练习题1. 自编matlab程序得到例4.1中初值问题的四阶Adams显示多步法和四阶隐式多步法的数值结果，列出表4-1，并画出解曲线对比图。2. 应用Adams显示方法、Adams隐式方法和Adams预测校正方法求解下列初值问题的数