朝阳高三一模数学卷(理科)(有答案)

1、北京市朝阳区高三年级第数学（理工类）2015.4（考试时间120分钟满分150分）本试卷分为选择题（共40分）和非选择题（共110分）两部分共40分）40分.在每小题给出的四个选项中，选出第一部分（选择题、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共符合题目要求的一项.1.已知集合A.一21,2,m,B1,m.右BA,A.0B.2C.0或2D.1或22.已知点A(1,y0)（V。0）为抛物线2pxp0上一点.若点A到该抛物线焦点的距离为3,则V0B.C. 2.2D. 43.在ABC中，若cosBBC 6，则 ACA.4.24. “ x R,x2ax0成立”是2”的开始A .充分必要条件C .充分而不

2、必要条件b.必要而不充分条件D.既不充分也不必要条件5.某商场每天上午10点开门，晚上19点停止进入.在如图所示的框图中，t表示整点时刻，a（t）表示时间段t1,t）内进入商场人次，S表示某天某整点时刻前进入商场人次总和，为了统计某天进入商场的总人次数，则判断框内可以填A.17?B.t19?C.18?D.18?6 .设x，”,X3均为实数，且x1log 2(x11)，J啕3-X31 3log 2 X3 贝UA. x1 x3 x27 .在平面直角坐标系中,uuur uuu uurOP OA kOB (kB. x3 x2 为O为坐标原点,uuuR),则 OPC.已知两点SD. x2 x1x3A(1

3、,0) , B(1,1),且 BOP 90o .设A.1B.C.2D.2228.设集合M=(xo,yo)xo2yo220,x0Z,y°Z，则M中元素的个数为A.61B.65C.69第二部分(非选择题共110分)二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.把答案填在答题卡上.1.1 为虚数单位，计算_.1i10 .设Sn为等差数列an的前n项和.若a3%3,&1,则通项公式an=.11 .在极坐标中，设0,0271,曲线2与曲线sin2交点的极坐标为.12 .已知有身穿两种不同队服的球迷各有三人，现将这六人排成一排照相，要求身穿同一种队服的球迷均不能相邻，则不同的排法种数

4、为(用数字作答)2xy0,13 .设z3xy,实数x,y满足2xy0,其中t0.若z的最大值为5,则实数t的0yt,值为,此时z的最小值为.14 .将体积为1的四面体第一次挖去以各棱中点为顶点的构成的多面体，第二次再将剩余的每个四面体均挖去以各棱中点为顶点的构成的多面体，如此下去，共进行了n(nN)次.则第一次挖去的几何体的体积是;这n次共挖去的所有几何体的体积和是三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程15.(本小题满分13分)已知函数f(x)cos2xJ3sinxcosx,xR.(I)求f(x)的最小正周期和单调递减区间；(n)设xm(mR)是函数yf(

5、x)图象的对称轴，求sin4m的值.16 .(本小题满分13分)如图所示，某班一次数学测试成绩的茎叶图和频率分布直方图都受到不同程度的污损,60,70 , 70,80 , 80,90 , 90,100.其中，频率分布直方图的分组区间分别为50,60,据此解答如下问题.(I)求全班人数及分数在80,100之间的频率；(n)现从分数在80,100之间的试卷中任取3份分析学生失分情况，设抽取的试卷分数在90,100的份数为X,求X的分布列和数学期望.如图，正方形ADEF与梯形ABCD所在平面互相垂直,已知 ABCD,AD CD ，1ABADCD.2(I)求证：BF/平面CDE;(n)求平面BDF与平

6、面CDE所成锐二面角的余弦值(m)线段EC上是否存在点M，使得平面BDM平面BDF?若存在，求出EM的值；若不存在，说明理由.EC18 .(本小题满分13分)2x_已知函数f(x)alnx(a1)x,aR.2(1) 当a1时，求函数f(x)的最小值；(n)当a1时，讨论函数f(x)的零点个数.19 .(本小题满分14分)22已知椭圆C:xr41(ab0)的一个焦点为a2b2F(2,0),离心率为出.过焦点F的直线l与椭圆C交于A,B两点，线段AB中点为D,3O为坐标原点，过O,D的直线交椭圆于M,N两点.(I)求椭圆C的方程；(n)求四边形AMBN面积的最大值.20.(本小题满分13分)若数列

7、an中不超过f(m)的项数恰为bm(mN),则称数列bm是数列aj的生成数列，称相应的函数f(m)是an生成bm的控制函数.设f(m)m2.(I)若数列4单调递增，且所有项都是自然数，b1,求a1；(n)若数列an单调递增，且所有项都是自然数，a1",求a1；(出)若an2n(n1,2,3L),是否存在bm生成的控制函数g(n)pn2qnr(其中常数p,q,rZ)?使得数列an也是数列bm的生成数列？若存在，求出g(n)；若不存在，说明理由.北京市朝阳区高三年级第一次综合练习数学答案(理工类)2015.4、选择题(满分40分)题号12345678答案CCBADABC、填空题(满分30

8、分)题号91011121314答案7211n;1()22解：(I)由已知，函数 f(x)cos2 x . 3sin xcosx函数f (x)的最小正周期为当 2kTt - 2x - 2k %261 2(1cos2x)sin(2xT 兀.3+ sin 2x21.22时(k Z ),即kH -x k计立时，函数3f(x)为减函数.即函数f(x)的单调减区间为.9(n )由x m是函数yf(x)图象的对称轴，则2mk Z 则 4m 2k一.则 sin4m32.1吩(注：两空的填空，第一空3分，第二空2分)三、解答题(满分80分)15.(本小题满分13分)16.(本小题满分13分)解：(I )由茎叶图

9、可知，分布在50,60)之间的频数为4,由直方图频率为0.0125 10 0.125,4所以全班人数为0.12532人.所以分数在80,100之间的人数为32-(4+8+10)= 10人.分数在80,100之间的频率为 笆0.312532(n)由(I)知，分数在 80,100之间的有10份，分数在90,100之间的人数有0.0125创1032=4 份,由题意,的取值可为0,1,2,3.C3P(X 0) C3C10P(X1)c4c：Ci30P(X2)誉率P(X3)CCi301300123所以随机变量X的分布列为.1吩,，、一11316随机变量X的数学期望为EX011123-621030517.(

10、本小题满分14分)解：(I)因为ABCD,AB平面CDE,CD平面CDE,所以AB平面CDE,同理，AF平面CDE,又ABIAFA,所以平面ABF/平面CDE,因为BF平面ABF,所以BF/平面CDE.4分(n)因为平面ADEF人平面ABCD,平面ADEFI平面ABCD=AD,CDAAD,CD1平面ABCD,所以CDa平面adef.又DEi平面ADEF，故CDaED.而四边形ADEF为正方形，所以ADaDE又ADaCD,以D为原点，DA,DC,DE所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系Dxyz.设AD1,则D(0,0,0),B(1,1,0),F(1,0,1),C(0,2,0),E(

11、0,0,1)，取平面CDE的一个法向量uurDA (1,0,0)，设平面BDF的一个法向量n(x,y,z),ULUI1,所以 n (1, 1, 1).则nDBr0,即xy0,令x1,则yznDF0xz0设平面BDF与平面CDE所成锐二面角的大小为uur13.吩则cos|cosDA,n|所以平面BDF与平面CDE所成锐二面角的余弦值是立.(出)若M与C重合，则平面BDM(C)的一个法向量m0=(0,0,1)，由(n)知平面BDF的一个法向量n = (1,- 1,- 1),则m0?n =1? 0 ,则此时平面 BDF与平面BDM不垂直.若M与C不重合，如图设EMEC(0?入1),则M (0,2 ,

12、1),设平面BDM的一个法向量 m (x0,yo,zo),ullim DB 0x0y00人则 LULUI ，即 c IA ，令 x01 ,则 yom DM 02 y0(1 )z0021,z0 丁所以 m (1, 1,), 1若平面BDF 平面BDM等价于m n 0 ,即1 1 -2 0,所以 1所以，EC上存在点M使平面BDF 平面BDM，且EM 1. EC 20,1.1分18.(本小题满分13分)解：(I)函数f(x)的定义域为x x 02X当 a 1 时，f(x) Inx .f (x)21X2 1 (x 1)(x 1)一 X X XX由(x 1)(x 1)X0 (x> 0)解得 X

13、1 ；由(x 1)(X 1)0 (x> 0)解得 0x1.所以f(x)在区间(0,1)单调递减，在区间(1,)单调递增.吩所以X1时，函数f(x)取得最小值f(1)1.2(n)f(x)(x1)(xa),x0.X(1)当a0时，x(0,1)时，f(x)0,f(x)为减函数；x(1,)时，f(x)0,f(x)为增函数.所以f(x)在x1时取得最小值f(1)a1.2)上2(i)当a0时，f(x)x,由于x0,令f(x)=0,x=2,则f(x)在(0,2有一个零点；1一.(11)当a万时，即f(1)0时，f(x)有一个零点；1.一,(in)当aa时，即f(1)0时，f(x)无零点.1.(iv)当

14、-a0时，即f(1)0时，由于x0(从右侧趋近0)时，f(x);x时，f(X)所以f(x)有两个零点.(2)当0a1时，x(0,a)时，f(x)0,f(x)为增函数；x(a,1)时，f(x)0,f(x)为减函数；x(1,)时，f(x)0,f(x)为增函数.所以f(x)在Xa处取极大值，f(x)在X1处取极小值.1 212f(a)alnaa(a1)aaInaaa.2 2当0a1时，f(a)0,即在x(0,1)时，f(x)0.而f(x)在X(1,)时为增函数，且X时，f(X)所以此时f(x)有一个零点.上恒成立，所以f(x)为增函数.；X 时，f(x) .当a1时，f(x)(X1)0在0,x且X0

15、(从右侧趋近0)时，f(X)所以f(x)有一个零点1.一一.1.一,1综上所述，0a1或a-时f(x)有一个手点；a一时，f(x)无手点；一a222f(x)有两个零点19.(本小题满分14分)解：(I)由题意可得0.1吩c2,ca2a。6解得a声，b72,3b2故椭圆的方程为.4分（H）当直线l斜率不存在时A,B的坐标分别为（2,乂6）3(2,),|MN|2J6,3四边形1AMBN面积为2|MN|AB|4.当直线l斜率存在时，设其方程为yk(x2),点A(X1,y),B(X2,y2),M(X3,y3),N(X3,y3),点M,N到直线的距离分别为di，d2,则四边形AMBN面积为SAMBN1-

16、|AB|(d1d212X由7y2y2k(x1,得(12),223k)x212kx212k60,则X112kX2213kXX212k2613k2'所以|AB|.(1k2)(xX2)24为X22,6(1k2)213k因为y1y2k(x1x24k4)2,13k2所以AB中点D（6k22k13k2,13k0时,直线OD方程为x3ky0,X由X263ky2y20,解得1,X33ky3,y2213k2所以Sa,MBN131ABi(d1d2)4H13k当k0时，四边形AMBN面积的最大值SambnAIVIBN=2>/6?&4/3.综上四边形AMBN面积的最大值为473.14分20.（本

17、小题满分13分）解：(I)若b1,因为数列an单调递增，所以ai12,又ai是自然数，所以&0或1.2分(n)因为数列an的每项都是自然数，若4012,则h1,与3h矛盾；若a2,则因an单调递增，故不存在an12,即b10,也与3D矛盾.当a1时，因%单调递增，故n2时，an1,所以h1,符合条件，所以，现1.6分(出)若an2n(n1,2,L),则数列an单调递增，显然数列bm也单调递增,212由anm,即2nm,得n-m,12所以，bm为不超过2m的最大整数，*212212当m=2k-1(k?N)时，因为2k2k-m2k2k-2k2k122'所以bm2k22k；当m=2k(k?N,4,；m22k2,所以，bm2k2.?2k2-2k,m=2k-1(k?N)综上，bm=；2*,?2k2,m=2k(k?N)2-bm =即当m>0且m为奇数时，bm=m一1；当m>0且m为偶数时,2若数列an是数列bm的生成数列，且bm生成an的控制函数为g(n),则bm中不超