不等式的证明测试题及答案

1、不等式的证明班级、选择题(本大题共 10小题，每小题5分，共50分)-一1 11 .若a>0, b >0,则(a b)()的最小值是 a b2.3.A. 2B. 2威C. 4、2D.分析法证明不等式中所说的“执果索因”是指寻求使不等式成立的A.必要条件C.充要条件设a、b为正数，且11 dA. 1a ba+ b< 4,1B.一aB.充分条件D.必要或充分条件则下列各式中正确的一个是D.4.已知a、b均大于1,且logaClogbC=4,则下列各式中，一定正确的是A. ac> bB. ab> cC. bc> a5.设 a= 22 ,b= 77 33, c &l

2、t;6亚,则a、b、c间的大小关系是A.a>b>cB. b> a>cC. b>c> aD. a>c>b6.已知a、b、m为正实数，则不等式C.是否成立与m无关D. 一te成立7.设x为实数，P=e +e , Q=(sin x+cos x)，则P、Q之间的大小关系是( )A.P>QB. PWQC. P>QD.P<Q8.已知a> b且a+ b <0 ,则下列不等式成立的是( )a /a /一 a /a 彳A.-1B. - 1C.- 1D.-1bbbb9.设a、b为正实数，P=aabb, Q =abba,则P、Q的大小关系

3、是( )当a< b时成立A. P>QB. PWQC. P=QD,不能确定B.当a> b时成立A.10 .甲、乙两人同时同地沿同一路线走到同一地点，甲有一半时间以速度m行走，另一半时间以速度n行走；乙有一半路程以速度 m行走，另一半路程以速度 n行走，若mn, 则甲、乙两人到达指定地点的情况是()A.甲先到B.乙先到C.甲乙同时到D.不能确定题号12345678910答案二、填空题11 .若实数x, y,z满足x 2y 3z a(a为常数)，则x2 y2 z2的最小值为 一.1212 .函数f(x) 3x (x 0)的最小值为 x 22 aa b-1 13 .使不等式a>

4、b , 1, lg(ab)>0, 2 >2同时成立的a、b、1的大小关系b是.14 .建造一个容积为 8m3,深为2m的长方体无盖水池，如果池底和池壁的造价每平方米分别为120元和80元，则水池的最低总造价为 元.三、解答题15 . (1)若 a、b、c 都是正数，且 a+b+c=1 ,求证：(1 -a)(1 -b)(1 -c) > 8abc.2. 22.(2)已知实数a,b,c满足a b c,且有a b c 1,a b c 1，、).4求证：1 a b 31 一 t 1 .16 .设 a 0, a 1,t 0,试比较 3 loga t与 loga 一-的大小.（12 分）a

5、2 b2 c2a b c17 求证：/一z 33(2)已知a, b, c都是正数，且a, b, c成等比数列，求证：a2 b2 c2 (a b c)218 .(1)已知x2 = a2 + b2, y2 = c2 + d： 且所有字母均为正，求证： xy>ac + bd .222_(2)已知 x, y,z R,且 xyz8,x y z 24一4- 4- 4-求证：一x 3, y 3, z 333319 .设计一幅宣传画，要求画面面积为 4840cm2,画面的宽与高的比为入(入<1 ),画面的上 下各留8cm空白，左、右各留 5cm空白，怎样确定画面的高与宽尺寸，能使宣传画所 用纸面积

6、最小？一，一1 a 一20 .数列 伙由下列条件确th： xi a 0, Xn i 一(xn -), n N .2Xn(I)证明：对 n > 2,总有xn > “万；(n)证明：对 n>2,总有xn> Xn 1 .参考答案.选择题（本大题共 10小题，每小题5分，共50分）题号12345678910答案DBBBDAACAA二.填空题（本大题共 4小题，每小题6分，共24分）211 . 12. 913. a>b>114, 176014三、解答题（本大题共 6题，共76分）15. （12 分）证明:因为a、b、c都是正数，且a+b+c=1 ,所以（1 勺）（1

7、划（1 c）=（b+c）（ a+c）（ a+b）>2bc 2 VaC 2 Jab =8 abc.16. (12 分)解析：10g a -1 10g a <1 lOga" 22 tt 0,t 12(当且仅当t=1时时等号成立)-12"(1)当 t=1 时，lOga -110g a Vt (2)当 t 1 时，L4 1,2 y2.tW t 1则 10ga 2Tt0,10g a1 210gate一 t 1t 11右 0 a 1,则 10g a- 0, 10g a - 10g a t2t2217. (12 分)证明:左一右=2 (ab+bcac)2,a, b, c成等比

8、数列，b ac又.a, b, c 都是正数，所以 0 b Tac <-0C a c a c b2:2(ab bc ac) 2(ab bc b2) 2b(a c b) 02222a2 b2 c2 (a b c)218. (12 分)证法一:(分析法) a, b, c, d,x, y都是正数：要证：xy>ac+ bd只需证：(xy)2>(ac+ bd)2即：(a2+b2)(c2+d2)a2c2+b2d2+ 2abcd展开得：a2c2 + b2d2 + a2d2 + b2c2 > a2c2 + b2d2 + 2 abcd即：a2d2 + b2c2>2abcd由基本不等式

9、，显然成立:xy> ac+ bd2,22,222,222,2,2,2证法一:(综合法)xy = yab vc d vac b c a d b d> .a2c2 2abcdb2d2(acbd)2 acbd证法三:(三角代换法). x2 = a2 + b2,;不妨设 a = xsin , b = xcos y2 = c2 + d2c= ysin , d = ycosac+ bd = xysin sin + xycos cos = xycos()<xy19. (14 分)解析:设画面高为xcm,宽为 xcm则 x2=4840 .设纸面积为 S,有 S= (x+16) ( x+10)

10、 =x2+(16+10) x+160,S=5000+44 10(5 ).当81g,即5(5 1)时St得最小值.8 8此时，高：x 11M840 88cm,宽： x 5 88 55cm,8答：画面高为88cm,宽为55cm时，能使所用纸面积最小.20. (14 分)0 (没有证明过程不扣分)2时,x Ja成立.2时,xn xn 1成立.(I)证明：由x1a 0,&x -(x_a_)可归纳证明xnn12 n xn ,从而有xn 11(xn ) 产(a N ). 所以，当n2xnxn(H)证法一：当 n 2Bf,因为 xn - a 0,xn 1 (xn )2xn所以 xn1 xng (xn

11、)Kna a丛0, 故当 n2xn2 xn证法二：当n 2时，因为x a 0,xn112(Xna 一) xn1 a (xn )222所以 xn 12xnxnaxnxn 1故当 n2 , Xnxn1 成立.2-TT2xnxn2 xn2 n、一一 一 22222222.证明：Q (111 )(a b c ) (a b c)2 222a2 b2 c2(a b c)23 9即但b2c24.证明：Q a b 1 c, ab222(a b) (a b )2c c22 一 2a,b是方程x(1 c)x c c 0的两个不等实根,2211.则 > (1 c) 4(c c) 0,得 一 c 1 32而(c a)(c b) c (a b)c ab 0