章节名称矩阵的运算

1、章节名称：矩阵的运算教学目的与要求：了解矩阵的定义并掌握矩阵的运算重点：矩阵的运算难点：矩阵的乘法运算授课内容：第五章 矩阵§5.1 矩阵的运算一、 矩阵的定义设是一个数域，是中的个数，由这些数排成一个表格称为数域上的一个行列矩阵，简称矩阵，其中是行数，称为它的列数，是它的元素.常用表示矩阵，或矩阵相等：行、列相等且对应元素完全相同.二、 矩阵的运算1.矩阵的加法定义：设，矩阵称为矩阵的和，记作.注意：只有当的行、列相同时，才有意义.例：，则.加法运算满足以下运算性质：1） 交换律：；2） 结合律：；3） 元素为0的矩阵称为零矩阵，记作，；4） 设，矩阵称为的负矩阵，记作，.定义矩阵

2、的减法：，故2.矩阵的数乘定义：设，矩阵称为的数量乘积，简称数乘，记作.注：用数，是指去乘的每一个元素，这与用数乘以一个行列式是有区别的.5）6）7）8）以下两种运算的一个重要特例是数列的运算数列称为上的一个元数列，和号的性质：（）. ；. .（交换次序）证明： 二元运算（加、乘、数乘）一元运算（转置、伴随、逆）. ；. 3.矩阵的乘法：设，矩阵，其中的第行的元素与列的对应元素乘积的和，即注：只有当才有意义，且的行数相同，的列数相同.例：.关于乘法运算，以下几点要注意：1） 矩阵的乘法不满足交换律：即.当没有意义；时，虽然有意义，但阶矩阵，而阶矩阵；当时，阶矩阵，但也不一定相等.如：2） 矩阵

3、的乘法不满足消去律，即当，未必有.例如：，但是.3） 两个非零矩阵的乘积可能是个零矩阵，即当时，可能.例：4） 满足结合律：设，都是矩阵，其中，则的第列元素为，的第列元素为5） 矩阵的乘法对加法满足分配律，以及与数乘：4.单位矩阵：（，类似“1”的作用）主对角线上的元素全是1，而其它全为0的阶方阵，记作.显然，当阶方阵时，.，只要前一个的列=后一个的行，则可依次相乘.特别的，阶方阵，.设，则若，则5.矩阵的转置定义：设，把的行变为列所得的矩阵称为的转置，记作.满足以下规律：1）；2）；3）；4） （穿脱原理）证明：都是矩阵又，列即位于列，.列的对应元素乘积之和2）、4）可推广到多个：章节名称：

4、可逆矩阵及矩阵乘积的行列式教学目的与要求：了解并掌握矩阵可逆的判别方法，并会求可逆矩阵的逆矩阵，掌握矩阵乘积的行列式重点：矩阵可逆的判别方法，矩阵乘积的行列式难点：矩阵乘积的行列式的有关证明授课内容：§ 5.2 可逆矩阵、矩阵乘积的行列式一、 可逆矩阵已定义矩阵的加、减、乘法，是否可以定义矩阵的除法？若为数域，.（逆）1. 定义：设是数域上的一个阶矩阵，若存在上阶矩阵，使，则叫做一个可逆矩阵（或非奇异矩阵），而叫作的逆矩阵.2. 若可逆，则的逆矩阵是唯一的。，则，故记.例：是可逆矩阵，3. 性质：（1）若可逆，则可逆，且.证明：的逆矩阵.（2）若阶可逆矩阵，则也可逆，且.证明：推广到

5、有限多个：阶可逆矩阵，则也可逆，且（3）可逆，则也可逆，且.证明：注意：并非每个阶矩阵都可逆，例如：.二、 矩阵可逆的条件及其求法1.伴随矩阵的定义：，（矩阵的行列式）设在行列式的代数余子式（）.矩阵称为的伴随矩阵，记作.2.矩阵可逆的条件：定理：阶方阵可逆非退化，即，此时.证明：若可逆，则存在，使.三、 可逆矩阵的逆矩阵的求法1.初等变换法：可逆，（对施行行变换）右乘得，先作矩阵，或，右乘得，（列），.四、 初等矩阵1.定义：由单位矩阵经过一次初等变换而得到的矩阵称为初等矩阵. 列 列 . 列. 列 列.2.性质：（1）初等矩阵都可逆，且逆矩阵仍为初等矩阵.（2）初等矩阵的转置仍为初等矩阵.

6、定理：设是矩阵，用阶初等矩阵左乘相当于对作相应的初等行变换；用阶初等矩阵右乘相当于对作相应的初等列变换，即证明：引理5.2.1：设对矩阵施行一个初等变换后，得到矩阵，那么可逆可逆.证明：由题意可知，为初等矩阵.可逆，而可逆，可逆，可逆.定理5.2.2：一个矩阵总可以通过初等变换化为以下形式的一个矩阵，其中是阶单位阵，表示零矩阵，为的秩.当为方阵时，是对角矩阵.推论：经过初等变换化为单位阵.证明：则至少有一排元素全为零不可逆不可逆.定理5.2.3：可写成初等矩阵的乘积.证明：，即，使. .定理5.2.4：.例1：.解： 课堂练习：.例2：解下列矩阵方程，.解：注：.2.利用行列式的性质求逆矩阵（

7、计算伴随矩阵）阶矩阵，.其中是行列式中元素的代数余子式.令，称为的伴随矩阵.注：无论是否可逆，它都是唯一的；.若可逆，则，故，即例：设适合什么条件时，可逆，当可逆时，求.解：，当时，可逆，例：考虑线性方程组. 当时，可逆. 故对，有小结：可逆为非退化矩阵可表示成多个初等矩阵的乘积可经初等变换化为单位矩阵.五、矩阵乘积的行列式.1.定理：一个阶矩阵总可以通过第三种行和列的初等变换化为一个对角矩阵：，并且.定理：设为任意两个阶矩阵，则.证明：当为对角矩阵时，显然.当为一般矩阵时，.2.定理：设是上的矩阵， 是上的矩阵，则.特别地，当（或）可逆时，.证明：设，则，即于是，显然.同理可证：.若可逆，又

8、，.推广到有限多个章节名称：矩阵的分块教学目的与要求：了解矩阵分块的概念，掌握分块矩阵的运算重点：分块矩阵的运算难点：分块矩阵的逆矩阵的求法授课内容：§5.3 矩阵的分块一、 举例说明什么是矩阵的分块及其用处设，其中，.把矩阵的行、列个分成若干组，从而可分成若干块，每一块看作一个小矩阵，由这些小矩阵组成，这就叫矩阵的分块，此时称为一个分块矩阵.作用：矩阵分块是使矩阵的结构显得更清楚；矩阵的运算可以通过这些小矩阵的运算进行，从而把高阶矩阵运算转化为低阶矩阵的运算.例：，.一方面，；另一方面，注意：的列的分法与的行的分法是一致的，即的列组数等于的行组数；的每个列组所含的列数等于的相应行组

9、所含的行数.对于一个给定的矩阵，分法可有多种，严格来说，一个矩阵的每一个元素可以看成一个小块；本身也可以看成一个大块，但这两种分法无多大意义.二、 分块矩阵的运算.1.加法：当与同型，且分块方法相同时，它们可以相加，其法则是对应子块相加.如：，.有意义，但不能有.是阶，则.2.数乘：数乘一个分块矩阵，用去乘个子块即可. 3.乘法：两个可乘矩阵，当的列的分法与的行的分法相同，且的列数与的行数相等. 一般而言，.其中.则 ，其中以下分三步来证明：，其中，.因为等号两边的矩阵都是矩阵，且它的元素为推广为当时，显然；，并且对处立，记，则（1）同理可证：；.记，则，令，再由（1）知：4.转置:例:设,记则,.分块矩阵取转置的规则:把的每一块都看成元素对取转置;对的每一块(看成小矩阵)取转置.例: