重视强化题组训练--感悟数学思想方法

1、重视强化题组训练感悟数学思想方法黄浦学校 顾涵明黄浦区教师进修学院 李建国我们要养成解题后反思的习惯反思自己的思维过程，反思知识点和解题技巧，反思多种解法的优劣，反思各种方法的纵横联系适时地展开想象，题设条件能否减弱?结论能否加强？问题能否推广?等等。进而总结出它所用到的数学思想方法，并把数学思想方法相近的题目编成一组，不断提炼、不断深化，做到举一反三、触类旁通。逐步学会观察、试验、分析、猜想、归纳、类比、联想等思想方法，主动地发现问题和提出问题。梳理考试中经常出现的数学思想方法，例如分类讨论法、数形结合法、待定系数法、面积法，特值法等等，并在自己的脑海中对每一种方法记忆一道对应的典型试题。养

2、成去伪存真、由此及彼、由表及里的思维方法，提高我们的思维品质。观察下列几个问题和解题思路，你有什么发现吗？1、 已知：正方形ABCD中，P是对角线AC上任意点，PEAB于E， PFBC于F。求证：DP=EF分析：这是一题有关正方形和直角三角形的问题。EF是RTEFP的一条斜边，我们可以通过添加辅助线构造RTDPG，然后通过证明三角形全等使问题得到解决。当然这题也可以连接BP，利用矩形的相关性质来解决。2、如图：在正方形ABCD的对角线AC上有一点P，连接BP，作PEBP，PE交CD于E，EFBC交AB于F，已知AB=10。（1）求证：BP=PE（2）求证:PBE DAC（3）设AP=x，BF=

3、y，求y关于x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围。分析：这也是一个有关正方形和直角三角形的问题，图中条件可以运用。第（1）问是要证明两条线段相等，我们首先想到的是否通过证明两个三角形全等，从而得到两条线段相等。为此我们通过添加辅助线来解决问题。在第（1）问的基础上就很容易解决第（2）个问题。第（3）个问题也迎刃而解了。以上两个问题都是运用了直角三角形和正方形的相关知识，通过构造三角形全等来解决问题，这也是我们解决这一类问题常用的方法。如果你能归纳出这两个问题的共通点，那么拿到下一个问题你也许不会措手不及了。操作：将一把三角尺放在边长为1的正方形ABCD上，并使它的直角顶点P在对角线AC上滑

4、动，直角的一边始终经过点B，另一边与射线DC相交于点Q。探究：设A、P两点的距离为x。（1） 当点Q在边CD上时，线段PQ与线段PB之间有怎样的关系？试证明你观察得到的结论。（2） 当点Q在边CD上时，设四边形PBCQ的面积为y，求y与x之间的函数解析式，并写出函数的定义域。（3） 当点P在线段AC上滑动时，PCQ是否可能成为等腰三角形？如果可能，指出所有能使PCQ成为等腰三角形的点Q的位置，并求出相应的x的值；如果不可能，试说明理由。（左图、中图、右图的形状大下相同，左图供操作、实验用，中图和右图备用。分析：首先我们画出符合要求的图形。通过类比你是否发现它与我们刚刚解决的第2个问题很相像，那

5、么你一定能够马上猜想到BP=PQ。证明的方法也是通过构造三角形全等解决问题。问题（2）建立在问题（1）的基础上就能解决，我们就进行了联想类比猜想。依据已知条件，联想与之相似的事物，通过比较、类比，对其结论进行推测。而问题（3）则是要全面的考虑问题的可能性，如果你在平时的练习中已经归纳出要判断是否存在等腰三角形的一些规律，并且注意进行分类讨论，这个问题也不会让你感到紧张。在解决综合题的过程中我们会发现化归思想是无处不在,它是分析问题解决问题的有效途径。在初中数学学习中运用这种化归的思维方法解决问题的例子非常多。例如,在代数方程求解时大多采用“化归”的思路,它是解决方程(组)问题的最基本的思想。即

6、将复杂的方程(组)通过各种途径转化为简单的方程(组),最后归结为一元一次方程或一元二次方程。平面几何的学习中亦是如此。例如,研究四边形、多边形问题时通过分割图形,把四边形、多边形知识转化为三角形知识来研究；解任意三角形的问题，通过作三角形一边上的高，转化为解直角三角形问题；我们熟悉的梯形问题,常通过作腰的平行线或作两条高等常用辅助线,把梯形问题转化为平行四边形与三角形问题。又如，圆中有关弦心距、半径、弦长的计算亦能通过连结半径或作弦心距把问题转化为直角三角形的求解。还有，解正多边形的问题，通过添半径和边心距，转化为解直角三角形问题等等。在解决综合题的过程中方程与函数的转化、化动为静、化实际问题

7、为数学问题、代数问题与几何问题的转化都是非常常用的。【例如】在直角坐标系中，点的坐标为（2，0），与x轴交于原点O和点A.又B、C、E三点的坐标分别为（-1，0）、（0，3）、（0，b），且0b3.（1）求点A的坐标和经过B、C两点的直线的解析式；yxMCEOBA（2）当点E在线段OC上移动时，直线BE与有哪几种位置关系？并求出每种位置关系时，b的取值范围。【分析】要考察直线BE与有哪几种位置关系，可先考察相切这种特殊位置，化一般为特殊，相切时直线与圆有可以运用的性质定理，此时求得的b的值就是一个分界点。在分析的过程中，应用本题的“静态”直线与圆相切，作出图形，化动为静是解题的关键。【解】（1

8、）由已知得：A（4，0）由待定系数法，得：经过B、C两点的直线的解析式为y=3x+3(2) 当点E在线段OC上移动时，直线BE与有三种位置关系:相离、相切、相交。设当点E运动到OC上某处时，恰使直线BE切于点M，连结M.BM是的切线 MBM且M=2在RtBM中，B=3，M=2 BM=又 OE= 当b=时，直线BE与相切； 当 b3时，直线BE与相离；当0b时，直线BE与相交.数形结合思想也是初中的重要数学思想方法之一，能运用代数、三角比知识通过数量关系的讨论去处理几何图形的问题；能运用几何、三角比知识通过对图形性质的研究去解决数量关系的问题。能将抽象的数学语言与直观的图形符号结合起来，把抽象思

9、维与形象思维结合起来；会用代数的方法去研究几何问题，会根据图形的性质及几何知识去处理代数问题。下面的例题也许会给你一些启发。【例如】已知一条抛物线的对称轴是直线x=1；它与x轴相交于A，B两点（点A在点B的左边）， 且线段AB的长是4；它还与过点C（1，-2）的直线有一个交点是D（2，-3） （1）求这条直线的函数解析式； （2）求这条抛物线的函数解析式； （3）若这条直线上有P点，使，求点P的坐标【分析】对于（1）、（2）两问我们只要正确的找到图像上的点运用待定系数法就可以解决。第（3）问可以由面积建立等式，而其中的关键是明确点P所在的位置正确的设P点坐标，特别要注意此时三角形是在直角坐标平面的背景下，需要把点的坐标转化为线段的长，然后建立方程，在解决问题时我们可以通过