2010年高三数学高考复习查漏补缺：立体几何2

1、2010年高考数学复习查漏补缺：立体几何十、你会解决图形折叠问题吗？ 训练17 如图4, 在直角梯形中, ,把沿对角线折起后如图5所示(点记为点), 点在平面上的正投影落在线段上, 连接. (1) 求直线与平面所成的角的大小;(2) 求二面角的大小的余弦值.(本小题主要考查空间线面关系、空间角等知识, 考查数形结合、化归与转化的数学思想方法，以及空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力)方法一:(1) 解:在图4中, , , . ,为等边三角形 . 在图5中, 点为点在平面上的正投影,平面.平面,., .平面, 平面,平面.为直线与平面所成的角. 在Rt中, ,. ,.直线与平面所成的角为.

2、(2) 解:取的中点, 连接,. , .平面,平面,.平面, 平面,平面.平面,.为二面角的平面角. 在Rt中,.在Rt中,. 在Rt中，.二面角的大小的余弦值为. 方法二: 解:在图4中, , , . ,为等边三角形. . 在图5中, 点为点在平面上的射影,平面.平面,., .平面, 平面, 平面. 连接,在Rt和Rt中,RtRt.在Rt中，.在Rt中，. 以点为原点,所在直线为轴,与平行的直线为轴,所在直线为轴,建立空 间直角坐标系,则,.,. (1), . 直线与平面所成的角为. (2) 设平面的法向量为n, 由 得 令, 得,. n为平面的一个法向量. 为平面的一个法向量, . 二面角

3、的平面角为锐角, 二面角的平面角的余弦值为. 十一、立体几何解答题你能快速正确求解吗？ 训练18 如图，三棱柱中，侧面底面，,且,O为中点.（）证明：平面；（）求直线与平面所成角的正弦值；（）在上是否存在一点，使得平面，若不存在，说明理由；若存在，确定点的位置. 解：（）证明：因为，且O为AC的中点， 所以. 又由题意可知，平面平面，交线为，且平面， 所以平面.（）如图，以O为原点，所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系.由题意可知，又所以得:则有： 设平面的一个法向量为，则有 ，令，得 所以. . 因为直线与平面所成角和向量与所成锐角互余，所以. （）设 即，得所以得 令平面，得 ，

4、即得即存在这样的点E，E为的中点. 训练19 在四棱锥中，侧面底面，为中点，底面是直角梯形，.（）求证：平面； （）求证：平面；（）设为侧棱上一点，试确定的值，使得二面角为.解：（）取的中点，连结，因为为中点，所以，且，在梯形中，所以，四边形为平行四边形，所以， 平面，平面，所以平面. （）平面底面，所以平面，所以.如图，以为原点建立空间直角坐标系.则，所以，又由平面，可得，所以平面.9分（）平面的法向量为，所以，11分设平面的法向量为，由，得所以，所以，所以，注意到，得. 训练20 在三棱锥中，和是边长为的等边三角形，是中点（）在棱上求一点，使得平面； （）求证：平面平面；（）求二面角的余弦

5、值解：（）当为棱中点时，平面.证明如下：分别为中点，又平面，平面平面. （）连结，为中点，, ，.同理, ，.又,.,平面.平面平面平面. （）如图,建立空间直角坐标系.则， ， .由（）知是平面的一个法向量.设平面的法向量为，则 .令，则，平面的一个法向量.二面角的平面角为锐角，所求二面角的余弦值为 训练21 如图，P-ABCD是正四棱锥，ABCD-A1B1C1D1是正方体，其中AB2，PA=(1)求证：PAB1D1；(2)求平面PAD与平面BDD1B1所成的锐二面角的正切值；(3）求B1到平面PAD的距离。解法一：（1）连结AC，交BD于点O，连结PO，则PO面ABCD又ACBD PABD

6、 ， BDB1D1（2）AOBD，AOPO AO面PBD，过点O作OMPD于点M，连结AM，则AMPD，则AMO就是二面角APDO的平面角。AB=2，PA= AO=，PO=2，OM=AMO=(3) 分别取AD、BC的中点E、F，作平面PEF，延长PE、PF交底面于两点S、S1，平面PEF交B1C1于点B2，过点B2作B2B3PS于点B3，则B2B3平面PAD，又因为B1C1AD， 所以B2B3的长就是点B1到平面PAD的距离。PSS1=tanPEO= sinPSS1=而SB2=3，解法二： 以A1B1为x轴，A1D1为y轴，A1A为z轴建立空间直角坐标系。（1）设E为BD的中点，PABCD是正四棱锥PE平面ABCD 即PAB1D1；（2）设平面PAD的法向量是m=(x,y, z) 取z=1,得m=(-2,0,1)又平面BDD1B1的法向量是n=(1,1,0) 训练22 如图所示，在三棱锥P-ABC中，PA平面ABC，AB=BC=CA=2,