椭圆的综合问题

1、全国名校高考数学优质自学学案、辅导专题汇编（附详解）椭圆的综合问题(六十四 )221已知椭圆 E： x2 y2 1(a>b>0) 的右焦点为 F(3，0) ，过点 F 的直线交 E 于 A ， B 两点，ab若 AB的中点为 M(1 ， 1)，则 E 的方程为 ()x2y2x2y2A.4536 1B.3627 1x2y2D.x2y2 1 1C.2718189答案D0 122解析 kAB 1， kOM 1，由 kAB ·kOM b2，得 b2 1，a2 2b2.c 3，a2 18，3 12aa2b2 9，椭圆 E 的方程为 x2 y2 1.1892(优质试题 ·南

2、昌二模 )已知椭圆： y2 x21，过点 P(1，1)的直线与椭圆相交于A ，B 两点，922且弦 AB 被点 P 平分，则直线AB 的方程为 ()A 9x y 4 0B 9x y5 0C 2xy 2 0D x y5 0答案By12设 A(x 1， y1y29 x12 1，解析)， B(x 2， y2)，因为 A ，B在椭圆 9 x2 1 上，所以y222两式9 x21，y12 y22（ y1212 x12x22 0，得 y）（ y y）x2)0，又弦 AB 被点相减得99 (x1 x2)(x11 1y1 y2y1 y2P(2， 2)平分，所以x1 x2 1，y1 y2 1，将其代入上式得9

3、x1 x2 0，得 x1 x2119，即直线 AB的斜率为9，所以直线AB 的方程为 y2 9(x 2)，即 9xy 50.3椭圆x2 y2 1上的点到直线 x 2y 2 0 的最大距离是 ()16 4A 3B.11C 22D.10答案D全国名校高考数学优质自学学案、辅导专题汇编（附详解）x2y2解析设椭圆164 1 上的点 P(4cos，2sin)，则点 P 到直线 x 2y 2 0的距离为 d|4cos4sin 2|42sin（ 4 ） 2|4 2 2|55，dmax5 10.4 (优质试题 ·广东梅州阶段测评)已知椭圆x2y21的一个顶点C(0， 2)，直线 l 与E： 54椭

4、圆 E 交于 A ， B 两点，若 E 的左焦点 F1 为 ABC 的重心，则直线l 的方程为 ()A 6x 5y 14 0B 6x 5y14 0C 6x5y 140D 6x 5y 14 0答案B解析由题意知 F1 ( 1，0) ，设 A(x 1， y1)， B(x 2，y2) ，x x 0 3， x x 3，1212则y y2.y y 2 0，1212设 M 为 AB 的中点，则 M( 3， 1)2x12y125 4 1，（ x1212（ y1212 x）（ x x ） y）（ y y ）由y22作差得54 0，x225 41，12y y6将 代入上式得x1 x25.663即 k 5，由点斜

5、式得，直线方程为y1 5(x 2)，即 6x 5y 14 0.5 (优质试题 ·广西南宁、梧州摸底联考x2y2F1，)已知椭圆 22 1(a>b>0) 的左、右焦点分别为abF ，过 F 且与 x 轴垂直的直线交椭圆于A ，B 两点，直线 AF与椭圆的另一个交点为C，若212S 3S BCF ，则椭圆的离心率为() ABC253A. 5B. 31033C. 5D. 10答案A解析设椭圆的左、右焦点分别为F1( c，0)，F2(c，0)，将 x c 代入椭圆方程得b2y ± .ab2ABCb2设 A( c， a )， C(x ， y)，由 S 3SBCF 2，可得

6、 AF 22F2C，即有 (2c， a ) 2(x c，全国名校高考数学优质自学学案、辅导专题汇编（附详解）y)，即2c 2x 2c，b2x 2c， yb24c2b2a 2y，可得，代入椭圆方程可得22 1.由 e2aa4ac22221125 a， b a c ，得4e44e 1，解得 e5，故选 A.6已知椭圆x2y23，过右焦点F 且斜率为 k(k>0) 的直线与 CC： 2b2 1(a>b>0) 的离心率为2a相交于，则 k ()A ， B 两点若向量 AF 3FBA 1B.2C.3D 2答案B3解析设点 A(x 1， y1 )， B(x 2， y2) 因为 AF 3F

7、B，故 y1 3y2.因为 e 2，设 a 2t， c3t，b t，故 x2 4y2 4t2 0，直线 AB的方程为 x sy3t.代入消去 x，所以 (s2 4)y2221223st 12t2，2y223st2 2t23styt 0，所以 y y 2，yy 2 2， 3y2，s 4s 4s 4s 4解得 s2 1，又 k 1，则 k2.故选 B.2s7已知直线 l ：yk(x 22)与椭圆 x2 9y2 9 交于 A ，B 两点，若 |AB| 2，则 k _3答案±3解析椭圆 x29y 2 9 即椭圆x2( ±22， 0)因为直线 y9 y2 1，所以椭圆的焦点坐标为k(

8、x 22)，所以直线过椭圆的左焦点F( 22， 0)，设 A(x 1， y1 )， B(x 2， y2) ，将直线 yk(x 22)代入椭圆x2 9y2 9，可得 (1 9k 2)x2362k 2x72k2 9 0，所以 x1 x2362k272k 2 9，所以 |AB| 1 k2 · （ x1 x2） 2 4x1x26（ 1k2），因为 |AB|， x1x219k1 9k21 9k226（ 1 k2）32，所以1 9k 22，所以 k ±3 .28直线 m 与椭圆 x2 y2 1 交于 P1，P2 两点，线段 P1P2 的中点为P，设直线 m 的斜率为k1(k 1 0)

9、，直线 OP 的斜率为 k2，则 k1k2 的值为 _答案 121 x中解析 由点差法可求出 k1 · ，2 y中全国名校高考数学优质自学学案、辅导专题汇编（附详解）k1 y中 1，即 k1 21.·2k 2x中229 (优质试题 ·河北唐山期末 )设12x y 1(a>b>0) 的左、右焦点，经过F1F ， F为椭圆 C：2b2a的直线交椭圆C 于 A ，B 两点，若 F2AB 是面积为 43的等边三角形，则椭圆C 的方程为_答案x2 y2 196b2312b2解析由 F2AB 是面积为4 3的等边三角形知 AB 垂直 x 轴，得 a 3 ×

10、; 2c，2×2c× a4 3， a2 b2 c2，解得 a2 9，b2 6， c2 3.所以的椭圆方程为 x2 y2 1. 9 6x2y22 1(a>b>0) 的左、右焦点分别为F12，焦距为 2c.若直线 y3(x c)10椭圆 ：b2， Fa与椭圆 的一个交点 M 满足 MF1 221，则该椭圆的离心率等于 _F 2 MFF答案3 1解析由直线 y 3(x c)知其倾斜角为 60°，由题意知 MF 122 112F60°，则 MF F 30°，F MF 90°.故|MF 1| c， |MF2| 3c.又|MF 1|

11、|MF 2| 2a，( 31)c2a.即 e2 31.3 1x2211已知椭圆 y 1(0<m<9) 的左、右焦点分别为 FA，B 两9m1、F2，过 F1 的直线交椭圆于点，若 |AF2| |BF 2|的最大值为 10，则 m 的值为 _答案3解析已知在椭圆x2y222 1(0<m<9) 中，a 9，b m.|AF 22| 4×3 |AB| 10，|AB|9m| |BF2， |AB| min2b22m 2，解得 m 3. 3 3x212 (优质试题·衡水中学调研卷 )过椭圆 2 y2 1的左焦点且不与坐标轴垂直的直线交椭圆于 A 、 B 两点，线段

12、AB 的垂直平分线与x 轴交于点G，则点G 的横坐标的取值范围为_1答案( ，0)全国名校高考数学优质自学学案、辅导专题汇编（附详解）解析设直线 AB 的方程为 y k(x 1)(k 0)，代入 x2 y2 1，整理得 (1 2k2)x2 4k2x 2k222 0，(4k2)2 4(1 2k 2)× (2k 2 2) k2 1>0.设 A(x 1， y1 )， B(x 2，y2)， AB的中点为4k2， y1 y22k的垂直平分线NG 的方程为 y y0N(x 0， y0)，则 x1 x2，AB2k2 12k2 112k 2k2k211k(x x0)令 y 0，得 xG x0

13、ky 022 2.k0，2k212k2 12k 2 14k112<x G <0，点 G 的横坐标的取值范围为( 2，0)13(优质试题 ·江苏泰州中学月考x2y2)已知直线 y x 1 与椭圆 2 b2 1(a>b>0) 相交于 A ，Ba两点，且 OA OB(O 为坐标原点 )，若椭圆的离心率e 132，2 ，则 a 的最大值为 _答案102y x 1，解析设 A(x 1， y1)， B(x 2， y2)，由 x2y2得 (a2b2)x 2 2a2xa2 a2b2 0，22 1，abx1x2 2a22，2a b4a4 4(a2 b2 )(a2 a2b2)&g

14、t;0 ，可得 a2 b2>1 且a2 a2b21 2，x x a2 b2OA OB，OA ·OB x1x2 y1y2 0，即 2x 1x2 (x1x2 )1 0，2（ a2 a2 b2）2 1 0，整理得 a2 b2 2a2b2 ，a2a2c22a2 (a2 c2)，a2 b22aa2 b22 e21，2a2 a2e2 2a2(a2 a2e2 )， 2a2 11e21 e2e 1，3 ，2a2 7，5 ，即 amax 510.22322x2y22)作倾斜角互补的两条直线PA，PB，14已知椭圆C： 1，过椭圆 C 上一点 P(1，24分别交椭圆 C 于 A ， B 两点，求直

15、线AB 的斜率答案2解析设 A(x 1， y1)， B(x 2， y2) ，同时设 PA 的方程为 y2 k(x 1)，代入椭圆方程化简得 (k2 2)x22 22k 2 0，显然 11是这个方程的两解因此12k(k 2)x k和 xx全国名校高考数学优质自学学案、辅导专题汇编（附详解）k2 2 2k 2 2k2 4k 2 2k2 2 2k 2， y1 ，由 k 代替 x1 ，y1 中的 k，得 x2， y2k2 2k2 2k2 2 2k 2 4k 2 2y2 y1，所以 2.k2 2x2 x1y215设 F1，F2 分别是椭圆 E： x2 b2 1(0b 1)的左、右焦点，过F1 的直线 l

16、 与 E 相交于A ， B 两点，且 |AF 2|， |AB| ， |BF2|成等差数列(1) 求 |AB| ；(2) 若直线 l 的斜率为 1，求实数 b 的值答案(1)4(2)232解析(1)由椭圆定义知|AF 2| |AB| |BF2 |4，4又 2|AB| |AF 2 | |BF2|，得 |AB| 3.(2)l 的方程为y x c，其中 c1b2.设 A(x 1， y1)， B(x2 ， y2 )，则 A ，B 两点坐标满足方程组化简，得 (1 b2)x2 2cx 1 2b2 0. 2c1 2b2则 x1 x22，x1 x22 .1 b1 by x c，2x2 yb2 1.因为直线 A

17、B 的斜率为1，所以 |AB| 2|x2 x1|.即4 2|x2 x1|.3824（ 1 b2） 4（ 1 2b2 ）8b42则9124x1222 22 2，解得 b2 .(x x) x （1 b ）1 b（ 1 b ）16 (优质试题 ·广东六校联盟二联)已知椭圆x2y2F1( 3，2b2 1(a>b>0) 的左、右焦点分别为a0)， F2(3， 0)，直线 y kx 与椭圆交于A ， B 两点(1) 若 AF 1 F2 的周长为 4 36，求椭圆的标准方程；2，且以 AB 为直径的圆过椭圆的右焦点，求椭圆离心率e 的取值范围(2) 若 |k|> 4答案(1)x2

18、y2(2)23 12<e< 2123全国名校高考数学优质自学学案、辅导专题汇编（附详解）c 3，解析(1)由题意得解得 a 23.2a 2c 6 43，结合 a2 b2 c2，解得 a2 12， b2 3.x2y2所以椭圆的标准方程为123 1.x2y2(2) 由 a2 b2 1， 消去 y，得 (b2 a2k2)x2 a2 b2 0. y kx ， a2b2设 A(x 1， y1)， B(x2 ， y2 )，所以 x1 x2 0， x1x2 222 ，易知， AF 2 BF 2.b a k3， y3， y )，因为 F A (x)， F B (x211222 (x121 221

19、2所以 F2A·F2B(1 k 3)(x 3) y y)x x90， a2（ a2 9）（ 1k2）即 90，a2k2（ a2 9）a4 18a2 8181将其整理为 k2 a4 18a2 1a4 18a2.因为 |k|> 42，所以 12<a2<18，即 23<a<32.2 3 所以离心率 2 <e< 2 .17 (优质试题 ·杭州市二中模拟)已知椭圆 E 的两个焦点分别为F1 ( 1，0)和 F2(1 ，0)，离心率为2.2(1) 求椭圆 E 的方程；(2) 设直线 l ： y x m(m 0) 与椭圆 E 交于 A ， B 两

20、点，线段 AB 的垂直平分线交x 轴于点T，当 m 变化时，求 TAB 面积的最大值x22答案(1)2 y2 1 (2)3c 1，a 2，解析(1)根据题意得c2解得b 1，a 2 ，a2 b2 c2，c 1.全国名校高考数学优质自学学案、辅导专题汇编（附详解）2所以椭圆 E 的方程为 x2 y2 1.(2) 设 A(x 1， y1)， B(x 2， y2)，x2 y21，联立 2化简得 3x2 4mx 2m2 2 0.y x m，直线与椭圆有两个不同的交点，(4m)2 12(2m2 2)>0 ，即3<m<3且 m 0.4m由根与系数的关系，得x1 x2 3 ，xx 2m2

21、2.123Cx x22mCCm设 AB 的中点为 C，x 1， y x m 3 .2 3m2m线段 AB 的垂直平分线的方程为y3 (x3 )m点 T 的坐标为 ( 3， 0)2|3m|2T 到直线 AB 的距离 d23 |m|，由弦长公式得 |AB| 2（ x122 4x1 242 x）x 33 m .12422（ 3 m2） m22，STAB ×3|m|×33 m2932当 m232，即 m ±26 (3，3)时等号成立2STAB max 3 .1由椭圆 b2 x2 a2y2 a2b2(a>b>0)的顶点 B(0 ， b)引一条弦 BP，当 a2b

22、 时， |BP|的最大值为 ()b2a2A.B.a2 b2a2 b2全国名校高考数学优质自学学案、辅导专题汇编（附详解）a2D.b2C.a2 b2a2b2答案B2x2（ y b） 2 1解 析设 P(x ， y) ， 因 为 x2 a2 a2 y2( b<y b) ， 所 以 |BP| bb（ b2 a2）y2 2b3y b2（ a2 b2），因为 a2b，所以当yb3时， |BP|取得最大b2 a2值，且|BP|maxa2.a2 b2222(优质试题 ·广西来宾高中模拟)已知椭圆 C：x y 1 的左、右顶点分别为 A 1，A 2，点 P43在椭圆 C 上，且直线 PA2 的

23、斜率的取值范围是 2， 1，那么直线 PA1 的斜率的取值范围是()33B 13A，2， 844C1，1D3，224答案A解析由题易知 A 1( 2，0)， A 2(2， 0)，设 P(x，y)，直线 PA1，PA2 的斜率分别为 k1， k2，32则 k1k2 y ·y y23 4x3，所以 k13× 1.因为 k2 2， 1，所以 k1x 2 x 2 x 4 x 444 k2223 3 8， 4，故选 A.223已知椭圆具有如下性质： 若椭圆的方程为 x2y21(a>b>0) ，则椭圆在其上一点A(x 0，y0)ab处的切线方程为 x0xy0y 1.试运用该

24、性质解决以下问题，椭圆C1x2 y2 1(a>b>0) ，其2b2： 2b2aa焦距为 2，且过点 (1， 2B作 C1 的切线 l ， l 分2 )，点 B 为 C1 在第一象限中的任意一点，过别与 x 轴和 y 轴的正半轴交于 C， D 两点，则 OCD 面积的最小值为 ()2A. 2B. 2C. 3D 2答案B解析由题意可得2c 2，即 c 1，a2 b2 1，将点 (1，2112 1，2)代入椭圆方程， 可得22ba全国名校高考数学优质自学学案、辅导专题汇编（附详解）2解得 a2，b1，即椭圆的方程为x y2 1，设 B(x 2，y2)，则椭圆 C1 在点 B 处的切线方2

25、程为x2x y2y 1，令 x 0，得 yD121 121，2，令 y0，可得 xC，所以 SOCD · · y2x22 y2x2x2y22x2x2212 y22x2又点 B 为椭圆在第一象限上的点，所以 x2>0，y2>0，2 y22 1，即有 x2 y2 x2y2 2y2y2 2x2 y22，当且仅当x2221B 的坐标为 (1，2时，x2· 2，即 S OCD2 y2 ，即点2)2y2 x22OCD 面积取得最小值2，故选 B.x2y224已知椭圆 C： 2 2 1(a>b>0) 的一个顶点 A(2 ， 0)，离心率为，直线 yk(x

26、 1)与椭ab2圆 C 交于不同的两点 M ， N.(1) 求椭圆 C 的方程；(2) 当 AMN 的面积为10时，求实数 k 的值322答案(1)x y 1(2)k ±142解析椭圆c2(1) a 2， e a 2 ，c2， b2.C：x2 y2 1.42y k（ x 1），(2) 设 M(x 1， y1 )， N(x 2， y2) ，则由 x2y2消 y，得 (1 2k2)x24k2x 2k 2 4 0.4 21，直线 y k(x 1) 恒过椭圆内一点 (1， 0)，>0 恒成立由根与系数的关系，得x x 4k2x2k2 41 2k2， x1 2k 2.1212AMN1× 1× |y1× |kx1 kx