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1、仅供个人参考For personal use only in study and research; not for commercial use一、容斥问题容斥问题即包含与排斥问题,它是一种计数问题。在计数时,几个计数部分有重复包含时,为了不重复计数,应从他们的和中排除重复部分,采用这种计数方法的题型称为容斥问题。二、题目特点题目中给出多个概念,概念之间存在交叉关系。三、常考题型1、二者容斥问题公式:覆盖面积=A+B-A 与 B 的交集例 1: 大学四年级某班有50 名同学,其中奥运会志愿者10 人,全运会志愿者17 人,30 人两种志愿者都不是,则班内是全运会志愿者且奥运会志愿者的同学是多
2、少?A.6 B.7 C.8 D.9解析:两个概念分别的奥运会志愿者和全运会志愿者,设班内是全运会志愿者且奥运会志愿者的同学有 X 人,则有 10+17-X+30= 50, 所以 X=7, 即班内是全运会志愿者且奥运会志愿者的同学有 7 人。2. 三者容斥问题公式:覆盖面积=A+B+C-两者交 -2 ×三者交例 2: 某调查公司对甲、乙、丙三部电影的收看情况向125 人进行调查,有89 人看过甲片,有47 人看过乙片,有63 人看过丙片,其中有24 人三部电影都看过,20 人一部也没有看过,则只看过其中两部电影的人数是多少人?A、69 B 、65 C、57 D 、46不得用于商业用途仅
3、供个人参考解析:三个概念分别是甲片、乙片、丙片,假设只看过其中两部电影的人数有X 人,则 89+47+63-X-2 × 24+20=125. 所以 X=46. 即只看过其中两部电影的人数有46 人。3. 容斥极值问题容斥极值最常考的就是容斥交集的最小值,我们可以套用公式解决。( A B) =A+B-I ( I 表示全集)( A B C) =A+B+C-2I( A B C D) =A+B+C+D-3I例 3: 小明、小刚、小红、小英四人一起参加一次英语考试,已知考试共有100 道题,且小明做对了 79 题,小刚做对了 88题,小红做对了91 题,小英作对了89.问题:小明和小刚都最对的
4、题目至少有几题?小明、小刚、小红都最对的题目至少有几题?小明、小刚、小红、小英四人最对的题目至少有几题?解析:小明和小刚都最对的题目至少有79+88-100=67 人小明、小刚、小红都最对的题目至少有79+88+91-2 × 100=58 人小明、小刚、小红、小英四人最对的题目至少有79+88+91+89-3 × 100=47 人。不得用于商业用途仅供个人参考仅供个人用于学习、研究;不得用于商业用途。For personal use only in study and research; not for commercial use.Nur f ü r den p
5、ers?nlichen fü r Studien, Forschung, zu kommerziellen Zwecken verwendet werden.Pour l 'é tude et la recherche uniquementà des fins personnelles; pases fins commercialesàd. , .以下无正文For personal use only in study andresearch; not for commercial use不得用于商业用途仅供个人参考仅供个人用于学习、研究;不得用于商业用途。For personal use only in study and research; not for commercial use.Nur f ü r den pers?nlichen fü r Studien, Forschung, zu kommerziellen Zwecken verwendet werden.Pour l ' é tude et la recherche
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