数列基础知识点和方法归纳

1、数列基础知识点和方法归纳1 .等差数列的定义与性质定义：an1and(d为常数)，anqn1d,推论公式：？?=?+(?0?)?(?2?C?,nm)等差中项：x,A,y成等差数列2Axy,?=?-1；?+1,2?=?-i+?+1(？?A2)等差数列前n项和：Sna1annna1工d2 2性质：an是等差数列(1)若mnpq,则amanapaq；(下标和定理)注意：要求等式左右两边项数相等(2)数列a2n1,a2n,a2n1仍为等差数列，S2nS3nS2n仍为等差数列，公差为n%；(3)若三个成等差数列，可设为ad,a,ad；(4)若an,bn是等差数列，且前n项和分别为Sn,Tn,则曳；bmT

2、2m1(5)an为等差数列Snan2bn(a,b为常数，是关于n的常数项为0的二次函数)2Sn的最值可求二次函数Snanbn的最值；或者求出an中的正、负分界项，即：当a1 0, d 0 ,解不等式组anan 10可得Sn达到最大值时的n值.0、一,an当 a10, d 0 ,由an 100可得Sn达到最小值时的n值.(6)项数为偶数2n的等差数列an 有S2nn(a1a2n) n(a2a2n 1)n(an an 1)(an,an 1 为中间两项)SWanS禺an1(7)项数为奇数2n1的等差数列an有S2nl(2n1)an(an为中间项)2.等比数列的定义与性质定义：an1q(q为常数，q0

3、),an弘”推论公式.？?=?-?(?C?且nm)an.1SJ7.2w,、一一等比中以：X、G、y成等比数列，或G炳.等比数列中奇数项同号，偶数项同号?-1?+1(?2)?=1)等比数列前n项和公式：？?=?(1-?5=竺”(？噂1)1-?1-?性质：斗是等比数列(1)若mnpq,则amanap-aq(下标和定理)注意：要求等式左右两边项数相等。(2)Sn,S2nSn,S3nS2n仍为等比数列，公比为q”O.(3)an是正项等比数列，则?是等比数列。注意：由Sn求烝时应注意什么？n1时，a1S1;n2时，anSnSn13.求数列通项公式的常用方法S(n 1)Sn Sni(n 2)(1)定义法求

4、通项公式(已知数列为等差数列或等比数列)“、已知Sn与n的关系aSn与an的关系时求烝为(2) 取,o例：数列吗的前盟项和国二+1.求数歹gJ的通项公式；解：当同=1时1=%=2,信5二1)当落之2时%=H产2库-1二数列(叫的通项公式为典之2).J的通项公式。练习：设数列I/)的前即项和为,且与二/一由.求数列(3)求差(商)法例：数列an1一a1212nan2n5,求 an解：n 1时,12 a114n 2时,12a112a212nan2n 512 a112?a212n 1 an 12n-得：/an一 an2n 12 ?an14(n 1)2n 1 (n 2)练习：在数列?)中，?=1, ?

5、+ 22 +?+ ?弘？? ?办,求数列?71的通项公式。(4)累乘法形如答=?的递推式?ana1f(1)曳a2f，L两边分别相乘得，包a1a1nf(k)k 1例：数列an中，ai3,二。，求anann1.a2a3an12n1an1八3解二-，：一又为3,ana1a2an123na1nn.?=3,?+1=3?？a1),求数列?的通项公式。练习：已知3?+2(5)累加法形如?+1-?=f(?的递推式。由anan1f(n),aa。，求an,用迭加法a2af(2)_,a3a2f(3).-n2时，两边相加得ana1f(2)f(3)f(n)anan1f(n)ana。f(2)f(3)f(n)例：已知数列(

6、.)满足？=1,?=?-1+3?02(?2),(1)求？与？?的值。(2)求数列1吗的通项公式练习：已知数列(%)中,(MEN*).求数列i怎)的通项公式;(6)构造法形如ancan1d(c、d为常数，c0,c1,d0)的递推式。可转化为等比数列，设anxcan1xancan1c1x令(c1)xd,x旦，ang是首项为旦，c为公比的等比数列c1c1c1ddn1dn1dana1c，二ana1cc1c1c1c1席万 4、/ 迂 2 =2% +1解R+1 k ,例：已知数歹卜，满足口1二，“瓜阴.求数/,的通项公式;%&十1二2(%.1),疗L=1,故数即“是首项龙，公比龙的等比数列,2练习1:已知

7、数列?中？=1,?+1=3?+3,求数列an的通项公式6 ,求数列an的通项公式练习2:已知数列a。满足ani2an35n,a1（7）倒数法例：ai1, an i2an求anan2,，I1由已知得：an 1an 2 12an2an1an 11an1,、，1、，1111an为等差数列,a；1，公差为1nJ22n1,练习：已知数列的首项，?=1。？?+1=?？（？e?3）求数列S的通项公式?+2总结：公式法、利用 anS1（n1）SnSn1（n2）、累加法、累乘法.构造等差或等比an1panan1panf（n）、待定系数法、对数变换法、迭代法4.求数列前n项和的常用方法(1)定义法：如果已知数列为

8、等差或者等比数列，这用对应的公式求和等差数列前n项和：Sna1annnai工d22?=1)等比数列前n项和公式：？?=?(1-?)=H竺?(？噂1)1-?1-?常见公式：？?=E?=1?=1?+1)1+3+5+?+(2?21)=?12+22+32+?+?=1?+1)(2?+1),13+23+33+?+?=；?+1)2(2)错位相减法七&?=?+?+?+?+?胸边同乘以一个适当的数或者式，然后把所得的等式与原等式相减，对应项互相抵消，最后得出前n项的和？私一般适用于an为等差数列，bn为等比数列，求数列anbn(差比数列)前n项和，可由SnqSn,求Sn,其中q为bn的公比.例：Sn12x3x2

9、4x3nxn1xSnx2x23x34x4n1xn1nxn一1xSn1xx2xn1nxn1xnxnnn1x1时，Sn2，x1时，Sn123n1x1x2练习：已知数列)是等差数列，是等比数列，且=2,瓦=54,即+叱+%=%地.(1)求数列和4)的通项公式(2)数列满足/=%,求数列%的前.项和国,(2)裂项法把数列的通项公式拆成两项差的形式，相加过程中消去中间项，只剩下有限项再求和。常见形式：若an是公差为d的等差数列，则晨二7.(-安)?+1?+111_1_1(2?-1)(2?+1)2(2?-12?+1噌二二1(-7-二二)?+1)(?+2)2?+1)(?+1)(?+2)，11一一二瓦储?)V

10、?+v?-?11-_=一(储？+?23？)V?+?+v?(一一V)如：an是公差为d的等差数列，求k1akak1,1解：由akak11dakk1akak1k1dakak1ak111da1a2a2a3anan1aan1练习:已知数列&)的前n项和- 二盘+2M求数列g.的通项公式;(3)倒序相加法求数列L ”“地的前n项和把数列的各项顺序倒写,再与原来顺序的数列相加Sna1Snana2an 1an 1a2an相加2 s a1ana2an 1a1an练习已知f(x)2,则f(1) f(2)f(3)由 f(x) f2 x2 x2x2 x原式 f(1)f(2)f(3)13T(3)分组求和法有一类数列，既不是等差