奶制品的生产与销售[1]

1、第四章 数学规划模型 4.1 奶制品的生产与销售 规划模型 目标函数 决策变量 约束条件 生产计划背景 空间层次：工厂级要根据外部需求和内部设备、人力、原料等条件，以最大利润为目标制订产品的生产计划，车间级根据产品生产计划、工艺流程、资源约束及费用参数，以最小成本为目标制订生产作业计划 时间层次：若在短时间内认为外部需求和内部资源等不随时间变化，可制订单阶段生产计划，否则就要制订多阶段生产计划。 例例1 加工奶制品的生产计划加工奶制品的生产计划1桶牛奶 3公斤A1 12小时 8小时 4公斤A2 或获利24元/公斤 获利16元/公斤 50桶牛奶桶牛奶 时间时间480小时小时 至多加工至多加工10

2、0公斤公斤A1 制订生产计划，使每天获利最大制订生产计划，使每天获利最大 35元可买到元可买到1桶牛奶，买吗？若买，每天最多买多少桶牛奶，买吗？若买，每天最多买多少? 可聘用临时工人，付出的工资最多是每小时几元可聘用临时工人，付出的工资最多是每小时几元? A1的获利增加到的获利增加到 30元元/公斤，应否改变生产计划？公斤，应否改变生产计划？ 每天：每天：1桶牛奶 3公斤A1 12小时 8小时 4公斤A2 或获利24元/公斤 获利16元/公斤 x1桶牛奶生产桶牛奶生产A1 x2桶牛奶生产桶牛奶生产A2 获利获利 243x1 获利获利 164 x2 原料供应原料供应 5021 xx劳动时间劳动时

3、间 48081221 xx加工能力加工能力 10031x决策变量决策变量 目标函数目标函数 216472xxzMax每天获利每天获利约束条件约束条件非负约束非负约束 0,21xx线性线性规划规划模型模型(LP)时间时间480小时小时 至多加工至多加工100公斤公斤A1 50桶牛奶桶牛奶 每天每天5021 xx48081221 xx10031x0,21xx约约束束条条件件50:211 xxl480812:212 xxl1003:13xl0:, 0:2514xlxl目标目标函数函数 216472xxzMax模型求解模型求解 图解法图解法 x1x20ABCDl1l2l3l4l5Z=0Z=2400Z=

4、3600z=c (常数常数) 等值线等值线c在在B(20,30)点得到最优解点得到最优解目标函数和约束条件是线性函数目标函数和约束条件是线性函数 可行域为直线段围成的凸多边形可行域为直线段围成的凸多边形 目标函数的等值线为直线目标函数的等值线为直线 最优解一定在凸多边最优解一定在凸多边形的某个顶点取得。形的某个顶点取得。 模型求解模型求解 软件实现软件实现 LINGO 9.0程序：程序：max=72*x1+64*x2;x1+x250;12*x1+8*x2480;3*x1100;end OBJECTIVE FUNCTION VALUE 1) 3360.000 VARIABLE VALUE RED

5、UCED COST X1 20.000000 0.000000 X2 30.000000 0.000000 ROW SLACK OR SURPLUS DUAL PRICES 2) 0.000000 48.000000 3) 0.000000 2.000000 4) 40.000000 0.000000 NO. ITERATIONS= 220桶牛奶生产桶牛奶生产A1, 30桶生产桶生产A2，利润，利润3360元。元。 结果解释结果解释 原料无剩余原料无剩余时间无剩余时间无剩余A1加工能力剩余加工能力剩余40三三种种资资源源“资源资源” 剩余为零的约剩余为零的约束束为紧约束（有效约束）为紧约束（有

6、效约束） max=72*x1+64*x2;x1+x250;12*x1+8*x2480;3*x1100;end与图解法结论一致与图解法结论一致 注注目标函数看作效益，成为目标函数看作效益，成为 “紧约束紧约束” 的的资源一旦增加，效益必然跟着增长。资源一旦增加，效益必然跟着增长。“dual prices”给出最优解下给出最优解下“资源资源”增加增加1单位时单位时“效益效益”的增量的增量 原料增加原料增加1单位单位, 利润增长利润增长48 时间增加时间增加1单位单位, 利润增长利润增长2 加工能力增长不影响利润加工能力增长不影响利润影子（对偶）价格影子（对偶）价格 35元可买到元可买到1桶牛奶，要

7、买吗？桶牛奶，要买吗？35 48, 应该买！应该买！ 聘用临时工人付出的工资最多每小时几元？聘用临时工人付出的工资最多每小时几元？ 2元！元！在约束条件不变的情况下，最优解不变时目标函数在约束条件不变的情况下，最优解不变时目标函数系数允许变化范围系数允许变化范围 ？假设约束条件不变，目标函数的系数发生变化，最假设约束条件不变，目标函数的系数发生变化，最优解和最优值会改变吗？优解和最优值会改变吗？由图解法，只要等值线族的斜率介于由图解法，只要等值线族的斜率介于L1与与L2的斜率的斜率之间，最优解不改变。之间，最优解不改变。 x1系数范围系数范围(48,72) A1获利增加到获利增加到 30元元/

8、千克，应否改变生产计划千克，应否改变生产计划 ？x1系数由系数由24 3=72增加增加为为30 3=90，在，在允许范围内允许范围内 不变！不变！(64,96)x2系数范围系数范围结果解释结果解释 影子价格有意义时约束右端的允许变化范围影子价格有意义时约束右端的允许变化范围 原料最多增加原料最多增加10 时间最多增加时间最多增加53 35元可买到元可买到1桶牛奶，每天最多买多少？桶牛奶，每天最多买多少？ 最多买最多买10桶桶!1 (目标函数不变目标函数不变)接下来接下来 用同样的方法分析解释例用同样的方法分析解释例2例例2 奶制品的生产销售计划奶制品的生产销售计划 在例在例1基础上深加工基础上

9、深加工1桶桶牛奶牛奶 3千克千克A1 12小时小时 8小时小时 4公斤公斤A2 或或获利获利24元元/公斤公斤 获利获利16元元/公斤公斤 0.8千克千克B12小时小时,3元元1千克千克获利获利44元元/千克千克 0.75千克千克B22小时小时,3元元1千克千克获利获利32元元/千克千克 制订生产计划，使每天净利润最大制订生产计划，使每天净利润最大 30元可增加元可增加1桶牛奶，桶牛奶，3元可增加元可增加1小时时间，应否投小时时间，应否投资？现投资资？现投资150元，可赚回多少？元，可赚回多少？50桶牛奶桶牛奶, 480小时小时 至多至多100公斤公斤A1 B1，B2的获利经常有的获利经常有1

10、0%的波动，对计划有无影响？的波动，对计划有无影响？1桶桶牛奶牛奶 3千克千克 A1 12小时小时 8小时小时 4千克千克 A2 或或获利获利24元元/千克千克 获利获利16元元/kg 0.8千克千克 B12小时小时,3元元1千克千克获利获利44元元/千克千克 0.75千克千克 B22小时小时,3元元1千克千克获利获利32元元/千克千克 出售出售x1 千克千克 A1, x2 千克千克 A2， x3千克千克 B1, x4千克千克 B2原料原料供应供应 劳动劳动时间时间 加工能力加工能力 决策决策变量变量 目标目标函数函数 利润利润约束约束条件条件非负约束非负约束 0,61xx x5千克千克 A1

11、加工加工B1， x6千克千克 A2加工加工B26543213332441624xxxxxxzMax50436251xxxx48022)(2)(4656251xxxxxx10051 xx附加约束附加约束 5380 x.x64750 x.x 模型求解模型求解 软件实现软件实现 LINGO 9.0 OBJECTIVE FUNCTION VALUE 1) 3460.800 VARIABLE VALUE REDUCED COST X1 0.000000 1.680000 X2 168.000000 0.000000 X3 19.200001 0.000000 X4 0.000000 0.000000 X

12、5 24.000000 0.000000 X6 0.000000 1.520000ROW SLACK OR SURPLUS DUAL PRICES 2) 0.000000 3.160000 3) 0.000000 3.260000 4) 76.000000 0.000000 5) 0.000000 44.000000 6) 0.000000 32.000000 NO. ITERATIONS= 2结果解释结果解释每天销售每天销售168 千克千克A2和和19.2 千克千克B1，不出售，不出售A1和和B2，利润利润3460.8（元）（元）8桶牛奶加工成桶牛奶加工成A1，42桶桶牛奶加工成牛奶加工成A2，将得到的将得到的24千克千克A1全部全部加工成加工成B1 除加工能力外均为紧约束除加工能力外均为紧约束结果解释结果解释增加增加1桶牛奶使利润增桶牛奶使利润增长长3.1612=37.925043)26251xxxx600334) 26521xxxx4增加增加1小时时间使利小时时间使利润增长润增长3.26 30元可增加元可增加1桶牛奶，桶牛奶，3元可增加元可增加1小时时间，小时时间，应否投资？现投资应否投资？现投资150元，可赚回多少？元，可赚回多少？投资投资150元元增加增加5桶牛奶桶牛奶，可赚回可赚回189.6元元。（大于增加。（大于增加时间的利润增长）时间的利