数学教师PCK知识与有效教学(裕安区骨干教师培训)2013

1、数学教学内容知识数学教学内容知识(MPCK)(MPCK)与有效教学与有效教学 沈南山沈南山皖西学院皖西学院2013.3.17 主讲教师沈南山简介： 教授、教育学博士，全国优秀教师。n 从事中学数学教学20余年，高校本科数学教育教学与科研10余年。n 在教育研究等学术期刊上发表学术论文40余篇，多篇论文被人大复印资料、新华文摘全文转载.n 主持省部级以上课题10余项。n 主编高等师范院校数学专业教材数学教育学1部；主持省精品资源共享课程数学教育学立项建设。n 参加安徽省高考数学命题、安徽省对口高考数学命题、专升本高等数学命题、安徽省高等学校教学技能大赛评委等社会活动。主要探讨四个问题：n一、一、

2、有效教学的哲学意涵有效教学的哲学意涵n二、有效教学的基础：数二、有效教学的基础：数学教师教学教师教学学n 内容知识内容知识(MPCK)(MPCK) n三、数学课堂有效教学的模式与特征三、数学课堂有效教学的模式与特征n四、数学有效教学策略探讨四、数学有效教学策略探讨研究问题的现实背景：n一个数学专业水平较高的教师，教学水平是否一定也较高？n一个数学专业水平一般的教师，教学水平是否一定也一般？n一个教学经验十分丰富的教师，是否一定能够写出高水平的文章？n研究你的学校或同年级、同教研组数学教师的学历、知识水平、课堂教学水平等状况，看看有什么样的结论？原因是什么？一、有效教学的哲学意涵有效教学研讨会有

3、效教学研讨会n 教学效果：教学效果：指学生有没指学生有没有学到什么。有学到什么。 n 教学效益：教学效益：教学结果与教学结果与预期教学目标是否吻合。预期教学目标是否吻合。n 教学效率：教学效率：单位教学投单位教学投入所获得的教学产出的多入所获得的教学产出的多少。少。 探讨课堂教学质量探讨课堂教学质量主要指标：主要指标：（1）有效教学溯源）有效教学溯源论语论语 教学要因材施教，教学要因材施教，“举一反举一反三三”“”“闻一知十闻一知十”“”“触类旁通触类旁通”。学记学记 启发式教学，启发式教学，“道而弗牵，道而弗牵， 强强而弗抑，开而弗达而弗抑，开而弗达” 自有教学以来，人们便进行着有效教学的实

4、践探索。自有教学以来，人们便进行着有效教学的实践探索。 孔子杏坛讲学孔子杏坛讲学n大教学论大教学论（捷克）（捷克） 寻求并找出一种教学的方法，寻求并找出一种教学的方法，使使教员因此可以少教，但是学生可教员因此可以少教，但是学生可以多学，以多学，提出教学应根据儿童成长提出教学应根据儿童成长的规律，不能强迫儿童学习。的规律，不能强迫儿童学习。 夸美纽斯夸美纽斯 （1592-16701592-1670） 最优化教学理论最优化教学理论: :有有效教学思想发展的一效教学思想发展的一个重要里程碑。个重要里程碑。 系统论的视角：系统论的视角： 全面考虑教学规律、全面考虑教学规律、原则、方法原则、方法 传授知

5、识与教养、传授知识与教养、教育、发展的统一教育、发展的统一 巴班斯基（巴班斯基（1927-19871927-1987） （前苏联）（前苏联） 教育教学过程最优化教育教学过程最优化教育教学过程最优化教育教学过程最优化（2）有效教学的教育哲学基础n基于某种哲学世界观来观照教育，从根本上理解教育，诠释教育。（教育说到底是培育什么样的“人”）n教育存在的价值与追求的途径。（哪种教育途径能够更好地更有效地培育“人”）n重构学校教育生活。（为学校教育设计合理有效的教学方式和学习方式）n探求教育过程的价值标准（知识性、道德性、社知识性、道德性、社会性、文化性会性、文化性有效性有效性是价值准则之一）是价值准则

6、之一）（3）有效教学的理念n时效理念：时效理念： 科学安排时间，有效利用时间 力争在单位时间内取得最佳的效果n发展理念：发展理念： 学生的发展是终极指标 采取各种有效措施，促进学生发展n主体理念：主体理念： 学生是课堂学习的主体 调动学生学习主动性、积极性 主动钻研、自觉建构关注教学时效关注教学时效学生是学习主体学生是学习主体n实践理念：实践理念： 学生动手、动口、动脑 在“做”中学，在“做”中练n合作理念：合作理念： 沟通、对话、合作、交往与互动n反思理念：反思理念： 课后认真反思 诊断师生自我教与学的得失状态 总结提炼教与学的经验及教训 考核评价教与学的效率及效果学生交流合作学生交流合作（

7、1 1） 20世纪以来教育科学化运动的历史演进世纪以来教育科学化运动的历史演进2020世纪上半叶西方教育：世纪上半叶西方教育：教学科学化运动：教学科学化运动：教学是科学还是艺术教学是科学还是艺术？（2020世纪以前教学观主导教学是艺术）世纪以前教学观主导教学是艺术）教学效能核定运动：教学效能核定运动：（2020世纪以来，心理学和行为科学的发展，世纪以来，心理学和行为科学的发展，教学观主导教学是科学，可用实验、观察等教学观主导教学是科学，可用实验、观察等定量的方法研究教师和学生行为的指标体系）定量的方法研究教师和学生行为的指标体系） （4 4）有效教学（）有效教学（effective teach

8、ing effective teaching ）概念兴起）概念兴起（2）有效教学：新课程改革关于教学与管理的现实诉求新课程改革关于教学与管理的现实诉求n减负提质（减负提质（国家中长期发国家中长期发展纲展纲要要政府行为）政府行为）n凯洛夫凯洛夫“五段教学五段教学”的变革的变革n三维目标与学生的全面发展三维目标与学生的全面发展n提升学校文化品位提升学校文化品位应试教育应试教育课堂教学满堂灌：课堂教学满堂灌： 填鸭式教学填鸭式教学 学生学得累学生学得累情境创设情境创设华而不实：华而不实： 绚丽多彩绚丽多彩 虚假造作虚假造作 缺少问题缺少问题作业负担太重，学生成天困在书山题海之中作业负担太重，学生成天

9、困在书山题海之中 教师苦教，学生苦学，而教师苦教，学生苦学，而“三维目标三维目标”并未有效达到并未有效达到 在课堂上分两组进行在课堂上分两组进行投球比赛。投球比赛。赛完后展示统计表进行比较。赛完后展示统计表进行比较。教学案例：求人均投中次数的平均数点评：点评：“平均数平均数”并不是一个完全陌生的概念。这里只需一个投球的结果作为引入，而并不是一个完全陌生的概念。这里只需一个投球的结果作为引入，而无需花费很多的时间去组织无需花费很多的时间去组织“投球投球”活动。这种看起来活跃的活动没有多少活动。这种看起来活跃的活动没有多少促进学生数促进学生数学思考学思考的价值，花费了过多的时间导致了的价值，花费了

10、过多的时间导致了课堂教学的低效课堂教学的低效。情境的创设情境的创设要要真正为学生真正为学生理解数学理解数学服务，而不是用来服务，而不是用来“装点门面装点门面”。师生互动表面浅层：师生互动表面浅层： 教师单向提问教师单向提问 学生反馈残缺学生反馈残缺 课堂提问质量不高：课堂提问质量不高： 满堂问满堂问 问题细小琐碎问题细小琐碎 答案封闭内聚答案封闭内聚课堂提问教学案例：课堂提问例题：班级举办元旦晚会，用彩带装饰教室。例题：班级举办元旦晚会，用彩带装饰教室。一根彩带长一根彩带长2020米，用去了它的米，用去了它的3/53/5，还剩，还剩下多少米？下多少米？n谁来读题？这道题已知什么，要求什么？单位

11、谁来读题？这道题已知什么，要求什么？单位“1”1”的量是什么？线段图怎么画？用什么方法计算？怎的量是什么？线段图怎么画？用什么方法计算？怎么列式？么列式？n等于多少？为什么用乘法计算？乘法的意义是什么？等于多少？为什么用乘法计算？乘法的意义是什么？n你还有不同的解法吗？你是怎么想的？你还有不同的解法吗？你是怎么想的？n点评：点评：n 11个个小、细、碎、浅小、细、碎、浅的问题使此题变得的问题使此题变得毫无毫无张力张力。没有能给学生留下回旋的空。没有能给学生留下回旋的空间，当然学生的思维也就缺少弹性空间。间，当然学生的思维也就缺少弹性空间。自主学习形式化，导致自主学习形式化，导致“放羊式放羊式”

12、 教教学：学： 目的不明确目的不明确 教师淡化出场、教师淡化出场、 学生忙碌无实效学生忙碌无实效 忽视独立思考忽视独立思考小组合作放任自流，课堂秩序难以保证小组合作放任自流，课堂秩序难以保证探究活动探究活动 浮于表面：浮于表面：探究方向模糊探究方向模糊只重形式，不重实质只重形式，不重实质 “ “小明上学时究竟是走中间的直路较近小明上学时究竟是走中间的直路较近, ,还还是分别绕道位于直路两侧的邮局和商店较近是分别绕道位于直路两侧的邮局和商店较近?”?” 在教学中，从一开始学生就能立即对上述在教学中，从一开始学生就能立即对上述问题正确作答问题正确作答, ,大多数学生还能依据大多数学生还能依据“两点

13、之间两点之间线段最短线段最短”作出论证作出论证, ,但教师仍然坚持用小棒进但教师仍然坚持用小棒进行检验行检验, , 重新提出重新提出“三角形任意两边的和大于三角形任意两边的和大于第三边第三边”这一猜想。这一猜想。 在课后的点评中在课后的点评中, ,有教师提出有教师提出: :在此在此, ,重要的重要的并非上述的具体结论并非上述的具体结论, ,而是让学生体会发现的过而是让学生体会发现的过程。程。思考：究竟什么是真正的探究活动思考：究竟什么是真正的探究活动? ?学生探究的意义是什么学生探究的意义是什么? ?点评：拿小棒摆三角形的活动是要帮助学生理解点评：拿小棒摆三角形的活动是要帮助学生理解“两边之和

14、大于第三边两边之和大于第三边”，但在这一，但在这一课例中，学生对这一命题已有了较好的认识，再让学生进行这样的操作就成了多余的课例中，学生对这一命题已有了较好的认识，再让学生进行这样的操作就成了多余的“点缀点缀”。应当注重探究活动的过程，但更应当注意。应当注重探究活动的过程，但更应当注意探究活动的目的性与意义。这里探究活动的目的性与意义。这里应当设计其他一些层次更深的活动，而使探究不致浮于表面。应当设计其他一些层次更深的活动，而使探究不致浮于表面。教学案例：三角形边的关系小学数学小学数学四下四下信息技术滥用：信息技术滥用： 主题内容不突出主题内容不突出 多媒体滥用多媒体滥用 成了变相的黑板成了变

15、相的黑板 教学效果差教学效果差多媒体教学二、有效教学的基础：二、有效教学的基础：数数学教师教学教师教学学内容知识内容知识(MPCK)(MPCK)n有效教学的基础：数学教师的有效教学的基础：数学教师的教学理念、教学理念、知识结构、能力水平等因素知识结构、能力水平等因素n教师专业发展教师专业发展n专家学者型教师专家学者型教师数数学教师教学教师教学内容知识学内容知识(MPCK)(MPCK) n数学教学内容知识数学教学内容知识为为mathematical mathematical pedagogical pedagogical content knowledge (MPCK)content knowl

16、edge (MPCK)的简称。的简称。n概念内涵及其构成要素：数学知识概念内涵及其构成要素：数学知识MKMK（mathematical mathematical knowledgeknowledge）、教学法知识）、教学法知识PKPK（pedagogical pedagogical knowledgeknowledge）和内容知识）和内容知识CKCK（content knowledgecontent knowledge）（学科知识或有关数学学习的知识）。（学科知识或有关数学学习的知识）。n教学内容知识教学内容知识PCK(PCK(pedagogical content knowledgepeda

17、gogical content knowledge) )、数学学科知识数学学科知识MCK(mathematical MCK(mathematical content knowledgecontent knowledge) )、数学教学法知识数学教学法知识MPKMPK（mathematical mathematical pedagogical pedagogical knowledgeknowledge）等。）等。n1986年，美国斯坦福大学教授、著名教育家舒尔曼(Lee S. Shulman)最早提出教师专业知识结构理论。n舒尔曼提出的教师知识分为七类舒尔曼提出的教师知识分为七类学科内容知识学

18、科内容知识(subject matter knowledge)(subject matter knowledge)、一般教学法知识、一般教学法知识(general pedagogical knowledge)(general pedagogical knowledge)、课程知识、课程知识（knowledge of curriculumknowledge of curriculum），），学科教学内容知识学科教学内容知识(pedagogical content knowledge(pedagogical content knowledge，) )、学生知识、学生知识(knowledge of

19、learners) (knowledge of learners) 、教育环境知识、教育环境知识(knowledge of educational context )(knowledge of educational context )、有关教育宗、有关教育宗旨、目的等知识旨、目的等知识(knowledge of educational ends , (knowledge of educational ends , etc. ) etc. ) 教师教学知识基础：教师教学知识基础：PCKPCK的含义的含义n Shulman(1986)最初的界定，最初的界定，PCK即关于教师即关于教师将自己所掌握

20、的将自己所掌握的学科知识学科知识转化成转化成学生易于理解的学生易于理解的形式知识形式知识，它具体表现为教师知道使用怎样的演，它具体表现为教师知道使用怎样的演示、举例、类比等来呈现学科内容，知道学生的示、举例、类比等来呈现学科内容，知道学生的理解难点。理解难点。n 1987年，年，Shulman认为它是用认为它是用专业学科知识与专业学科知识与教育学知识的综合教育学知识的综合去理解特定主题的教学是如何去理解特定主题的教学是如何组织、呈现，以适应学生不同兴趣和能力的，即组织、呈现，以适应学生不同兴趣和能力的，即教师在面对特定的教学材料时，如何针对学生的教师在面对特定的教学材料时，如何针对学生的不同兴

21、趣与能力，将学科知识加以组织、调整与不同兴趣与能力，将学科知识加以组织、调整与呈现，以实现教学最优化。呈现，以实现教学最优化。 n 国外国外Carter、Grossman，Cochran等人相关的等人相关的研究中都提到研究中都提到PCK是是“用学生能理解的方法来表用学生能理解的方法来表述学科内容的知识述学科内容的知识” 。PCKPCK的各种界定的各种界定nPCKPCK就是教师开展教学活动时所具有的独特知就是教师开展教学活动时所具有的独特知识，这种知识是识，这种知识是教学内容与教学法的有机融合教学内容与教学法的有机融合，用以说明教师选择特有的教学课题（问题或专用以说明教师选择特有的教学课题（问题

22、或专题）组织教学，以适应学生多种多样的学习兴题）组织教学，以适应学生多种多样的学习兴趣与学习能力。趣与学习能力。nPCKPCK是指教师关于某一特定的数学内容该如何是指教师关于某一特定的数学内容该如何进行表述、呈现和解释，以使学生更进行表述、呈现和解释，以使学生更容易接受容易接受和理解的知识和理解的知识。 数学教师开展有效教学所必须具备的知识分为三类：n（1 1）数学学科知识（）数学学科知识（mathematical mathematical knowledgeknowledge，简称，简称MKMK）；）；n（2 2）一般教学法知识（）一般教学法知识（pedagogical pedagogica

23、l knowledgeknowledge，简称，简称PKPK）; ;n(3)(3)有关数学学习的知识有关数学学习的知识CKCK（content content knowledgeknowledge, ,简称简称CKCK）. .n 学科形态学科形态-PCK-PCK-教育形态教育形态 MPCKMPCK模型图：模型图： 数数学教学教学内容知识学内容知识(MPCK)(MPCK)构成要素分解构成要素分解n数学知识数学知识(MK)v五种存在形态：科学内容的数学知识、课五种存在形态：科学内容的数学知识、课程内容的数学知识、教材内容的数学知识、程内容的数学知识、教材内容的数学知识、教学内容的数学知识和学习内容

24、的数学知教学内容的数学知识和学习内容的数学知识识 ) )vMK 有四个维度：数学观念、有四个维度：数学观念、数学学科内容数学学科内容知识知识、数学思想方法以及数学史知识、数学思想方法以及数学史知识 数学学科内容知识MCKn数学学科内容知识主要包括以下几个方面：n（l）数学内容，即各种事实、概念、原则或法则；n（2）学科内容之间的组织和结构，即众多的事实和概念之间的互相联系；n（3）探究方法，包括一系列设想、证明的法则；n（4）数学文化；n（5）数学与各种社会问题之间的关系；n（6）数学与日常生活的联系与与应用。 PK 有四个维度：n教育观念、n教育理论知识、n课程知识以及n教师的学科内容知识教

25、育观念n教学着力于学生创新精神和实践能力的培养. 改变了教师过于关注学生问题解决能力的培养、轻视学生问题意识和提出问题能力发展的教学观念和行为n 教师应对数学教育形成如下基本认识：教师应对数学教育形成如下基本认识：n 教数学就是要教数学的创新精神，展示数学创新的思想与方法，传授数学创新的事实；n 学数学就是要学数学的创新观念，养成数学的创新意识与能力，掌握数学创新的知识。n 教师不仅需要有强烈的问题探究意识，还必须掌握新课程理念所提倡的启发式教学、探究式教学、合作学习、自主学习等多种教学模式。n（1）教学目的：n 培养学生自主创新意识与实践能力，核心是培养学生的问题意识、提高学生提出问题与解决

26、问题的能力贯穿于教学的全过程.n（2）教学基本原则：n 面向全体学生；n 以提出问题为中心；n 引导学生自主探究、合作学习；n 重视学生数学学习中的情感体验；n 有效地利用现代教育技术辅助教学。教育理论知识n（3）教学与学习理论知识：n 教师要掌握启发式教学、探究式教学、自主学习、合作学习等教学理论知识以及建构主义学习理论、“最近发展区”理论、元认知理论等学习理论知识.n（4）当代主要数学教育理论知识：波利亚解题理论；弗莱登塔尔“再创造”理论；建构主义教学理论，数学“双基”理论。课程知识n 课程知识是在教育中被选择、组织、分配和传递的供学习者学习的知识。它包括以文本的方式体现在课程计划、课程标

27、准和教材中的显性知识，也包括教师没有列入教学计划的隐性知识。n 课程知识是指导教师课程实践的理论基础，不仅影响到教师对课程的理解，同时也规约着教师的教育教学行为。n 课程标准是教师获取课程知识的主要来源之一。 CK 有三个维度n学生发展的知识n学生学习的认知因素与非认知因素知识n学习环境的知识。 学生发展的知识n 教学是以问题为纽带的建构性学习，学生发展知识核心在于学生问题意识的开发。n 问题意识是指个体在一定的情境下提出问题质疑问题变换问题和发展问题的一种自觉的心理状态或思维习惯。n学生良好的问题意识：n构成要素：n数学问题提出能力n数学猜想能力n数学实验能力n数学证明能力n数学拓展与推广能

28、力 学生学习的认知因素n学生学习的认知因素核心：元认知水平、数学认知结构等；n学生学习非智力因素：态度、兴趣、情感等。n教学内容紧扣教学目标、适合学生的认知水平，靠近他们的最近发展区；n教学引起学生广泛的联想和认知冲突，在获取数学知识的同时，体验数学知识形成与发展。学习环境的知识n数学教师的教学水平、教学环境、学习条件等。n 数学教学中,通过问题情境创设,让学生建构自己的知识。n 学生在以“问题”驱动的数学任务中，成为数学问题的发现者、探索者和解决者。n 教师采取以启发式方法为核心的灵活多样的教学方法，有针对性地选择和使用教学策略。 教师的学科内容知识n借鉴Schwab以及Carlsen的分类

29、方法，教师的学科内容知识包括以下三个方面的内容：n本体结构知识，包括学科内的概念、规则、原理、操作及其关系;n句法结构知识，包括对学科的文化、知识来源的解释、对知识使用条件的判断;n实用结构知识，包括不同情境中概念的正确理解与使用、所教内容与生活实践的关系 学科内容知识是教师专业知识中的核心内容之一，是成为一名教师的基础。n 教师的学科内容知识的广度、深度以及贯通度扩展和延伸n 广度：教师不仅要扎实掌握基本的数学学科内容知识，还应掌握它们与自然科学、社会科学之间的联系，以及对于日常生活的功用和关联等更广泛地知识n 深度：数学学科内容知识有效地融入所创设的问题情境中; n 贯通度：数学学科内容知

30、识通过提出数学问题与解决数学问题清楚明白地充分展示给学生。 教师的学科知识有四个维度n1989 年，舒尔曼提出, 教师的学科知识有四个维度: n学科内容知识, 主要是一个领域的事实和概念的知识; n实体性知识, 主要是指将学科的基本概念和原理组织起来以使学科中的事实一体化的各种方式; n句法性知识, 主要是指学科中判断真理与谬误、有效与无效的规则; n关于学科的信念, 主要是指对学科的个人的看法和认识数学教师教学知识结构数学教师教学知识结构优秀数学教师知识结构图优秀数学教师知识结构图（见：黄毅英，许世红数学教学内容知识结构特征与研发举例J数学教育学报2009, (1): 5-9. ）数学教师教

31、学内容知识数学教师教学内容知识MPCKn通俗地说，通俗地说，MPCK是指关于某一特定的数学内是指关于某一特定的数学内容该如何进行表述、呈现和解释，以使学生更容该如何进行表述、呈现和解释，以使学生更容易接受和理解的知识。容易接受和理解的知识。nMPCK是数学教师知识的核心成分，是数学教是数学教师知识的核心成分，是数学教师专业性的重要体现，是教师进行师专业性的重要体现，是教师进行有效教学的有效教学的必要条件必要条件。MPCK教学案例：n案例：一次函数y=kx+b的图像是直线？！n（1）问题的提出：在一次听课中，教师讲解直线y=kx+b，有学生问，为什么一次函数y=kx+b的图像是直线？n（2）分析

32、.在教数学和学数学时，教师需要注意的是：数学不是因为人们的解释才具有这样或那样的性质，数学的本质是客观存在的。如何让学生认识数学本质的客观存在性是关键。这就需要教师具备专业的MPCK,把数学的科学形态转化为教育形态。n具体到这个案例，要想解决学生的疑惑，先从三个方面来剖析。MPCK教学案例：一次函数y=kx+b的图像是直线？！n 从从MKMK的角度的角度. .证明“一次函数y=kx+b的图像是直线”可以采用倾斜角法（或斜率法），即在图像上任取3个不同的点P1(x1,y1),P2（x2,y2),P3(x3,y3),说明由点P1,P2确定的直线P1P2与由点P1P3确定的直线P1P3的倾斜角（或斜

33、率）相等。n 从从PK的角度的角度.在组织教学时，可以采用先由特例出发，探索解决疑问的思路，然后再从一般性的角度加以分析与证明。n 从CK的角度.结合学生的具体认知水平，需要考虑这个问题可以解决到什么层次，学生可能理解到什么程度，即实际教学时，教师教学策略的选择。MPCK教学案例：一次函数y=kx+b的图像是直线？！n（3）MPCK的多层呈现：我们可以得出教师的常规解决该问题的方法.q 一般初中教师的MPCK.在初中数学教师中常见的回答可能是：首先画出几个特例如（y=2x+1,y=6x+4,y=5x-8)的图像，表明它们均是直线，然后再画一些如y=x2+2x-3之类的反例，最后用不完全归纳法给

34、出结论，并要求学生记住结论。 显然，教师的解答并没有解决学生的疑问。这里牵涉两个层面的问题：（a）数学怎么证（知识的科学性）？（b）若这个证明太难，如何给学生一个简易的（但又蕴含数学原理）的解答？有经验的初中教师的MPCK.n 先让初中学生用多描几个点方法感受并猜想一次函数y=2x+1的图像可能是直线，然后探索并理解直线由“点和倾斜角”唯一确定， 接着看看当点P1(1,3)的横坐标变成1+t时，根据函数解析式算得相应的纵坐标变成2（1+t）+1=3+2t.即当1水平方向移动t个单位，3就在垂直方向移动2t个单位，新旧点连线的倾斜角的正切均是2，与t无关。 既然是倾斜角恒不变（在初中教材中，没有

35、出现斜率的概念），因此y=2x+1的图像便是直线。 当然，可以让学生尝试给出一般的一次函数y=kx+b的图像是直线的证明。拓展：高中教师的MPCKn高中学生接触到倾斜角、斜率等基础知识，因此，可以从MK角度直接引导学生解决。解答如下：的图像是直线。的斜率相等，即确定的直线、点与确定的直线、即由点，所以，且从而，均有，、对于不重合的三点bkxyppppppppkkbkxypppii31312121131312121313131312121212333222111x-xy-yx-xy-y,x-xb)(kx-b)(kxx-xy-y,x-xb)(kx-b)(kxx-xy-y1,2,3)(i)y,(x)

36、y,(x)y,(x富有经验的高中教师的MPCKn如果仅仅就题论题的话，上面的解答已经回答了学生的提问。n但是，如何把结论推广到ax+by=c(a,b不同时为零)的图像是一条直线呢？n进一步完善特例a=0或b=0;n再引导y=kx+b与ax+by=c的异同。n结论：n同一个问题：初、高中教师的MPCK（知识经验与教学经验）不同，学生的MK、CK不同，处理的方式就会有很大的不同！MPCK成为数学教师专业发展的新视角成为数学教师专业发展的新视角 对数学教学过程重新认识对数学教学过程重新认识 强调师生交往，构建互动的师生关系、教学强调师生交往，构建互动的师生关系、教学关系，是关系，是数学教学改革数学教

37、学改革的首要任务。的首要任务。 教师与学生教师与学生都是教学过程的主体，在数学教学都是教学过程的主体，在数学教学过程中，强调师生间、学生间的动态信息交流，过程中，强调师生间、学生间的动态信息交流，这种信息包括知识、情感、态度、需要、兴趣、这种信息包括知识、情感、态度、需要、兴趣、价值观等方面以及生活经验、行为规范等，通过价值观等方面以及生活经验、行为规范等，通过这种广泛的信息交流，实现师生互动，相互沟通，这种广泛的信息交流，实现师生互动，相互沟通，相互影响，形成一个真正的相互影响，形成一个真正的“学习共同体学习共同体”。n数学教师角色的转变数学教师角色的转变MPCK成为数学教师专业发展的新视角

38、成为数学教师专业发展的新视角新课程环境下，数学教师角色的转变新课程环境下，数学教师角色的转变 从从“消费者消费者”到到“生产者生产者” 从从“教书匠教书匠”到到“研究员研究员” 从从“点菜者点菜者”到到“菜单提供者菜单提供者” 从从“施教者施教者”到到“引导者引导者” 从从“独奏者独奏者”到到“伴奏者伴奏者”MPCK是数学课堂有效教学形成的重要途径是数学课堂有效教学形成的重要途径n数学教学专业技能发展（从低到高）数学教学专业技能发展（从低到高） 生存技能的发展生存技能的发展 数学教学数学教学课堂管理技能发展；课堂管理技能发展； 关于若干关于若干数学教学模式数学教学模式的知识初步掌握；的知识初步

39、掌握； 数学教学评价可能数学教学评价可能是为了满足外界的需是为了满足外界的需求。求。MPCK是数学课堂有效教学形成的重要途径是数学课堂有效教学形成的重要途径 掌握掌握数学教学的基本技能数学教学的基本技能 数学数学课堂教学技能课堂教学技能的全面掌握的全面掌握 几种数学教学模式运用技能的全面掌握几种数学教学模式运用技能的全面掌握 在部分数学课程中经常尝试使用一定的在部分数学课程中经常尝试使用一定的教学模式教学模式 MPCK是数学课堂有效教学形成的重要途径是数学课堂有效教学形成的重要途径 扩大数学教学伸缩性扩大数学教学伸缩性 自动化的自动化的课堂管理技能课堂管理技能 逐步意识到需要也存在其他一些数学

40、逐步意识到需要也存在其他一些数学教教学模式并开始试验新的数学教学模式学模式并开始试验新的数学教学模式 从众多的数学从众多的数学教学模式中选择，主要是教学模式中选择，主要是为了选用不同的教学模式以保持学生的兴趣为了选用不同的教学模式以保持学生的兴趣 学生评定既有形成性的目的，也有总结学生评定既有形成性的目的，也有总结性的目的；教学技术开始与教学目标相配套。性的目的；教学技术开始与教学目标相配套。MPCK是数学课堂有效教学形成的重要途径是数学课堂有效教学形成的重要途径 获得数学教学专业技能获得数学教学专业技能 课堂管理与教学计划融为一体；很少把课堂课堂管理与教学计划融为一体；很少把课堂 管理当做一

41、个独立的部分加以关注管理当做一个独立的部分加以关注 掌握运用各种数学掌握运用各种数学教学模式的技能教学模式的技能 MPCK是数学课堂有效教学形成的重要途径是数学课堂有效教学形成的重要途径 增进同事的数学教学技能增进同事的数学教学技能 在在课堂教学行为方面具有高水平的专门课堂教学行为方面具有高水平的专门技能技能 对自己的能力、选择以及它们所立足的对自己的能力、选择以及它们所立足的基本基本信仰和价值进行反思信仰和价值进行反思 有能力帮助别的教师获得数学教学专业有能力帮助别的教师获得数学教学专业知识，或者通过有计划的学习经验，如良师计知识，或者通过有计划的学习经验，如良师计划，或者划，或者通过更正式

42、的经验，如在职教育和教通过更正式的经验，如在职教育和教练计划练计划 MPCK是数学课堂有效教学形成的重要途径是数学课堂有效教学形成的重要途径 参与各级水平的教育决策参与各级水平的教育决策 献身于学校改良的目的献身于学校改良的目的 承担有通过一切合法的机会实现学校目标的承担有通过一切合法的机会实现学校目标的 责任责任 有领导能力，不管是正式的或非正式有领导能力，不管是正式的或非正式 的，也的，也 不管是领导校内人士或校外人士不管是领导校内人士或校外人士 有一个庞大的组织，从中可以理解教育系统有一个庞大的组织，从中可以理解教育系统 内各个层级所作出的决定间的相互关系内各个层级所作出的决定间的相互关

43、系 能够获得教育系统内不同层级的不同政策能够获得教育系统内不同层级的不同政策MPCK成为专家学者型教师的必要条件成为专家学者型教师的必要条件n问题讨论 为什么一些教师能成为专家教师？为什么一些教师能成为专家教师？ 专家形成过程专家形成过程积极回应学习与工作环境的积极回应学习与工作环境的行行动研究，通过专家引领，动研究，通过专家引领，有有“专业发展专业发展”自主意识。自主意识。 不断选择以成长机会不断选择以成长机会“最大化最大化”的方式处理任务，的方式处理任务，勇挑重担，能吃苦，在勇挑重担，能吃苦，在“能力极限边缘工作能力极限边缘工作” 不断不断进行科研，发表文章进行科研，发表文章，能坐下冷板凳

44、。，能坐下冷板凳。 经历从职初教师到有经验教师、再到专家教师的经历从职初教师到有经验教师、再到专家教师的成长历程。成长历程。MPCK成为数学教师专业发展的新视角成为数学教师专业发展的新视角 成为成为专家数学教师专家数学教师，他们的学习与创新呈现四种，他们的学习与创新呈现四种基本行动方式：基本行动方式： 听中学、听中学、 做中学、做中学、 听懂的东西做出来、听懂的东西做出来、 做好的东西说出来。做好的东西说出来。（发表出来）（发表出来） 由此处理知识与经验、理性思考与行为改善的互由此处理知识与经验、理性思考与行为改善的互动关系。动关系。MPCK成为数学教师专业发展的新视角成为数学教师专业发展的新

45、视角 核心结论：教师的知识组成包括学科的系统核心结论：教师的知识组成包括学科的系统知识和该学科的教学知识两个方面，知识和该学科的教学知识两个方面，专家数学教专家数学教师的教学知识师的教学知识基于对基于对学科知识的通透理解，具有学科知识的通透理解，具有深度、宽度和完整度深度、宽度和完整度。数学教师教育中数学教师教育中MPCK发展的缺失发展的缺失n数学教师教育中的两种倾向：数学教师教育中的两种倾向：n一种一种侧重于一般教学法的培训侧重于一般教学法的培训；n另一种另一种侧重于纯粹学科内容的培训侧重于纯粹学科内容的培训。n数学教师教育中数学教师教育中MPCK发展：数学学科知识；一般教发展：数学学科知识

46、；一般教学法知识和有关数学学习的知识的有机整合。学法知识和有关数学学习的知识的有机整合。n优秀数学教师优秀数学教师MPCK：数学内容知识丰富；数学教学：数学内容知识丰富；数学教学法知识灵活；教学内容知识（包括有关数学学习的知法知识灵活；教学内容知识（包括有关数学学习的知识）多样。识）多样。数学教学：教师要实现由数学教学：教师要实现由MK向向MPCK转化转化n数学知识一般包括：数学知识一般包括：n数学本体性知识数学本体性知识 ；n本体性知识的组织结构的知识本体性知识的组织结构的知识 ；n数学背景的知识数学背景的知识 。特定数学教学内容的特定数学教学内容的MPCK的两个方面：的两个方面： （1）特

47、定数学内容与教学联合的知识，）特定数学内容与教学联合的知识，包括：包括：怎样按有意义的顺序来组织和呈现数学内容？怎样按有意义的顺序来组织和呈现数学内容？为了促进学生的理解应该提供哪种或哪些形式为了促进学生的理解应该提供哪种或哪些形式的表达方式（解释、图形、符号、情境和操作的表达方式（解释、图形、符号、情境和操作等）？等）？ （2）特定数学内容与学生联合的知识）特定数学内容与学生联合的知识，包括：，包括：学生在特定数学内容的学习中会遇到什么困难？学生在特定数学内容的学习中会遇到什么困难？ 学生有哪些看法或误解？学生有哪些看法或误解？ 教师所使用的教学方法是怎样处理学生的困难教师所使用的教学方法是

48、怎样处理学生的困难和误解的？和误解的？ 由由MK向向MPCK转化：转化：关于完全平方公式的表征方关于完全平方公式的表征方式式p让学生利用刚学过的多项式乘多项式让学生利用刚学过的多项式乘多项式法则计算；法则计算；(符号表征符号表征) p总结公式的特征：首平方，尾平方，总结公式的特征：首平方，尾平方，首尾乘积两倍加在中央；首尾乘积两倍加在中央； (语言表征语言表征)p用下图并要求学生发现大正方形以及用下图并要求学生发现大正方形以及四个小矩形的面积，由此引导他们去得四个小矩形的面积，由此引导他们去得到所要的关系到所要的关系 ；（图形表征）（图形表征）babab2ababa2n让学生使用计算机程序求当

49、（让学生使用计算机程序求当（a, b）分别取几组数值时，）分别取几组数值时， 和和 的值，然后引导他们去发现所求的关系的值，然后引导他们去发现所求的关系 ；（操（操作表征）作表征）n让学生解决以下的情景问题：有一位老奶奶很喜欢小孩子，每让学生解决以下的情景问题：有一位老奶奶很喜欢小孩子，每次孩子们到她家，她都会给他们一些糖，她给自己立了一个规次孩子们到她家，她都会给他们一些糖，她给自己立了一个规定：每次有多少孩子去，就会给每个孩子同样数目的糖（如有定：每次有多少孩子去，就会给每个孩子同样数目的糖（如有五个孩子就给每个孩子五颗糖）。现在有五个孩子就给每个孩子五颗糖）。现在有a个男孩子和个男孩子和

50、b个女孩个女孩子准备要去老奶奶家，这些孩子在商量是分开去（子准备要去老奶奶家，这些孩子在商量是分开去（ a个男孩子个男孩子一起和一起和b个女孩子一起）还是一起去所得的糖会多一些？多多个女孩子一起）还是一起去所得的糖会多一些？多多少？请你帮他们解决这一问题。由此引导他们去发现所求的关少？请你帮他们解决这一问题。由此引导他们去发现所求的关系。系。（情景表征）（情景表征） 2)(ba222baba数学教师数学知识向数学教学知识转化的实质数学教师数学知识向数学教学知识转化的实质n从从建构主义理论建构主义理论角度来看：角度来看：数学教师知识转化数学教师知识转化的过程即是教师教学认知图式建构的过程；的过程

51、即是教师教学认知图式建构的过程；n从从知识整合理论知识整合理论的角度来看：的角度来看：数学教师知识数学教师知识转化的过程是在其所拥有的数学知识的基础上整转化的过程是在其所拥有的数学知识的基础上整合其它类型的知识的过程；合其它类型的知识的过程；n从从默会知识理论默会知识理论的角度来看：的角度来看：数学教师知识数学教师知识转化的过程是显性知识向隐性知识转化的过程。转化的过程是显性知识向隐性知识转化的过程。建构主义认识论的核心观点：建构主义认识论的核心观点：n认识并非主体对于客观实在的简单的、被动的认识并非主体对于客观实在的简单的、被动的反应反应(镜面式反映镜面式反映)，而是一个主动建构的过程，而是

52、一个主动建构的过程，这就是说，知识是主体与客体相互作用的过程这就是说，知识是主体与客体相互作用的过程中所建构出来的。中所建构出来的。n在建构的过程中主体已有的认知结构发挥了特在建构的过程中主体已有的认知结构发挥了特别重要的作用，建构必须基于一定的结构基础，别重要的作用，建构必须基于一定的结构基础，而通过建构，结构也得以不断地发展。而通过建构，结构也得以不断地发展。n教材只是师生共同建构的素材教材只是师生共同建构的素材，是引起学生认知、是引起学生认知、分析、批判和建构知识的中介。分析、批判和建构知识的中介。知识整合理论的核心观点：知识整合理论的核心观点：nLinn & His在在 200

53、0年具体分析了知识整合的过程，认为它年具体分析了知识整合的过程，认为它包括以下五个阶段：包括以下五个阶段：Identifying weaknesses（识别不足）识别学习者知识的（识别不足）识别学习者知识的不足；不足；Adding ideas（增加新的知识）增加新的知识到他们的认（增加新的知识）增加新的知识到他们的认知系统中；知系统中；Linking ideas（链接各知识）建立新知识与已有知识各成（链接各知识）建立新知识与已有知识各成分之间的链接；分之间的链接；Distinguishing ideas （区别各知识）区别新知识与已有（区别各知识）区别新知识与已有知识的异同；知识的异同；Rec

54、onciling ideas（协调各知识）协调该知识与已有知识（协调各知识）协调该知识与已有知识相矛盾的地方。相矛盾的地方。 教师知识整合模型教师知识整合模型:数学知识数学知识一般教学知识一般教学知识关于学生的知识关于学生的知识关于数学课程和教关于数学课程和教材的知识材的知识关于教学情景的关于教学情景的知识知识数学教学知识数学教学知识默会知识论的主要观点：默会知识论的主要观点：很难用言语、文字或符号进行系统表述（很难用言语、文字或符号进行系统表述（关于自身行为的一种产生关于自身行为的一种产生性知识，隐性知识）性知识，隐性知识）非正规数学经验、数学精神、活动经验、数学直觉非正规数学经验、数学精神

55、、活动经验、数学直觉 具有具有情境性、非逻辑性、个人性、迁移性情境性、非逻辑性、个人性、迁移性缄默知识就像是场缄默知识就像是场，知识就像是场中运动的粒子，场激发着粒子运，知识就像是场中运动的粒子，场激发着粒子运动。动。情境与认知、活动与过程、感悟与体会情境与认知、活动与过程、感悟与体会教学中：情景性体验、互动中体验、想象中体验、实践中体验。教学中：情景性体验、互动中体验、想象中体验、实践中体验。数学教师数学知识向数学教学知识转化的数学教师数学知识向数学教学知识转化的过程结构过程结构n舒尔曼（舒尔曼（L.S.shulman)L.S.shulman)学科知识向学科教学学科知识向学科教学知识转化三阶

56、段说：理解知识转化三阶段说：理解表征表征适应。适应。n数学教师知识转化的过程结构数学教师知识转化的过程结构： 数学知识数学知识MKMK理解理解表征（教学任务表征（教学任务的运用、表征的形式、表征的目的、对教科的运用、表征的形式、表征的目的、对教科书中任务的调整）书中任务的调整）适应（表征对学生的适应（表征对学生的关注、表征对数学本质的关注）关注、表征对数学本质的关注）数学教数学教学内容知识学内容知识MPCKMPCK数学教师数学教师MPCK发展的策略发展的策略1：加强专业知识和教育教学理：加强专业知识和教育教学理论学习论学习n专业知识学习专业知识学习：加强进修、不断进行知识更新，防止知：加强进修

57、、不断进行知识更新，防止知识遗忘和老化。识遗忘和老化。n吃透课程与教材：吃透课程与教材：以概念图为载体构建知识网络，深化以概念图为载体构建知识网络，深化理解理解 n利用概念图（利用概念图（1 1）可实现数学认知结构的内化；）可实现数学认知结构的内化； 可促进可促进对数学知识的深刻理解；对数学知识的深刻理解； 可减少教师的认知负荷可减少教师的认知负荷 ；可；可实现知识图式的建构实现知识图式的建构n教育教学理论学习教育教学理论学习：关注教育教学理论最新进展，并勇：关注教育教学理论最新进展，并勇于实践。于实践。 数学教师数学教师MPCK的发展策略的发展策略2：校本培训校本培训n 从教师专业发展角度看

58、，教师的成长离不从教师专业发展角度看，教师的成长离不开教育教学实践，如果抛开学校去谈发展或成开教育教学实践，如果抛开学校去谈发展或成长，那就失去了发展的基石和依托。长，那就失去了发展的基石和依托。 教师的发展只能在学校中、在具体的实践教师的发展只能在学校中、在具体的实践中、对在自身实践的不断反思中才能完成。教中、对在自身实践的不断反思中才能完成。教师在师在“培训反思实践再培训再反思培训反思实践再培训再反思再实践再实践” 的过程中完成从的过程中完成从“经验性知识向理经验性知识向理论性知识的转化论性知识的转化”，从，从“教书匠教书匠”的形象向的形象向“研究型研究型”、“专家型专家型”教师形象的转变

59、。教师形象的转变。数学教师数学教师MPCK的发展策略的发展策略3：终身教育终身教育 基本理念基本理念 终身教育终身教育 以实践性知识为重心以实践性知识为重心 培养专家型教师培养专家型教师 在实践中成长在实践中成长数学教师数学教师MPCK的发展策略的发展策略4：案例研究：案例研究 走向专家型教师走向专家型教师M2M2：教育研究方法：教育研究方法科研论文的写作科研论文的写作教育实验设计教育实验设计教育行动研究教育行动研究教学经验的概念化教学经验的概念化M4M4：课程改革前沿信息：课程改革前沿信息当前我国课程改革信息当前我国课程改革信息学科改革的总体思路学科改革的总体思路中考与高考的改革思路中考与高

60、考的改革思路M1M1：课程与教学理论：课程与教学理论课程理论流派课程理论流派教学理论流派教学理论流派素质教育的理论与实践素质教育的理论与实践M3M3：课程开发与教学策略：课程开发与教学策略课程开发技术课程开发技术有效教学策略有效教学策略反思性教学反思性教学 案例案例数学教师数学教师MPCK的发展策略的发展策略5：反思性实践反思性实践教学前反思教学前反思具有前瞻性，能使教学成为具有前瞻性，能使教学成为一种自觉的实践，并有效地提高教师的教学一种自觉的实践，并有效地提高教师的教学预测和分析能力；预测和分析能力；教学中反思教学中反思及时、自动地在行动过程中及时、自动地在行动过程中反思，具有监控性，能使教学高质